LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

No debe confundirse con el grupo de simetría .

Una gráfica de Cayley del grupo simétrico S _4.

Tabla de Cayley del grupo simétrico S ₃
( tabla de multiplicar de matrices de permutación ) 

Estas son las posiciones de las seis matrices: algunas matrices no están dispuestas simétricamente a la diagonal principal, por lo que el grupo simétrico no es abeliano.

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones básicas[mostrar]
Grupos finitos[ocultar] Clasificación de grupos finitos simples. cíclico alterno Tipo de mentira sporadic Lagrange's theorem Sylow theorems Hall's theorem p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Symmetric group Sn Klein four-group V Dihedral group Dn Quaternion group Q Dicyclic group Dicn
Discrete groups Lattices [show]
Topological and Lie groups[show]
Algebraic groups[show]
v t e

En álgebra abstracta , el grupo simétrico definido sobre cualquier conjunto es el grupo cuyos elementos son todas las biyecciones del conjunto a sí mismo y cuya operación de grupo es la composición de las funciones . En particular, el grupo simétrico finito S _n definido sobre un conjunto finito de n símbolos consiste en las operaciones de permutación que pueden realizarse en los n símbolos. ^{[1] ¡} Ya que hay n ! ( n factorial) posibles operaciones de permutación que se pueden realizar en una tupla compuesta por n símbolos, se deduce que el número de elementos (el orden ) del grupo simétrico S _nes n !

Aunque los grupos simétricos se pueden definir en conjuntos infinitos, este artículo se centra en los grupos simétricos finitos: sus aplicaciones, sus elementos, sus clases de conjugación , una presentación finita , sus subgrupos , sus grupos de automorfismo y su teoría de la representación . Para el resto de este artículo, "grupo simétrico" significará un grupo simétrico en un conjunto finito.

El grupo simétrico es importante para diversas áreas de las matemáticas, como la teoría de Galois , la teoría invariante , la teoría de la representación de los grupos de Lie y la combinatoria . El teorema de Cayley afirma que cada grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico de G .

Definición y primeras propiedades [ editar ]

El grupo simétrico en un conjunto finito X es el grupo cuyos elementos son todas funciones biyectivas de X a X y cuya operación de grupo es la de la composición de la función . ^[1] Para conjuntos finitos, "permutaciones" y "funciones biyectivas" se refieren a la misma operación, a saber, reorganización. El grupo simétrico de grado n es el grupo simétrico en el conjunto X = {1, 2, ..., n }.

El grupo simétrico en un conjunto X se denota de varias maneras, incluyendo S _X , 𝔖 _X , Σ _X , X ! y Sym ( X ). ^[1] Si X es el conjunto {1, 2, ..., n }, el grupo simétrico en X también se denota como S _n , ^[1] 𝔖 _n , Σ _n y Sym ( n ).

Los grupos simétricos en conjuntos infinitos se comportan de manera muy diferente a los grupos simétricos en conjuntos finitos, y se analizan en ( Scott 1987 , Capítulo 11), ( Dixon y Mortimer 1996 , Capítulo 8) y ( Cameron 1999 ).

El grupo simétrico en un conjunto de n elementos tiene orden n ! (El factorial de n ). ^[2] Es abeliano si y solo si nes menor o igual que 2. ^[3] Para n = 0 y n = 1 (el conjunto vacío y el conjunto de singleton ), el grupo simétrico es trivial (tiene orden 0 ! = 1! = 1 ). El grupo S _n es solucionable si y solo si n ≤ 4 . Esta es una parte esencial de la prueba de laTeorema de Abel-Ruffini que muestra que para cada n > 4 hay polinomios de grado n que no se pueden resolver con radicales, es decir, las soluciones no se pueden expresar realizando un número finito de operaciones de suma, resta, multiplicación, división y raíz Extracción en los coeficientes del polinomio.

Aplicaciones [ editar ]

El grupo simétrico en un conjunto de tamaño n es el grupo de Galois del polinomio general de grado n y desempeña un papel importante en la teoría de Galois . En la teoría invariante , el grupo simétrico actúa sobre las variables de una función multivariable, y las funciones invariantes son las llamadas funciones simétricas . En la teoría de la representación de los grupos de Lie , la teoría de la representación del grupo simétrico juega un papel fundamental a través de las ideas de los funtores de Schur . En la teoría de los grupos de Coxeter , el grupo simétrico es el grupo de Coxeter de tipo A_n y se produce como el grupo Weyl del grupo lineal general . Encombinatoria , los grupos simétricos, sus elementos ( permutaciones ), y sus representaciones proporcionan una fuente rica de problemas que involucran cuadros jóvenes , monoides placticos y el orden Bruhat . Los subgruposde grupos simétricos se denominan grupos de permutación y se estudian ampliamente debido a su importancia para comprender las acciones de los grupos , los espacios homogéneos y los grupos de gráficos deautomorfismo , como elGrupo Higman-Sims y la gráfica de Higman-Sims .

