LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

grupo diedro es el grupo de simetrías de un polígono regular , ^[1] [2] que incluye rotaciones y reflexiones . Los grupos diédricos se encuentran entre los ejemplos más simples de grupos finitos , y desempeñan un papel importante en la teoría de grupos , la geometría y la química .

La notación para el grupo diedro difiere en geometría y álgebra abstracta . En geometría , D _n o Dih _{n se} refiere a las simetrías del n-gon , un grupo de orden 2 n . En álgebra abstracta , D _{2 n se} refiere a este mismo grupo diedro. ^[3] La convención geométrica se utiliza en este artículo.

Definición [ editar ]

Elementos [ editar ]

Los seis ejes de reflexión de un hexágono regular.

Un polígono regular con $${\ displaystyle n} lados tiene $${\ displaystyle 2n} simetrias diferentes: $${\ displaystyle n}simetrias rotacionales y$${\ displaystyle n} simetrías de reflexión . Por lo general, tomamos$${\ displaystyle n \ geq 3}aquí. Las rotaciones y reflexiones asociadas conforman el grupo diedro.$${\ displaystyle \ mathrm {D} _ {n}}. Si$${\ displaystyle n}es impar, cada eje de simetría conecta el punto medio de un lado al vértice opuesto. Si$${\ displaystyle n}es par, hay n / 2 ejes de simetría que conectan los puntos medios de los lados opuestos y$${\ displaystyle n / 2}Ejes de simetría que conectan vértices opuestos. En cualquier caso, hay$${\ displaystyle n} ejes de simetría y $${\ displaystyle 2n}Elementos del grupo de simetría. ^[4] Reflejar en un eje de simetría seguido de reflejar en otro eje de simetría produce una rotación a través del doble del ángulo entre los ejes. ^[5]

La siguiente imagen muestra el efecto de los dieciséis elementos de $${\ displaystyle \ mathrm {D} _ {8}}en una señal de stop :

La primera fila muestra el efecto de las ocho rotaciones, y la segunda fila muestra el efecto de las ocho reflexiones, en cada caso actuando sobre la señal de stop con la orientación que se muestra en la parte superior izquierda.

Estructura del grupo [ editar ]

Al igual que con cualquier objeto geométrico, la composición de dos simetrías de un polígono regular es nuevamente una simetría de este objeto. Con la composición de simetrías para producir otra como operación binaria, esto da a las simetrías de un polígono la estructura algebraica de un grupo finito . ^[6]

La composición de estas dos reflexiones es una rotación.

La siguiente tabla de Cayley muestra el efecto de la composición en el grupo D ₃ (las simetrías de un triángulo equilátero ). r ₀ denota la identidad; r ₁ y r ₂ denotan rotaciones en sentido antihorario en 120 ° y 240 ° respectivamente, y s ₀ , s ₁ y s ₂ denotan reflexiones en las tres líneas que se muestran en la imagen adyacente.

	r 0	r 1	r 2	s0	s1	s2
r 0	r 0	r 1	r 2	s0	s1	s 2
r 1	r 1	r 2	r 0	s1	s2	s 0
r 2	r 2	r 0	r 1	s2	s0	s 1
s0	s0	s2	s1	r 0	r 2	r 1
s1	s1	s0	s2	r 1	r 0	r 2
s2	s2	s1	s0	r 2	r 1	r 0

Por ejemplo, s ₂ s ₁ = r ₁ , porque la reflexión s ₁ seguida por la reflexión s ₂ da como resultado una rotación de 120 °. El orden de los elementos que denota la composición es de derecha a izquierda, lo que refleja la convención de que el elemento actúa sobre la expresión a su derecha. La operación de composición no es conmutativa . ^[6]

En general, el grupo D _n tiene los elementos r ₀ ,…, r _n −1 y s ₀ ,…, s _n −1 , con la composición dada por las siguientes fórmulas:

$${\ displaystyle \ mathrm {r} _ {i} \, \ mathrm {r} _ {j} = \ mathrm {r} _ {i + j}, \ quad \ mathrm {r} _ {i} \, \ mathrm {s} _ {j} = \ mathrm {s} _ {i + j}, \ quad \ mathrm {s} _ {i} \, \ mathrm {r} _ {j} = \ mathrm {s} _ {ij}, \ quad \ mathrm {s} _ {i} \, \ mathrm {s} _ {j} = \ mathrm {r} _ {ij}.}

En todos los casos, la suma y la resta de los subíndices se realizarán utilizando aritmética modular con módulo n.

