LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

la teoría de anillos es el estudio de anillos : estructuras algebraicas en las que se definen la suma y la multiplicación y tienen propiedades similares a las operaciones definidas para los enteros . La teoría de anillos estudia la estructura de los anillos, sus representaciones o, en diferentes lenguajes, módulos , clases especiales de anillos ( anillos de grupo , anillos de división , álgebras envolventes universales ), así como una serie de propiedades que demostraron ser de interés tanto La propia teoría y para sus aplicaciones, tales como propiedades homológicasyIdentidades polinomiales .

Los anillos conmutativos se entienden mucho mejor que los no conmutativos. La geometría algebraica y la teoría de números algebraicos , que proporcionan muchos ejemplos naturales de anillos conmutativos, han impulsado gran parte del desarrollo de la teoría de anillos conmutativos, que ahora es, bajo el nombre de álgebra conmutativa , un área importante de las matemáticas modernas. Debido a que estos tres campos (geometría algebraica, teoría de números algebraicos y álgebra conmutativa) están tan íntimamente conectados, generalmente es difícil y sin sentido decidir a qué campo pertenece un resultado en particular. Por ejemplo, el Nullstellensatz de Hilbert es un teorema fundamental para la geometría algebraica, y se establece y se demuestra en términos de álgebra conmutativa. Similar,El último teorema de Fermat se expresa en términos de aritmética elemental , que forma parte del álgebra conmutativa, pero su prueba implica resultados profundos tanto de la teoría de los números algebraicos como de la geometría algebraica.

Los anillos no conmutativos son muy diferentes en sabor, ya que puede surgir un comportamiento más inusual. Si bien la teoría se ha desarrollado por derecho propio, una tendencia bastante reciente ha buscado paralelizar el desarrollo conmutativo mediante la construcción de la teoría de ciertas clases de anillos no conmutativos de una manera geométrica como si fueran anillos de funciones en (no existente) 'no conmutativo espacios '. Esta tendencia comenzó en la década de 1980 con el desarrollo de la geometría no conmutativa y con el descubrimiento de grupos cuánticos . Ha conducido a una mejor comprensión de los anillos no conmutativos, especialmente los anillos noetherianos no conmutativos . ^[1]

Para las definiciones de un anillo y conceptos básicos y sus propiedades, vea anillo (matemáticas) . Las definiciones de los términos utilizados en toda la teoría de los anillos se pueden encontrar en el glosario de la teoría de los anillos .

Anillos conmutativos [ editar ]

Artículo principal: Álgebra conmutativa.

Un anillo se llama conmutativo si su multiplicación es conmutativa . Los anillos conmutativos se asemejan a sistemas de números familiares, y varias definiciones de anillos conmutativos están diseñadas para formalizar las propiedades de los enteros . Los anillos conmutativos también son importantes en la geometría algebraica . En la teoría del anillo conmutativo, los números a menudo son reemplazados por ideales , y la definición del ideal primo trata de capturar la esencia de los números primos . Los dominios integrales , anillos conmutativos no triviales donde no se multiplican dos elementos distintos de cero para dar cero, generalizan otra propiedad de los enteros y sirven como el reino apropiado para estudiar la divisibilidad.Los dominios ideales principales son dominios integrales en los que cada ideal puede ser generado por un solo elemento, otra propiedad compartida por los enteros. Los dominios euclidianos son dominios integrales en los que se puede llevar a cabo el algoritmo euclidiano . Ejemplos importantes de anillos conmutativos pueden construirse como anillos de polinomios y sus anillos de factores. Resumen: dominio euclidiano => dominio ideal principal => dominio de factorización único => dominio integral => anillo conmutativo .

Algebraic geometría [ editar ]

Artículo principal: Geometría algebraica.

La geometría algebraica es en muchos aspectos la imagen reflejada del álgebra conmutativa. Esta correspondencia comenzó con Nullstellensatz de Hilbert, que establece una correspondencia uno a uno entre los puntos de una variedad algebraica y los ideales máximos de su anillo de coordenadas . Esta correspondencia se ha ampliado y sistematizado para traducir (y probar) la mayoría de las propiedades geométricas de las variedades algebraicas en propiedades algebraicas de anillos conmutativos asociados. Alexander Grothendieckcompletó esto introduciendo esquemas , una generalización de variedades algebraicas, que pueden construirse desde cualquier anillo conmutativo. Más precisamente, el espectroDe un anillo conmutativo es el espacio de sus ideales principales equipados con la topología de Zariski y aumentados con un haz de anillos. Estos objetos son los "esquemas afines" (generalización de variedades afines ), y luego se obtiene un esquema general "pegando juntos" (mediante métodos puramente algebraicos) varios de estos esquemas afines, en analogía a la forma de construir una variedad al pegar juntos Las cartas de un atlas .