Elementos [ editar ]

Los elementos del grupo simétrico sobre un conjunto X son las permutaciones de X .

Multiplicación [ editar ]

La operación de grupo en un grupo simétrico es la composición de la función , denotada por el símbolo ∘ o simplemente por yuxtaposición de las permutaciones. La composición f ∘ g de las permutaciones f y g , pronunciadas como " f of g ", mapea cualquier elemento x de X a f ( g ( x )). Concretamente, vamos (ver permutación para una explicación de notación):

{\ displaystyle f = (1 \ 3) (4 \ 5) = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 5 & 4 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle g = (1 \ 2 \ 5) (3 \ 4) = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1 \ end {pmatrix}}.}

Aplicando f after g mapea 1 primero a 2 y luego 2 a sí mismo; 2 a 5 y luego a 4; 3 a 4 y luego a 5, y así sucesivamente. Así que componer f y g da

{\ displaystyle fg = f \ circ g = (1 \ 2 \ 4) (3 \ 5) = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3 \ end {pmatrix}}.}

Un ciclo de longitud L = k · m , llevado a la potencia k - k , se descompondrá en k ciclos de longitud m : por ejemplo, ( k = 2 , m = 3 ),

$${\ displaystyle (1 ~ 2 ~ 3 ~ 4 ~ 5 ~ 6) ^ {2} = (1 ~ 3 ~ 5) (2 ~ 4 ~ 6).}

Verificación de axiomas de grupo [ editar ]

Para verificar que el grupo simétrico en un conjunto X sea ​​de hecho un grupo , es necesario verificar los axiomas grupales de cierre, asociatividad, identidad e inversos. ^[4]

1. La operación de la composición de la función se cierra en el conjunto de permutaciones del conjunto Xdado .
2. La composición de funciones es siempre asociativa.
3. La bisutería trivial que asigna cada elemento de X a sí mismo sirve como una identidad para el grupo.
4. Cada bijection tiene una función inversa que deshace su acción, y así cada elemento de un grupo simétrico tiene una inversa que también es una permutación.

Transposiciones [ editar ]

Artículo principal: Transposición (Matemáticas).

Una transposición es una permutación que intercambia dos elementos y mantiene todos los demás fijos; por ejemplo (1 3) es una transposición. Cada permutación puede ser escrita como un producto de transposiciones; por ejemplo, la permutación g de arriba se puede escribir como g = (1 2) (2 5) (3 4). Dado que g se puede escribir como un producto de un número impar de transposiciones, se denomina permutación impar , mientras que f es una permutación par.

La representación de una permutación como un producto de transposiciones no es única; sin embargo, el número de transposiciones necesarias para representar una permutación dada es siempre par o siempre impar. Hay varias pruebas breves de la invariabilidad de esta paridad de permutación.

El producto de dos permutaciones iguales es par, el producto de dos permutaciones impares es par, y todos los demás productos son impares. Así podemos definir el signo de una permutación:

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} f = {\ begin {cases} +1, & {\ text {if}} f {\ mbox {is even}} \\ - 1, & {\ text {if}} f {\ text {es impar}}. \ end {cases}}}

Con esta definición,

$${\ displaystyle \ operatorname {sgn} \ colon \ mathrm {S} _ {n} \ rightarrow \ {+ 1, -1 \} \}

es un homomorfismo de grupo ({+1, –1} es un grupo en multiplicación, donde +1 es e, el elemento neutral ). El núcleo de este homomorfismo, es decir, el conjunto de todas las permutaciones pares, se llama el grupo alternoA _n . Es un subgrupo normal de S _n , y para n ≥ 2 tiene n ! / 2 elementos. El grupo S _n es el producto semidirectode A _n y cualquier subgrupo generado por una sola transposición.