Representación de la matriz [ editar ]

Las simetrías de este pentágono son transformaciones lineales del plano como un espacio vectorial.

Si centramos el polígono regular en el origen, entonces los elementos del grupo diédrico actúan como transformaciones lineales del plano . Esto nos permite representar elementos de D _n como matrices , siendo la composición la multiplicación de matrices . Este es un ejemplo de una representación de grupo (bidimensional) .

Por ejemplo, los elementos del grupo D ₄ se pueden representar mediante las siguientes ocho matrices:

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {r} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right),\\[1em]\mathrm {s} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right).\end{matrix}}}$

En general, las matrices para elementos de D _n tienen la siguiente forma:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathrm {r} _ {k} & = {\ begin {pmatrix} \ cos {\ frac {2 \ pi k} {n}} & - \ sin {\ frac {2 \ pi k} {n}} \\\ sin {\ frac {2 \ pi k} {n}} & \ cos {\ frac {2 \ pi k} {n}} \ end {pmatrix}} \ \ { \ text {y}} \\\ mathrm {s} _ {k} & = {\ begin {pmatrix} \ cos {\ frac {2 \ pi k} {n}} & \ sin {\ frac {2 \ pi k} {n}} \\\ sin {\ frac {2 \ pi k} {n}} & - \ cos {\ frac {2 \ pi k} {n}} \ end {pmatrix}}. \ end { alineado}}}

r _k es una matriz de rotación , que expresa una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj a través de un ángulo de 2 πk / n . s _k es un reflejo a través de una línea que forma un ángulo de πk / n con el eje x .

Otras definiciones [ editar ]

Otras definiciones equivalentes de D _n son:

• El grupo de automorfismo de la gráfica que consiste solo en un ciclo con n vértices (si n ≥ 3).
• El grupo con presentación.

  {\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathrm {D} _ {n} & = \ langle \ mathrm {r}, \ mathrm {s} \ mid \ operatorname {ord} (\ mathrm {r}) = n, \ operatorname {ord} (\ mathrm {s}) = 2, \ mathrm {srs} = \ mathrm {r} ^ {- 1} \ rangle \\ & = \ langle \ mathrm {r, s} \ mid \ mathrm {r} ^ {n} = \ mathrm {s} ^ {2} = (\ mathrm {sr}) ^ {2} = 1 \ rangle. \ end {alineado}}}

  De la segunda presentación se deduce que D _n pertenece a la clase de grupos de Coxeter .
• El producto semidirecto de los grupos cíclicos Z _n y Z ₂ , con Z _{2 que} actúa sobre Z _n por inversión (así, D _nsiempre tiene un subgrupo normal isomorfo al grupo Z _n ). Z _n ⋊ _φ Z ₂ es isomorfo a D _n si φ (0) es la identidad y φ (1) es inversión.

Pequeños grupos diedros [ editar ]

Ejemplo de subgrupos de una simetría diédrica hexagonal

D ₁ es isomorfo a Z ₂ , el grupo cíclico de orden 2.

D ₂ es isomorfo a K ₄ , el cuatro grupos de Klein .

D ₁ y D ₂ son excepcionales en que:

• D ₁ y D ₂ son los únicos grupos diedros abelianos . De lo contrario, D _n no es abeliano.
• D _n es un subgrupo del grupo simétrico S _n para n ≥ 3 . Desde 2 n > n ! para n = 1 o n = 2 , para estos valores, D _n es demasiado grande para ser un subgrupo.
• El grupo de automorfismo interno de D ₂ es trivial, mientras que para otros valores pares de n , esto es D _n / Z ₂ .

Los gráficos de ciclo de los grupos diedros consisten en un n ciclo -elemento y n ciclos de 2 elementos. El vértice oscuro en los gráficos de ciclo a continuación de varios grupos diedros representa el elemento de identidad, y los otros vértices son los otros elementos del grupo. Un ciclo consiste en poderes sucesivos de cualquiera de los elementos conectados al elemento de identidad .