Anillos no conmutativos [ editar ]

Artículos principales: anillo no conmutativa , geometría algebraica conmutativa y geometría no conmutativa

Los anillos no conmutativos se parecen a los anillos de matrices en muchos aspectos. Siguiendo el modelo de geometría algebraica , se han hecho intentos recientemente para definir la geometría no conmutativa basada en anillos no conmutativos. Los anillos no conmutativos y las álgebras asociativas (anillos que también son espacios vectoriales ) a menudo se estudian a través de sus categorías de módulos. Un módulo sobre un anillo es un grupo abeliano en el que el anillo actúa como un anillo de endomorfismos , muy similar a la forma en que los campos(Los dominios integrales en los que todos los elementos que no son cero son invertibles) actúan sobre los espacios vectoriales. Ejemplos de anillos no conmutativos son dados por anillos de matrices cuadradas o más generalmente por anillos de endomorfismos de grupos o módulos abelianos, y por anillos monoides .

Teoría de la representación [ editar ]

Artículo principal: Teoría de la representación.

La teoría de la representación es una rama de las matemáticas que se basa en gran medida en anillos no conmutativos. Se estudia abstractos estructuras algebraicas por representando sus elementos como transformaciones lineales de espacios vectoriales , y estudios módulos más de estas estructuras algebraicas abstractas. En esencia, una representación hace que un objeto algebraico abstracto sea más concreto al describir sus elementos mediante matrices y las operaciones algebraicas en términos de suma de matriz y multiplicación de matriz , que no es conmutativa. El algebraicoLos objetos susceptibles de tal descripción incluyen grupos , álgebras asociativas y álgebras de Lie . El más prominente de estos (e históricamente el primero) es la teoría de representación de grupos , en la que los elementos de un grupo están representados por matrices invertibles de tal manera que la operación de grupo es la multiplicación de matrices.

Algunos teoremas relevantes [ editar ]

General

• Teoremas de isomorfismo para los anillos.
• La lema de nakayama

Teoremas de estructura

• El teorema de Artin-Wedderburn determina la estructura de los anillos semisimples.
• El teorema de densidad de Jacobson determina la estructura de los anillos primitivos.
• El teorema de Goldie determina la estructura de los anillos semiprime Goldie.
• El teorema de Zariski-Samuel determina la estructura de un anillo ideal principal conmutativo
• El teorema de Hopkins-Levitzki establece las condiciones necesarias y suficientes para que un anillo noetheriano sea ​​un anillo artiniano.
• La teoría de Morita consiste en teoremas que determinan cuándo dos anillos tienen categorías de módulos "equivalentes"
• El teorema de Cartan-Brauer-Hua da una idea de la estructura de los anillos de división
• El pequeño teorema de Wedderburn establece que los dominios finitos son campos

Otro

• El teorema de Skolem-Noether caracteriza los automorfismos de los anillos simples.

Las estructuras y los invariantes de los anillos [ editar ]

Dimensión de un anillo conmutativo [ editar ]

Artículo principal: Teoría de la dimensión (álgebra).

La dimensión Krull de un anillo conmutativo R es el supremo de las longitudes n de todas las cadenas crecientes de ideales primos$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {0} \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {n}}. Por ejemplo, el anillo polinomial.$${\ displaystyle k [t_ {1}, \ cdots, t_ {n}]}sobre un campo k tiene dimensión n . El teorema fundamental en la teoría de la dimensión establece que los siguientes números coinciden para un anillo local noetheriano$${\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m}})}: ^[2]

• La dimensión Krull de R .
• El número mínimo de generadores de la $${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}Los ideales primarios.
• La dimensión del anillo graduado. $${\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {\ mathfrak {m}} (R) = \ oplus _ {k \ geq 0} {\ mathfrak {m}} ^ {k} / {{\ mathfrak {m}} ^ {k + 1}}}(equivalentemente, uno más el grado de su polinomio de Hilbert ).