Además, cada permutación puede escribirse como un producto de transposiciones adyacentes , es decir, transposiciones de la forma ( a a +1) . Por ejemplo, la permutación g de arriba también se puede escribir como g = (4 5) (3 4) (4 5) (1 2) (2 3) (3 4) (4 5) . La clasificación de la burbuja del algoritmo de clasificación es una aplicación de este hecho. La representación de una permutación como un producto de transposiciones adyacentes tampoco es única.

Ciclos [ editar ]

Un ciclo de longitud k es una permutación f para la cual existe un elemento x en {1, ..., n } tal que x , f ( x ), f ² ( x), ..., f ^k ( x ) = x son los únicos elementos movidos por f ; se requiere que k ≥ 2 ya que con k = 1 el elemento xtampoco se movería. La permutación h definida por

${\displaystyle h={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&1&3&5\end{pmatrix}}}$

es un ciclo de longitud tres, ya que h (1) = 4 , h (4) = 3 y h (3) = 1 , dejando 2 y 5 intactos. Denotamos dicho ciclo por (1 4 3) , pero también podría escribirse (4 3 1) o (3 1 4) comenzando en un punto diferente. El orden de un ciclo es igual a su longitud. Los ciclos de longitud dos son transposiciones. Dos ciclos son desunidos si mueven subconjuntos desunidos de elementos. Los ciclos de desunión conmutan : por ejemplo, en S ₆ existe la igualdad (4 1 3) (2 5 6) = (2 5 6) (4 1 3) . Cada elemento de S _nPuede ser escrito como un producto de ciclos desunidos; esta representación es única según el orden de los factores y la libertad presente en la representación de cada ciclo individual al elegir su punto de partida.

Los ciclos admiten la siguiente propiedad de conjugación con cualquier permutación. $${\ displaystyle \ sigma}, esta propiedad se utiliza a menudo para obtener sus generadores y relaciones .

{\ displaystyle \ sigma {\ begin {pmatrix} a & b & c & \ ldots \ end {pmatrix}} \ sigma ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} \ sigma (a) & \ sigma (b) & \ sigma (c ) & \ ldots \ end {pmatrix}}}

Elementos especiales [ editar ]

Ciertos elementos del grupo simétrico de {1, 2, ..., n } son de particular interés (se pueden generalizar al grupo simétrico de cualquier conjunto finito totalmente ordenado, pero no al de un conjunto desordenado).

La permutación de inversión de orden es la dada por:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & \ cdots & n \\ n & n-1 & \ cdots & 1 \ end {pmatrix}}.

Este es el único elemento máximo con respecto al orden Bruhat y el elemento más largo en el grupo simétrico con respecto al conjunto generador que consiste en las transposiciones adyacentes ( i i +1) , 1 ≤ i ≤ n - 1 .

Esto es una involución, y consiste en $${\ displaystyle \ lfloor n / 2 \ rfloor} transposiciones (no adyacentes)

$${\ displaystyle (1 \, n) (2 \, n-1) \ cdots, {\ text {o}} \ suma _ {k = 1} ^ {n-1} k = {\ frac {n (n -1)} {2}} {\ text {transposiciones adyacentes:}}}

$${\ displaystyle (n \, n-1) (n-1 \, n-2) \ cdots (2 \, 1) (n-1 \, n-2) (n-2 \, n-3) \ cdots,}

así pues tiene signo:

{\ displaystyle \ mathrm {sgn} (\ rho _ {n}) = (- 1) ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} = (- 1) ^ {n (n-1) / 2} = {\ begin {cases} + 1 & n \ equiv 0,1 {\ pmod {4}} \\ - 1 & n \ equiv 2,3 {\ pmod {4}} \ end {cases}}}

que es 4-periódico en n .

En S _2 n , el orden aleatorio perfecto es la permutación que divide el conjunto en 2 pilas y las intercala. Su signo es tambien$${\ displaystyle (-1) ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor}.}

Tenga en cuenta que el reverso en n elementos y el orden aleatorio perfecto en 2 n elementos tienen el mismo signo; Estos son importantes para la clasificación de las álgebras de Clifford , que son 8 periódicas.

Clases de conjugación [ editar ]

Las clases de conjugación de S _n corresponden a las estructuras cíclicas de las permutaciones; es decir, dos elementos de S _n se conjugan en S _n si y solo si consisten en el mismo número de ciclos de separación de las mismas longitudes. Por ejemplo, en S ₅ , (1 2 3) (4 5) y (1 4 3) (2 5) son conjugados; (1 2 3) (4 5) y (1 2) (4 5) no lo son. Un elemento de conjugación de S _n puede construirse en "notación de dos líneas" colocando las "notaciones de ciclo" de las dos permutaciones de conjugado una encima de otra. Continuando con el ejemplo anterior:

{\ displaystyle k = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5 \ end {pmatrix}}}

que se puede escribir como el producto de ciclos, a saber: (2 4).