Gráficas de ciclo

D 1 = Z 2	D 2 = Z 2 2 = K 4	D 3	D 4	D 5
D 6 = D 3 × Z 2	D 7	D 8	D 9	D 10 = D 5 × Z 2

D 3 = S 3	D 4

El grupo diedro como grupo de simetría en 2D y grupo de rotación en 3D [ editar ]

Un ejemplo de grupo abstracto D _n , y una forma común de visualizarlo, es el grupo de isometrías del plano euclidiano que mantienen el origen fijo. Estos grupos forman una de las dos series de grupos de puntos discretos en dos dimensiones . D _n consiste en n rotaciones de múltiplos de 360 ° / n sobre el origen, y reflexiones através de n líneas a través del origen, formando ángulos de múltiplos de 180 ° / n entre sí. Este es el grupo de simetría de un polígono regular con n lados (paran ≥ 3 ; esto se extiende a los casos n = 1 y n = 2 donde tenemos un plano con un punto desplazado respectivamente del "centro" del "1-gon" y un "2-gon" o segmento de línea).

D _n es generado por una rotación r de orden n y una reflexión s de orden 2 de tal manera que

$${\ displaystyle \ mathrm {srs} = \ mathrm {r} ^ {- 1} \,}

En términos geométricos: en el espejo una rotación parece una rotación inversa.

En términos de números complejos : multiplicación por$${\ displaystyle e ^ {2 \ pi i \ over n}}Y la conjugación compleja .

En forma matricial, estableciendo

{\ displaystyle \ mathrm {r} _ {1} = {\ begin {bmatrix} \ cos {2 \ pi \ over n} & - \ sin {2 \ pi \ over n} \\ [8pt] \ sin {2 \ pi \ over n} & \ cos {2 \ pi \ over n} \ end {bmatrix}} \ qquad \ mathrm {s} _ {0} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end { bmatrix}}}

y definiendo $${\ displaystyle \ mathrm {r} _ {j} = \ mathrm {r} _ {1} ^ {j} y $${\ displaystyle \ mathrm {s} _ {j} = \ mathrm {r} _ {j} \, \ mathrm {s} _ {0}} para $${\ displaystyle j \ in \ {1, \ ldots, n-1 \}}Podemos escribir las reglas del producto para D _ncomo

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathrm {r} _ {j} \, \ mathrm {r} _ {k} & = \ mathrm {r} _ {(j + k) {\ text {mod}} n} \\\ mathrm {r} _ {j} \, \ mathrm {s} _ {k} & = \ mathrm {s} _ {(j + k) {\ text {mod}} n} \\\ mathrm {s} _ {j} \, \ mathrm {r} _ {k} & = \ mathrm {s} _ {(jk) {\ text {mod}} n} \\\ mathrm {s} _ {j } \, \ mathrm {s} _ {k} & = \ mathrm {r} _ {(jk) {\ text {mod}} n} \ end {alineado}}}

(Compara las rotaciones de coordenadas y reflexiones .)

El grupo diédrico D ₂ se genera por la rotación r de 180 grados, y la reflexión s a través del eje x . Los elementos de D ₂ se pueden representar como {e, r, s, rs}, donde e es la identidad o transformación nula y rs es la reflexión a través del eje y .

Los cuatro elementos de D ₂ (el eje x es vertical aquí)

D ₂ es isomorfo para los cuatro grupos de Klein .

Para n > 2, las operaciones de rotación y reflexión en general no se conmutan y D _n no es abeliana ; por ejemplo, en D ₄, una rotación de 90 grados seguida de una reflexión produce un resultado diferente de una reflexión seguida de una rotación de 90 grados.

D ₄ es nonabeliano (el eje x es vertical aquí).

Por lo tanto, más allá de su obvia aplicación a los problemas de simetría en el plano, estos grupos se encuentran entre los ejemplos más simples de grupos no abelianos, y como tales surgen con frecuencia como contraejemplos fáciles de teoremas que están restringidos a grupos abelianos.