Se dice que un anillo conmutativo R es catenario si algún par de ideales principales$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ subset {\ mathfrak {p}} '} Se puede extender a una cadena de ideales primordiales. $${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ mathfrak {p}} _ {0} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {n} = {\ mathfrak {p}} '}de la misma longitud finita, de modo que no hay un ideal principal que esté contenido estrictamente en dos términos consecutivos. Prácticamente todos los anillos noetherianos que aparecen en aplicación son catenarios. Si$${\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m}})} es un dominio integral local catenaria, entonces, por definición,

$${\ displaystyle \ operatorname {dim} R = \ operatorname {ht} {\ mathfrak {p}} + \ operatorname {dim} R / {\ mathfrak {p}}}

dónde $${\ displaystyle \ operatorname {ht} {\ mathfrak {p}} = \ operatorname {dim} R _ {\ mathfrak {p}}}es la altura de$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}. Es un profundo teorema de Ratliff que lo contrario también es cierto. ^[3]

Si R es un dominio integral que es un álgebra k generada de forma finita , entonces su dimensión es el grado de trascendencia de su campo de fracciones sobre k . Si S es una extensión integral de un anillo conmutativo R , entonces S y R tienen la misma dimensión.

Los conceptos estrechamente relacionados son los de profundidad y dimensión global . En general, si R es un anillo local noetheriano, entonces la profundidad de R es menor o igual a la dimensión de R . Cuando la igualdad se mantiene, R se llama un anillo de Cohen-Macaulay . Un anillo local regular es un ejemplo de un anillo de Cohen-Macaulay. Es un teorema de Serre que R es un anillo local regular si y sólo si tiene dimensión global finito y en ese caso la dimensión global es la dimensión de Krull de R . El significado de esto es que una dimensión global es una noción homológica .

Morita equivalencia [ editar ]

Artículo principal: Morita equivalencia.

Dos anillos de R , S se dice que son Morita equivalente si la categoría de módulos sobrantes R es equivalente a la categoría de módulos sobrantes S . De hecho, dos anillos conmutativos que son equivalentes a Morita deben ser isomorfos, por lo que la noción no agrega nada nuevo a la categoría de anillos conmutativos. Sin embargo, los anillos conmutativos pueden ser Morita equivalente a los anillos no conmutativos, por lo que la equivalencia de Morita es más gruesa que el isomorfismo. La equivalencia de morita es especialmente importante en la topología algebraica y el análisis funcional.

Módulo proyectivo finamente generado sobre un anillo y un grupo de Picard [ editar ]

Sea R un anillo conmutativo y$${\ displaystyle \ mathbf {P} (R)}el conjunto de clases de isomorfismo de módulos proyectivos generados finamente sobre R ; vamos también$${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (R)}subconjuntos formados por aquellos con rango constante n . (El rango de un módulo M es la función continua.$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} R \ to \ mathbb {Z}, \, {\ mathfrak {p}} \ mapsto \ dim M \ otimes _ {R} k ({\ mathfrak {p}})}. ^[4] )$${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {1} (R)}Normalmente se denota por Pic ( R ). Es un grupo abeliano llamado el grupo Picard de R . ^[5] Si R es un dominio integral con el campo de fracciones F de R , entonces hay una secuencia exacta de grupos: ^[6]

$${\ displaystyle 1 \ to R ^ {*} \ to F ^ {*} {\ overset {f \ mapsto fR} {\ to}} \ operatorname {Cart} (R) \ to \ operatorname {Pic} (R) \a 1}

dónde $${\ displaystyle \ operatorname {Cart} (R)}es el conjunto de ideales fraccionarios de R . Si R es un regular de dominio (es decir, regular en cualquier ideal primo), entonces PIC (R) es precisamente el grupo de la clase divisor de R . ^[7]

Por ejemplo, si R es un dominio ideal principal, entonces Pic ( R ) desaparece. En la teoría de los números algebraicos, R se tomará como el anillo de enteros , que es Dedekind y, por lo tanto, regular. De ello se deduce que Pic ( R ) es un grupo finito ( finitud del número de clase ) que mide la desviación del anillo de enteros de ser un PID.

También se puede considerar la finalización grupal de$${\ displaystyle \ mathbf {P} (R)}; esto resulta en un anillo conmutativo K ₀ (R). Tenga en cuenta que K ₀ (R) = K ₀ (S) si dos anillos conmutativos R , S son equivalentes de Morita.