Esta permutación luego se relaciona (1 2 3) (4 5) y (1 4 3) (2 5) a través de la conjugación, es decir,

$${\ displaystyle (2 ~ 4) \ circ (1 ~ 2 ~ 3) (4 ~ 5) \ circ (2 ~ 4) = (1 ~ 4 ~ 3) (2 ~ 5).}

Está claro que tal permutación no es única.

Grupos de bajo grado [ editar ]

Ver también: Teoría de la representación del grupo simétrico § Casos especiales.

Los grupos simétricos de bajo grado tienen una estructura más simple y excepcional, y con frecuencia deben tratarse por separado.

S ₀ y S ₁

Los grupos simétricos en el conjunto vacío y el conjunto de singleton son triviales, lo que corresponde a 0! = 1! = 1 . En este caso, el grupo alterno está de acuerdo con el grupo simétrico, en lugar de ser un subgrupo del índice 2, y el mapa de signos es trivial. En el caso de S ₀ , su único miembro es la función vacía.

S ₂

Este grupo consta de exactamente dos elementos: la identidad y la permutación que intercambian los dos puntos. Es un grupo cíclico y por lo tanto es abeliano . En la teoría de Galois , esto corresponde al hecho de que la fórmula cuadrática proporciona una solución directa al polinomio cuadrático general después de extraer solo una raíz. En la teoría invariante , la teoría de representación del grupo simétrico en dos puntos es bastante simple y se considera que escribe una función de dos variables como una suma de sus partes simétricas y anti-simétricas: configuración f _s ( x , y ) = f ( x , y) + f ( y , x ) , y f _a ( x , y ) = f ( x , y ) - f ( y , x ) , se obtiene que 2⋅ f = f _s + f _a . Este proceso se conoce como simetrización .

S ₃

S ₃ es el primer grupo simétrico no marabelino. Este grupo es isomorfo al grupo diédrico de orden 6 , el grupo de simetrías de reflexión y rotación de un triángulo equilátero , ya que estas simetrías permutan los tres vértices del triángulo. Los ciclos de longitud dos corresponden a reflexiones, y los ciclos de longitud tres son rotaciones. En la teoría de Galois, el mapa de signos de S ₃ a S ₂ corresponde a la resolución cuadrática de un polinomio cúbico , como lo descubrió Gerolamo Cardano , mientras que el kernel A ₃ corresponde al uso de la transformada de Fourier discreta de orden 3 en la solución. en forma deResoluciones de Lagrange . ^{[ cita requerida ]}

S ₄

El grupo S ₄ es isomorfo al grupo de rotaciones apropiadas sobre caras opuestas, diagonales opuestas y bordes opuestos, permutaciones de 9, 8 y 6 , del cubo . ^[5] Más allá del grupo A ₄ , S ₄ tiene un cuatro gruposV de Klein como un subgrupo normal adecuado , es decir, las transposiciones pares {(1), (1 2) (3 4), (1 3) (2 4) , (1 4) (2 3)}, con cociente S ₃ . En la teoría de Galois , este mapa corresponde a la resolución cúbica de un polinomio quártico , que permite que los radicales resuelvan el quártico, según lo establecido porLodovico Ferrari . El grupo de Klein se puede entender en términos de los resueltos de Lagrange del quártico. El mapa de S ₄ a S ₃ también produce una representación irreducible bidimensional, que es una representación irreducible de un grupo simétrico de grado n de dimensión debajo de n - 1 , que solo ocurre para n = 4 .

S ₅

S ₅ es el primer grupo simétrico no soluble. Junto con el grupo lineal especial SL (2, 5) y el grupo icosaédrico A ₅ × S ₂ , S ₅ es uno de los tres grupos no solubles de orden 120, hasta el isomorfismo. S ₅ es el grupo Galois de la ecuación quíntica general , y el hecho de que S ₅ no sea un grupo solucionable se traduce en la no existencia de una fórmula general para resolver polinomios quínticos mediante radicales. Hay un exótico mapa de inclusión S ₅ → S ₆ como unsubgrupo transitivo ; el mapa de inclusión obvio S _n → S _n +1 corrige un punto y, por lo tanto, no es transitivo. Esto produce el automorfismo externo de S ₆ , que se discute más adelante, y corresponde al sextic resolvent de un quíntico.

S ₆

A diferencia de todos los otros grupos simétricos, S ₆ , tiene un automorfismo externo . Usando el lenguaje de la teoría de Galois , esto también puede entenderse en términos de los resueltos de Lagrange . El resolutivo de un quíntico es de grado 6: corresponde a un mapa de inclusión exótico S ₅ → S ₆ como un subgrupo transitivo (el mapa de inclusión obvio S _n → S _n +1 corrige un punto y, por lo tanto, no es transitivo) y, mientras que este mapa no hace que el quíntico general sea solucionable, sino que produce el automorfismo externo exótico de S _6; consulte los automorfismos de los grupos simétricos y alternos para obtener más información.

Tenga en cuenta que si bien A ₆ y A ₇ tienen un multiplicador de Schur excepcional (una cubierta triple ) y que se extienden a las coberturas triples de S ₆ y S ₇ , estos no corresponden a los multiplicadores de Schur excepcionales del grupo simétrico.

Mapas entre grupos simétricos [ editar ]

Aparte del mapa trivial S _n → 1 ≅ S ₀ ≅ S ₁ y el mapa de signo S _n → S ₂ , los homomorfismos más notables entre grupos simétricos, en orden de dimensión relativa , son:

• S ₄ → S ₃ correspondiente al subgrupo normal excepcional V _4 4 ;
• S ₆ → S ₆ (o más bien, una clase de dichos mapas hasta el automorfismo interno) correspondiente al automorfismo externo de S ₆ .
• S ₅ → S ₆ como un subgrupo transitivo, que produce el automorfismo externo de S ₆ como se explicó anteriormente.

También hay una gran cantidad de otros homomorfismos S _m → S _n donde n > m .

Propiedades [ editar ]

Los grupos simétricos son grupos de Coxeter y grupos de reflexión . Pueden realizarse como un grupo de reflexiones con respecto a hiperplanos x _i = x _j , 1 ≤ i < j ≤ n . Los grupos de trenzas B _n admiten grupos simétricos S _n como grupos cocientes .

El teorema de Cayley establece que cada grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico en los elementos de G , ya que un grupo actúa fielmente sobre sí mismo mediante la multiplicación (izquierda o derecha).

Relación con grupo alterno [ editar ]

Para n ≥ 5 , el grupo alterno A _n es simple , y el cociente inducido es el mapa de signos: A _n → S _n → S _2, que se divide al tomar una transposición de dos elementos. Por lo tanto, S _n es el producto semidirecto A _n ⋊ S ₂ , y no tiene otros subgrupos normales, ya que se intersecarían con A _n en la identidad (y, por lo tanto, serán la identidad o un grupo de 2 elementos, lo cual no es normal) , o en A _n (y, por lo tanto, ser A _n o S _n ).

S _n actúa en su subgrupo A _n por conjugación, y para n ≠ 6 , S _n es el grupo de automorfismo completo de A _n : Aut (A _n ) ≅ S _n . La conjugación con elementos pares son automorfismos internos de A _n, mientras que el automorfismo externo de A _n de orden 2 corresponde a la conjugación por un elemento impar. Para n = 6 , existe un automorfismo externo excepcional de A _n, por lo que S _n no es el grupo de automorfismos completo de A _n .

A la inversa, para n ≠ 6 , S _n no tiene automorfismos externos, y para n ≠ 2 no tiene centro, por lo que para n ≠ 2, 6 es un grupo completo , como se explica en el grupo de automorphism , a continuación.

Para n ≥ 5 , S _n es un grupo casi simple , ya que se encuentra entre el grupo simple A _n y su grupo de automorfismos.

$${\ displaystyle S_ {n}} se puede incrustar en $${\ displaystyle A_ {n + 2}} añadiendo la transposición $${\ displaystyle (n + 1, n + 2)} a todas las permutaciones impares, mientras se incrusta en $${\ displaystyle A_ {n + 1}} es imposible para {\ displaystyle n> 1}.