Ver también: teoría K algebraica

Estructura de los anillos no conmutativos [ editar ]

Artículo principal: Anillo no conmutativo.

La estructura de un anillo no conmutativo es más complicada que la de un anillo conmutativo. Por ejemplo, existen anillos simples , que no contienen ideales apropiados no triviales (de dos caras), que contienen ideales correctos de izquierda o de derecha no triviales. Existen varios invariantes para los anillos conmutativos, mientras que los invariantes de los anillos no conmutativos son difíciles de encontrar. Como ejemplo, el nilradical de un anillo, el conjunto de todos los elementos nilpotentes, no necesita ser un ideal a menos que el anillo sea conmutativo. Específicamente, el conjunto de todos los elementos nilpotentes en el anillo de todos n x nLas matrices sobre un anillo de división nunca forman un ideal, independientemente del anillo de división elegido. Sin embargo, hay análogos del nilradical definido para los anillos no conmutativos, que coinciden con el nilradical cuando se supone la conmutatividad.

El concepto del radical de Jacobson de un anillo; es decir, la intersección de todos los aniquiladores de derecha / izquierda de los simples módulos de derecha / izquierda sobre un anillo, es un ejemplo. El hecho de que el radical de Jacobson pueda verse como la intersección de todos los ideales máximos de derecha / izquierda en el anillo, muestra cómo la estructura interna del anillo se refleja en sus módulos. También es un hecho que la intersección de todos los ideales derechos máximos en un anillo es la misma que la intersección de todos los ideales izquierdos máximos en el anillo, en el contexto de todos los anillos; ya sea conmutativo o no conmutativo.

Los anillos no conmutativos sirven como un área activa de investigación debido a su ubicuidad en las matemáticas. Por ejemplo, el anillo de las matrices n- by- n sobre un campo no es conmutativo a pesar de su presencia natural en la geometría , la física y muchas partes de las matemáticas. Más generalmente, los anillosde endomorfismo de los grupos abelianos rara vez son conmutativos, el ejemplo más simple es el anillo de endomorfismo de los cuatro grupos de Klein .

Uno de los anillos no conmutativos más conocidos es el anillo de división de los cuaterniones .

Aplicaciones [ editar ]

El anillo de enteros de un campo numérico [ editar ]

Artículo principal: Anillo de enteros.

La coordenada anillo de una variedad algebraica [ editar ]

Si X es una variedad algebraica afín , entonces el conjunto de todas las funciones regulares sobre X forma un anillo llamado anillo de coordenadas de X . Para una variedad proyectiva , hay un anillo análogo llamado anillo de coordenadas homogéneas . Esos anillos son esencialmente las mismas cosas que las variedades: se corresponden esencialmente de una manera única. Esto se puede ver a través de las construcciones de Hilbert Nullstellensatz o de esquema-teórica (es decir, Spec y Proj).

Anillo de invariantes [ editar ]

Una pregunta básica (y quizás la más fundamental) en la teoría invariante clásica es encontrar y estudiar polinomios en el anillo polinomial.$${\ displaystyle k [V]}que son invariantes bajo la acción de un grupo finito (o más generalmente reductora) G en V . El ejemplo principal es el anillo de polinomios simétricos : los polinomios simétricos son polinomios que son invariantes bajo la permutación de la variable. El teorema fundamental de los polinomios simétricos establece que este anillo es$${\ displaystyle R [\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n}]} dónde $${\ displaystyle \ sigma _ {i}} Son polinomios simétricos elementales.

Historia [ editar ]

La teoría del anillo conmutativo se originó en la teoría de números algebraicos, la geometría algebraica y la teoría invariante . Para el desarrollo de estos sujetos, fueron fundamentales los anillos de enteros en los campos de números algebraicos y los campos de función algebraica, y los anillos de polinomios en dos o más variables. La teoría de anillos no conmutativos comenzó con intentos de extender los números complejos a varios sistemas de números hipercomplejos . La génesis de las teorías de los anillos conmutativos y no conmutativos se remonta a principios del siglo XIX, mientras que su madurez se alcanzó solo en la tercera década del siglo XX.

Más precisamente, William Rowan Hamilton presentó los cuaternarios y los biquaterniones ; James Cocklepresentó tesarines y coquaternions ; y William Kingdon Clifford era un entusiasta de los biquaterniones divididos , a los que llamó motores algebraicos . Estas álgebras no conmutativas y las álgebras de Lie no asociativas se estudiaron dentro del álgebra universal antes de que el tema se dividiera en tipos de estructura matemáticaparticulares . Un signo de reorganización fue el uso de sumas directas. Describir la estructura algebraica.