Generadores y relaciones [ editar ]

El grupo simétrico en n -letters, S _n , puede describirse como sigue. Tiene generadores:$${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n-1}} y relaciones:

• $${\ displaystyle {\ sigma _ {i}} ^ {2} = 1,}
• $${\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} {\ text {if}} j \ neq i \ pm 1,}
• $${\ displaystyle (\ sigma _ {i} \ sigma _ {i + 1}) ^ {3} = 1. \}

Uno piensa en $${\ displaystyle \ sigma _ {i}}como intercambiando las posiciones i th y ( i + 1) th .

Otros conjuntos generadores populares incluyen el conjunto de transposiciones que intercambian 1 e i por 2 ≤ i ≤ n y un conjunto que contiene cualquier ciclo n y un ciclo de elementos adyacentes en el ciclo n .

Estructura de subgrupos [ editar ]

Un subgrupo de un grupo simétrico se llama un grupo de permutación .

Subgrupos normales [ editar ]

Los subgrupos normales de los grupos simétricos finitos son bien conocidos. Si n ≤ 2 , S _n tiene como máximo 2 elementos, por lo que no tiene subgrupos adecuados no triviales. El grupo alterno de grado n es siempre un subgrupo normal, uno apropiado para n ≥ 2 y no trivial para n ≥ 3 ; para n ≥ 3 , de hecho, es el único subgrupo normal propio de S _n , que no es de identidad , excepto cuando n = 4, donde existe un subgrupo normal adicional de este tipo, que es isomorfo para el grupo de los cuatro Klein .

El grupo simétrico en un conjunto infinito no tiene un grupo alterno asociado: no todos los elementos pueden escribirse como un producto (finito) de transposiciones. Sin embargo, contiene un subgrupo S normal de permutaciones que corrige casi todos los elementos, y tales permutaciones pueden clasificarse como pares o impares. Los elementos pares de S forman el subgrupo A alternante de S , y como A es incluso un subgrupo característico de S , también es un subgrupo normal del grupo simétrico completo del conjunto infinito. Los grupos A y Sson los únicos subgrupos normales propios que no son de identidad del grupo simétrico en un conjunto infinitamente contable. Para más detalles, consulte ( Scott 1987 , Capítulo 11.3) o ( Dixon & Mortimer 1996 , Capítulo 8.1).

Subgrupos máximos [ editar ]

Esta sección necesita expansión. Puedes ayudar añadiéndolo . (Septiembre de 2009 )

Los subgrupos máximos de los grupos simétricos finitos se dividen en tres clases: el intransitivo, el imprimitivo y el primitivo. Los subgrupos máximos intransitivos son exactamente los de la forma Sym ( k ) × Sym ( n - k ) para 1 ≤ k < n / 2 . Los subgrupos máximos imprimitivos son exactamente los de la forma Sym ( k ) wr Sym ( n / k ) donde 2 ≤ k ≤ n / 2 es un divisor adecuado de n y "wr" denota el producto de la coronaactuando de forma imprimitiva Los subgrupos máximos primitivos son más difíciles de identificar, pero con la ayuda del teorema de O'Nan-Scott y la clasificación de grupos finitos simples ( Liebeck, Praeger y Saxl 1988 ) proporcionaron una descripción bastante satisfactoria de los subgrupos máximos de este tipo. según ( Dixon y Mortimer 1996 , p. 268).

Subgrupos de Sylow [ editar ]

Los subgrupos de Sylow de los grupos simétricos son ejemplos importantes de p- grupos . Se describen más fácilmente en casos especiales primero:

Los subgrupos p de Sylow del grupo simétrico de grado p son solo los subgrupos cíclicos generados por los ciclos p . ¡Hay ( p - 1)! / ( P - 1) = ( p - 2)! tales subgrupos simplemente contando generadores. Por lo tanto, el normalizador tiene un orden p · ( p −1) y se conoce como grupo Frobenius F _{p ( p - 1)} (especialmente para p = 5 ), y es el grupo lineal general afín , AGL (1, p ) .

Los subgrupos p de Sylow del grupo simétrico de grado p ² son el producto de la corona de dos grupos cíclicos de orden p . Por ejemplo, cuando p = 3, un subgrupo Sylow 3 de Sym (9) se genera por a = (1 4 7) (2 5 8) (3 6 9) y los elementos x = (1 2 3), y = (4 5 6), z = (7 8 9), y cada elemento del subgrupo Sylow 3 tiene la forma a ⁱ x ^j y ^kz ^l para 0 ≤ i , j , k , l ≤ 2.

Los subgrupos p de Sylow del grupo simétrico de grado p ^{n a} veces se denotan W _p ( n ), y al usar esta notación se tiene que W _p ( n + 1) es el producto de la corona de W _p ( n ) y W _p ( 1).