Los diversos números hipercomplejos se identificaron con anillos de matriz por Joseph Wedderburn (1908) y Emil Artin (1928). Los teoremas de la estructura de Wedderburn fueron formulados para álgebras de dimensión finita sobre un campo, mientras que Artin los generalizó a anillos artinianos .

En 1920, Emmy Noether , en colaboración con W. Schmeidler, publicó un artículo sobre la teoría de los idealesen el que definían los ideales de izquierda y derecha en un círculo . Al año siguiente, publicó un artículo histórico llamado Idealtheorie en Ringbereichen , que analiza las condiciones de la cadena ascendente con respecto a los ideales (matemáticos). El destacado algebraista Irving Kaplansky llamó a esta obra "revolucionaria"; ^[8] la publicación dio origen al término " anillo de Noetherian ", y varios otros objetos matemáticos se llamaron Noetherian .

Álgebra no conmutativaes el estudio de los resultados que se aplican a los anillos que no requieren ser conmutativos. Muchos resultados importantes en el campo del área de álgebra no conmutativa se aplican a los anillos conmutativos como casos especiales.

Aunque algunos autores no asumen que los anillos tienen una identidad multiplicativa, en este artículo hacemos ese supuesto a menos que se indique lo contrario.

Ejemplos [ editar ]

Algunos ejemplos de anillos que no son conmutativos siguen:

• El anillo matricial de n -by- n matrices sobre los números reales , donde n > 1
• De Hamilton cuaterniones
• Cualquier anillo de grupo hecho de un grupo que no sea abeliano.
• El anillo libre $${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ langle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ rangle}generado por un conjunto finito; Un ejemplo de dos elementos no iguales son$${\ displaystyle 2x_ {1} x_ {2} + x_ {2} x_ {1} \ neq 3x_ {1} x_ {2}}
• El álgebra de Weyl $${\ displaystyle A_ {n} (\ mathbb {C})}es el anillo de operadores diferenciales polinomiales definidos sobre el espacio afín; por ejemplo,$${\ displaystyle A_ {1} (\ mathbb {C}) \ cong \ mathbb {C} \ langle x, y \ rangle / (xy-yx-1)}donde el ideal corresponde al conmutador
• El anillo cociente $${\ displaystyle \ mathbb {C} \ langle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ rangle / (x_ {i} x_ {j} -q_ {ij} x_ {j} x_ {i})} donde el $${\ displaystyle q_ {ij} \ in \ mathbb {C}}se llama un plano cuántico
• Cualquier álgebra de Clifford se puede describir explícitamente mediante una presentación de álgebra: dada una$${\ displaystyle \ mathbb {F}}-vector de espacio $${\ displaystyle V}de dimensión n con forma cuadrática.$${\ displaystyle q: V \ otimes V \ to \ mathbb {F}}, el álgebra de Clifford asociado tiene la presentación. $${\ displaystyle \ mathbb {F} \ langle e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \ rangle / (e_ {i} e_ {j} + e_ {j} e_ {i} -q (e_ {i} , e_ {j}))} por cualquier base $${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n}} de $${\ displaystyle V}
• Las superalgebras son otro ejemplo de anillos no conmutativos; se pueden presentar como$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] \ langle \ theta _ {1}, \ ldots, \ theta _ {m} \ rangle / (\ theta _ {i} \ theta _ {j} + \ theta _ {j} \ theta _ {i})}

Historia [ editar ]

Comenzando con los anillos de división que surgen de la geometría, el estudio de los anillos no conmutativos se ha convertido en un área importante del álgebra moderna. Numerosos autores ampliaron y refinaron la teoría y la exposición de los anillos no conmutativos en los siglos XIX y XX. Una lista incompleta de dichos colaboradores incluye a E. Artin , Richard Brauer , PM Cohn , WR Hamilton , IN Herstein , N. Jacobson , K. Morita , E. Noether , Ø. Mineral y otros.

Diferencias entre el álgebra conmutativa y no conmutativa [ editar ]

Debido a que los anillos no conmutativos son una clase de anillos mucho más grande que los anillos conmutativos, su estructura y comportamiento se entienden menos. Se ha realizado una gran cantidad de trabajo con éxito generalizando algunos resultados de anillos conmutativos a anillos no conmutativos. Una diferencia importante entre los anillos que son y no son conmutativos es la necesidad de considerar por separado los ideales correctos y los ideales izquierdistas . Es común que los teóricos de los anillos no conmutativos impongan una condición en uno de estos tipos de ideales, mientras que no requieren que se mantenga en el lado opuesto. Para los anillos conmutativos, la distinción de izquierda a derecha no existe.

Clases importantes [ editar ]

Anillos de la división [ editar ]

Artículo principal: anillo de la división

Un anillo de división, también llamado campo de sesgo, es un anillo en el que la división es posible. Específicamente, es un anillo distinto de cero ^[1] en el que cada elemento distinto de cero a tiene un inverso multiplicativo , es decir, un elemento x con a · x = x · a = 1 . Dicho de otra manera, un anillo es un anillo de división si y solo si el grupo de unidades es igual al conjunto de todos los elementos distintos de cero.

Los anillos de división se diferencian de los campos solo en que no se requiere que su multiplicación sea conmutativa . Sin embargo, según el pequeño teorema de Wedderburn, todos los anillos de división finita son campos conmutativos y, por lo tanto, finitos . Históricamente, los anillos de división a veces se denominaban campos, mientras que los campos se denominaban "campos conmutativos".

Anillos semisimples [ editar ]

Artículo principal: Anillo semisimple.

Un módulo sobre un anillo (no necesariamente conmutativo) con unidad se dice que es semisimple (o completamente reducible) si es la suma directa de submódulos simples (irreducibles).

Se dice que un anillo es (a la izquierda), por ejemplo, si es semisimple como un módulo izquierdo sobre sí mismo. Sorprendentemente, un anillo semisimple izquierdo también es semisimple derecho y viceversa. La distinción izquierda / derecha es por lo tanto innecesaria.

Anillos semiprimitivos [ editar ]

Artículo principal: Anillo semiprimitivo.

Un anillo semiprimitivo o un anillo semisimple de Jacobson o un anillo semisimple J es un anillo cuyo radical de Jacobson es cero. Este es un tipo de anillo más general que un anillo semisimple , pero donde los módulos simples todavía proporcionan suficiente información sobre el anillo. Los anillos como el anillo de enteros son semiprimitivos, y un anillo semiprimitivo artiniano es solo un anillo semisimple . Los anillos semiprimitivos pueden entenderse como productos subdirectos de anillos primitivos , que están descritos por el teorema de densidad de Jacobson .

Anillos simples [ editar ]

Artículo principal: Anillo simple.

Un simple anillo es un no-cero anillo que no tiene dos caras ideales además del cero ideales y ella misma. Un simple anillo siempre puede ser considerado como un álgebra simple . Anillos que son simples como anillos pero no como módulos existen: el anillo de matriz completa sobre un campo no tiene ningún ideal no trivial (ya que cualquier ideal de M (n, R ) es de la forma M (n, I ) con I an ideal de R), pero tiene ideales izquierdos no triviales (es decir, los conjuntos de matrices que tienen algunas columnas de cero fijo).

De acuerdo con el teorema de Artin-Wedderburn , cada anillo simple que está a la izquierda o derecha Artinianes un anillo de la matriz sobre un anillo de división . En particular, los únicos anillos simples que son un espacio vectorial de dimensión finita sobre los números reales son los anillos de matrices sobre los números reales, los números complejos o los cuaterniones .

Cualquier cociente de un anillo por un ideal máximo es un anillo simple. En particular, un campo es un simple anillo. Un anillo R es simple si y solo su anillo opuesto R ^o es simple.

Un ejemplo de un anillo simple que no es un anillo de matriz sobre un anillo de división es el álgebra de Weyl .

Teoremas importantes [ editar ]

Pequeño teorema de Wedderburn [ editar ]

Artículo principal: pequeño teorema de Wedderburn

El pequeño teorema de Wedderburn establece que cada dominio finito es un campo . En otras palabras, para anillos finitos , no hay distinción entre dominios, campos de sesgo y campos.

El teorema de Artin-Zorn generaliza el teorema a los anillos alternativos : cada anillo alternativo simple finito es un campo. ^[2]

Teorema de Artin-Wedderburn [ editar ]

Artículo principal: Teorema de Artin-Wedderburn.