En general, los subgrupos p de Sylow del grupo simétrico de grado n son un producto directo de a _i copias de W _p ( i ), donde 0 ≤ a _i ≤ p - 1 y n = a ₀  +  p · a ₁  + ... +  p ^k · a _k (la base p expansión de n ).

Por ejemplo, W ₂ (1) = C ₂ y W ₂ (2) = D ₈ , el grupo diedro de orden 8 , por lo que un subgrupo Sylow 2 del grupo simétrico de grado 7 se genera mediante {(1,3). ) (2,4), (1,2), (3,4), (5,6)} y es isomorfo a D ₈  × C ₂ .

Estos cálculos se atribuyen a ( Kaloujnine 1948 ) y se describen con más detalle en ( Rotman 1995 , p. 176). Sin embargo , tenga en cuenta que ( Kerber 1971 , p. 26) atribuye el resultado a una obra de Cauchy de 1844 , y menciona que incluso está cubierto en forma de libro de texto en ( Netto 1882 , §39–40).

Subgrupos transitivos [ editar ]

Un subgrupo transitivo de S _n es un subgrupo cuya acción en {1, 2,, ...,  n } es transitiva . Por ejemplo, el grupo de Galois de una extensión de Galois ( finita ) es un subgrupo transitivo de S _n , para algunos n .

Grupo de automorfismo [ editar ]

Más información: Automorfismos de los grupos simétricos y alternos.

norte	$${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (\ mathrm {S} _ {n})}	$${\ displaystyle \ mathrm {Out} (\ mathrm {S} _ {n})}	$${\ displaystyle \ mathrm {Z} (\ mathrm {S} _ {n})}
$${\ displaystyle n \ neq 2,6}	$${\ displaystyle \ mathrm {S} _ {n}}	1	1
$${\ displaystyle n = 2}	1	1	$${\ displaystyle \ mathrm {S} _ {2}}
$${\ displaystyle n = 6}	$${\ displaystyle \ mathrm {S} _ {6} \ rtimes \ mathrm {C} _ {2}}	$${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {2}}	1

Para n ≠ 2, 6 , S _n es un grupo completo : su grupo de automorfismo central y externo son triviales.

Para n = 2 , el grupo automorphism es trivial, pero S ₂ no es trivial: es isomorfo a C ₂ , que es abeliano, y por lo tanto el centro es todo el grupo.

Para n = 6 , tiene un automorfismo externo de orden 2: Fuera (S ₆ ) = C ₂ , y el grupo de automorfismo es un producto semidirecto

$${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (\ mathrm {S} _ {6}) = \ mathrm {S} _ {6} \ rtimes \ mathrm {C} _ {2}. \}

De hecho, para cualquier conjunto X de cardinalidad distinto de 6, cada automorfismo del grupo simétrico en X es interno, un resultado primero debido a ( Schreier y Ulam 1937 ) según ( Dixon y Mortimer 1996 , p. 259).

Homología [ editar ]

Ver también: Grupo alterno § Homología de grupo.

La homología de grupo de S _n es bastante regular y se estabiliza: la primera homología (concretamente, la abelianización ) es:

{\ displaystyle H_ {1} (\ mathrm {S} _ {n}, \ mathbf {Z}) = {\ begin {cases} 0 & n <2 2.="" 2="" amp="" casos="" end="" font="" geq="" mathbf="" n="">

El primer grupo de homología es la abelianización, y corresponde al mapa de signos S _n → S _2, que es la abelianización para n ≥ 2; para n <2 el="" es="" font="" grupo="" nbsp="" sim="" trico="" trivial.="">Esta homología se calcula fácilmente de la siguiente manera: S _n es generada por involuciones (2 ciclos, que tienen orden 2), por lo que los únicos mapas no triviales S _n → C _p son a S ₂ y todas las involuciones son conjugadas, por lo tanto, map to El mismo elemento en la abelianización (ya que la conjugación es trivial en grupos abelianos). Por lo tanto, los únicos mapas posibles S _n → S ₂ ≅ {± 1}envíe una involución a 1 (el mapa trivial) o a −1 (el mapa de signos). También se debe mostrar que el mapa de signos está bien definido, pero suponiendo que esto da la primera homología de S _n .