El teorema de Artin-Wedderburn es un teorema de clasificación para anillos semisimples y álgebras semisimples. El teorema afirma que un (Artinian) ^[3] anillo semisimple R es isomorfo a un producto de un número finito n _i -by- n _i matriz anillos más anillos de división D _i , para algunos números enteros n _i , ambos de los cuales son determinados de forma única hasta a permutación del índice i . En particular, cualquier anillo Artinian izquierdo o derecho simple es isomorfo a unn- by- n anillo de matriz sobre un anillo de división D , donde n y D se determinan de forma única. ^[4]

Como corolario directo, el teorema de Artin-Wedderburn implica que cada anillo simple que es finito-dimensional sobre un anillo de división (un álgebra simple) es un anillo de matriz . Este es el resultado original de Joseph Wedderburn . Emil Artin más tarde lo generalizó al caso de los anillos artinianos.

Teorema densidad Jacobson [ editar ]

Artículo principal: Teorema de densidad de Jacobson.

El teorema de densidad Jacobson es un teorema relativo módulos simples sobre un anillo R . ^[5]

El teorema se puede aplicar para mostrar que cualquier anillo primitivo se puede ver como una subring "densa" del anillo de transformaciones lineales de un espacio vectorial. ^[6] [7] Este teorema apareció por primera vez en la literatura en 1945, en el famoso artículo "Teoría de la estructura de anillos simples sin suposiciones de finitud", de Nathan Jacobson . ^[8] Esto puede verse como una especie de generalización de la conclusión del teorema de Artin-Wedderburn sobre la estructura de los anillos artinianos simples .

Más formalmente, el teorema se puede expresar de la siguiente manera:

El teorema de la densidad de Jacobson. Sea U un simple módulo R derecho , D = Fin ( U _R ) y X ⊂ U un conjunto finito y D- linealmente independiente. Si A es un D transformación -linear en U entonces existe r ∈ R tal que A ( x ) = x • r para todas las x en X . ^[9]

Lema de Nakayama [ editar ]

Artículo principal: Lema de Nakayama.

Deje J ( R ) sea el radical Jacobson de R . Si U es un módulo correcto sobre un anillo, R e I son un ideal correcto en R , entonces defina U · I como el conjunto de todas las sumas (finitas) de elementos de la forma u · i , donde ·es simplemente el acción de R en U . Necesariamente, T · I es un submódulo de U .

Si V es un submódulo máximo de U , entonces U / V es simple . Entonces, U · J ( R ) es necesariamente un subconjunto de V , por la definición de J ( R ) y el hecho de que U / V es simple. ^[10] Por lo tanto, si T contiene al menos un (correcto) submódulo máxima, T · J ( R ) es un submódulo adecuada de U . Sin embargo, esto no es necesario para los módulos arbitrarios U sobre R , porU no necesita contener ningún submódulo máximo. ^[11]Naturalmente, si U es un módulo noetheriano , esto es válido. Si R es Noetherian, y U se genera finamente , entonces U es un módulo Noetherian sobre R , y se concluye la conclusión. ^[12] Algo más notable es que la suposición más débil, a saber, que U se genera finamente como un módulo R (y que no hay suposición de finitud en R ), es suficiente para garantizar la conclusión. Esta es esencialmente la declaración del lema de Nakayama. ^[13]

Precisamente, uno tiene lo siguiente.

Lema de Nakayama : Let T ser un finito generado módulo de la derecha sobre un anillo R . Si U es un módulo distinto de cero, entonces U · J ( R ) es un submódulo adecuada de U . ^[13]

Una versión del lema mantiene para módulos derecha sobre no conmutativa anillos unitarios R . El teorema resultante a veces se conoce como el teorema de Jacobson-Azumaya . ^[14]

Localización no conmutativa [ editar ]

Artículo principal: Localización de un anillo.

La localización es un método sistemático de sumar inversos multiplicativos a un anillo , y generalmente se aplica a anillos conmutativos. Dado un anillo R y un subconjunto S , uno quiere construir un anillo R * y un anillo homomorfismo de R a R * , de modo que la imagen de S se compone de unidades (elementos invertibles) en R *. Además, uno quiere que R * sea ​​la forma "mejor posible" o "más general" de hacer esto; de la manera habitual, esto debe expresarse mediante una propiedad universal . La localización de R por Ssuele denotarse por S  ⁻¹ R ; sin embargo, otras notaciones se utilizan en algunos casos especiales importantes. Si S es el conjunto de los elementos no cero de un dominio integral , entonces la localización es el campo de fracciones y, por lo tanto, generalmente se denomina Frac ( R ).