La segunda homología (concretamente, el multiplicador de Schur ) es:

{\ displaystyle H_ {2} (\ mathrm {S} _ {n}, \ mathbf {Z}) = {\ begin {cases} 0 & n <4 2="" 4.="" amp="" casos="" end="" font="" geq="" mathbf="" n="">

Esto se calculó en ( Schur 1911 ) y corresponde a la doble portada del grupo simétrico , 2 · S _n .

Tenga en cuenta que la excepcional homología de baja dimensión del grupo alterno ($${\ displaystyle H_ {1} (\ mathrm {A} _ {3}) \ cong H_ {1} (\ mathrm {A} _ {4}) \ cong \ mathrm {C} _ {3},} correspondiente a la abelianización no trivial, y $${\ displaystyle H_ {2} (\ mathrm {A} _ {6}) \ cong H_ {2} (\ mathrm {A} _ {7}) \ cong \ mathrm {C} _ {6},}debido a la excepcional cubierta triple) no cambia la homología del grupo simétrico; los fenómenos de grupo alterno producen fenómenos de grupo simétricos - el mapa$${\ displaystyle \ mathrm {A} _ {4} \ twoheadrightarrow \ mathrm {C} _ {3}} se extiende a $${\ displaystyle \ mathrm {S} _ {4} \ twoheadrightarrow \ mathrm {S} _ {3},}y las portadas triples de A ₆ y A _{7 se} extienden a portadas triples de S ₆ y S ₇ , pero estas no son homológicas , el mapa$${\ displaystyle \ mathrm {S} _ {4} \ twoheadrightarrow \ mathrm {S} _ {3}}no cambia la abelianización de S ₄ , y las portadas triples tampoco corresponden a la homología.

La homología "se estabiliza" en el sentido de la teoría de homotopía estable : hay un mapa de inclusión S _n → S _{n + 1} , y para k fijo , el mapa inducido en la homología H _k (S _n ) → H _k (S _{n + 1} ) es un isomorfismo para n lo suficientemente alto . Esto es análogo a la homología de familias que estabilizan los grupos de mentiras .

La homología del grupo simétrico infinito se calcula en ( Nakaoka 1961 ), con el álgebra de cohomología formando un álgebra de Hopf .

Teoría de la representación [ editar ]

Artículo principal: Teoría de la representación del grupo simétrico.

La teoría de la representación del grupo simétrico es un caso particular de la teoría de la representación de grupos finitos , para lo cual se puede obtener una teoría concreta y detallada. Esto tiene una gran área de aplicaciones potenciales, desde la teoría de la función simétrica hasta los problemas de la mecánica cuánticapara varias partículas idénticas .

El grupo simétrico S _n tiene orden n ! Sus clases de conjugación están etiquetadas por particiones de  n . Por lo tanto, según la teoría de la representación de un grupo finito, el número de representaciones irreductibles noequivalentes , sobre los números complejos , es igual al número de particiones de  n . A diferencia de la situación general para grupos finitos, de hecho, existe una manera natural de parametrizar la representación irreducible por el mismo conjunto que parametriza las clases de conjugación, a saber, por particiones de n o equivalentemente Diagramas jóvenes de tamaño  n .

Cada una de estas representaciones irreductibles puede realizarse sobre los enteros (cada permutación que actúa por una matriz con coeficientes enteros); se puede construir explícitamente calculando los simetrizadores Young que actúan en un espacio generado por el cuadro de formas de Young dado por el diagrama de Young.

Sobre otros campos, la situación puede ser mucho más complicada. Si el campo K tiene una característica igual a cero o mayor que n, entonces según el teorema de Maschke, el álgebra de grupos K S _n es semisimple. En estos casos, las representaciones irreductibles definidas sobre los enteros dan el conjunto completo de representaciones irreducibles (después de la reducción del módulo la característica si es necesario).

Sin embargo, las representaciones irreductibles del grupo simétrico no se conocen en características arbitrarias. En este contexto, es más habitual utilizar el lenguaje de los módulos en lugar de las representaciones. La representación obtenida de una representación irreductible definida sobre los enteros al reducir el módulo, la característica no será en general irreductible. Los módulos así construidos se llaman módulos de Specht , y cada irreductible surge dentro de tal módulo. Ahora hay menos irreducibles, y aunque pueden clasificarse, son muy poco conocidos. Por ejemplo, incluso sus dimensiones no son conocidas en general.

La determinación de los módulos irreductibles para el grupo simétrico sobre un campo arbitrario es ampliamente considerada como uno de los problemas abiertos más importantes en la teoría de la representación.