Localización de anillos no conmutativos es más difícil; La localización no existe para cada conjunto S de unidades prospectivas. Una condición que asegura que la localización existe es la condición de mineral .

Un caso para los anillos no conmutativos donde la localización tiene un claro interés es para los anillos de operadores diferenciales. Cuenta con la interpretación, por ejemplo, junto a una de las formales inversa D ^-1 para un operador de diferenciación D . Esto se hace en muchos contextos en métodos para ecuaciones diferenciales . Ahora hay una gran teoría matemática al respecto, llamada microlocalización , que se conecta con muchas otras ramas. La micro- etiqueta tiene que ver con las conexiones con la teoría de Fourier , en particular.

Morita equivalencia [ editar ]

Artículo principal: Morita equivalencia.

La equivalencia de morita es una relación definida entre anillos que conserva muchas propiedades de la teoría de anillos. Lleva el nombre del matemático japonés Kiiti Morita, quien definió la equivalencia y una noción similar de dualidad en 1958.

Dos anillos dice que los R y S (asociativo, con 1) son equivalentes ( morita ) si existe una equivalencia de la categoría de módulos (izquierda) sobre R , R-Mod y la categoría de módulos (izquierda) sobre S , S-Mod . Se puede mostrar que las categorías de módulo izquierdo R-Mod y S-Mod son equivalentes si y solo si las categorías de módulo derecho Mod-R y Mod-S son equivalentes. Además, se puede mostrar que cualquier functor de R-Mod a S-Mod que produce una equivalencia es automáticamente aditivo..

Grupo brauer [ editar ]

Artículo principal: Grupo Brauer.

El grupo Brauer de un campo. K es un grupo abeliano cuyos elementos son clases de equivalencia Morita de álgebras simples centrales de rango finito sobre K y la adición es inducida por el producto tensorial de álgebras. Surgió de los intentos de clasificar las álgebras de división en un campo y lleva el nombre del algebraista Richard Brauer . El grupo también puede definirse en términos de cohomología de Galois . Más generalmente, el grupo Brauer de un esquema se define en términos de álgebras de Azumaya .

Condiciones de mineral [ editar ]

Artículo principal: Estado de mineral

La condición de mineral es una condición introducida por el mineral de Øystein , en relación con la cuestión de extender más allá de los anillos conmutativos la construcción de un campo de fracciones , o más generalmente la localización de un anillo . La condición de mineral correcta para un subconjunto multiplicativo S de un anillo R es que para un ∈ R y s ∈ S , la intersección aS ∩ sR ≠ ∅ . ^[15] Un dominio que satisface la condición de mineral correcta se denomina dominio de mineral correcto. El caso de la izquierda se define de manera similar.

Teorema de Goldie [ editar ]

Artículo principal: Teorema de Goldie.

En matemáticas , el teorema de Goldie es un resultado estructural básico en la teoría de anillos , demostrado por Alfred Goldie durante los años cincuenta. Lo que ahora se denomina un derecho anillo Goldie es un anillo Rque tiene finito dimensión uniforme (= "rango finito") como un módulo derecho sobre sí misma, y satisface la condición de cadena ascendente en la derecha aniquiladores de subconjuntos de R .

El teorema de Goldie establece que los semiprimos anillos derecho Goldie son precisamente los que tienen un Semisimple artiniano derecho anillo clásico de cocientes . La estructura de este anillo de cocientes está entonces completamente determinada por el teorema de Artin-Wedderburn .

En particular, el teorema de Goldie se aplica al semiprime derecho de los anillos noetherianos , ya que, por definición, los anillos noetherianos tienen la condición de cadena ascendente en todos los ideales correctos. Esto es suficiente para garantizar que un anillo noetheriano de derecha sea Goldie correcto. Lo contrario no es válido: todo dominio correcto de mineral es un dominio correcto de Goldie y, por lo tanto, también lo es todo dominioconmutativo integral .

Una consecuencia del teorema de Goldie, una vez más debido a Goldie, es que cada anillo ideal de derecho principal semiprime es isomorfo a una suma directa finita de anillos ideal de derecho principal primo . Cada anillo ideal de principal derecho principal es isomorfo a un anillo de matriz sobre un dominio de Mineral derecho.