Los 2 n elementos de D _n se pueden escribir como e , r , r ² , ..., r ^n −1 , s , rs , r ² s , ..., r ^n −1 s . Los primeros nelementos enumerados son rotaciones y los n elementos restantes son ejes-reflexiones (todos los cuales tienen orden 2). El producto de dos rotaciones o dos reflexiones es una rotación; El producto de una rotación y un reflejo es un reflejo.

Hasta ahora, hemos considerado que D _n es un subgrupo de O (2) , es decir, el grupo de rotaciones (sobre el origen) y las reflexiones (a través de los ejes hasta el origen) del plano. Sin embargo, la notación D _n también se usa para un subgrupo de SO (3) que también es del tipo de grupo abstracto D _n : el grupo de simetría adecuadode un polígono regular incrustado en un espacio tridimensional (si n ≥ 3). Tal figura puede considerarse como un sólido regular degenerado con su cara contada dos veces. Por lo tanto, también se le llama un diedro (griego: sólido con dos caras), que explica el nombreGrupo diedro (en analogía al grupo tetraédrico , octaédrico e icosaédrico , que se refiere a los grupos de simetría apropiados de un tetraedro regular , un octaedro y un icosaedro, respectivamente).

Ejemplos de simetría diédrica 2D [ editar ]

• 

  Simetría 2D D ₆ - La Estrella Roja de David
 
• 

  Simetría 2D D ₂₄ : Ashoka Chakra , como se muestra en la bandera nacional de la República de India .

Propiedades [ editar ]

Las propiedades de los grupos diedros D _n con n ≥ 3 dependen de si n es par o impar. Por ejemplo, el centro de D _n consiste solo en la identidad si n es impar, pero si n es par, el centro tiene dos elementos, a saber, la identidad y el elemento r ^{n / 2} (con D _n como un subgrupo de O (2 ), esto es una inversión ; ya que es una multiplicación escalar de −1, está claro que conmuta con cualquier transformación lineal).

En el caso de las isometrías 2D, esto corresponde a agregar inversión, dando rotaciones y espejos entre las existentes.

Para n dos veces un número impar, el grupo abstracto D _n es isomorfo con el producto directo de D _{n / 2} y Z ₂ . Generalmente, si m divide n , entonces D _n tiene n / m subgrupos de tipo D _m , y un subgrupo ℤ _m . Por lo tanto, el número total de subgrupos de D _n ( n  ≥ 1) es igual a d ( n ) + σ ( n ), donde d( n ) es el número de divisorespositivos de n y σ ( n ) es la suma de los divisores positivos de  n . Vea la lista de grupos pequeños para los casos  n  ≤ 8.

El grupo diédrico de orden 8 (D ₄ ) es el ejemplo más pequeña de un grupo que no es un grupo-T . Cualquiera de sus dos subgrupos de cuatro grupos de Klein (que son normales en D ₄ ) tiene como subgrupos normales de orden-2 de subgrupos generados por una reflexión (flip) en D ₄ , pero estos subgrupos no son normales en D ₄ .

Clases de conjugación de reflexiones [ editar ]

Todas las reflexiones se conjugan entre sí en el caso de que n sea ​​impar, pero caen en dos clases de conjugación si n es par. Si pensamos en las isometrías de un n- gon regular : para n impar hay rotaciones en el grupo entre cada par de espejos, mientras que para n incluso solo la mitad de los espejos se puede alcanzar desde uno por estas rotaciones. Geométricamente, en un polígono extraño, cada eje de simetría pasa a través de un vértice y un lado, mientras que en un polígono par hay dos conjuntos de ejes, cada uno correspondiente a una clase de conjugación: los que pasan a través de dos vértices y los que pasan a través de dos lados .

Algebraicamente, esta es una instancia del teorema de Sylow conjugado (para n impar): para n impar, cada reflexión, junto con la identidad, forma un subgrupo de orden 2, que es un subgrupo de Sylow 2 ( 2 = 2 ¹ es el potencia máxima de 2 dividiendo 2 n = 2 [2 k + 1] ), mientras que para n par, estos subgrupos de orden 2 no son subgrupos de Sylow porque 4 (una potencia mayor de 2) divide el orden del grupo.

Para n, incluso, en cambio, hay un automorfismo externo que intercambia los dos tipos de reflexiones (correctamente, una clase de automorfismos externos, todos conjugados por un automorfismo interno).

Grupo de automorfismo [ editar ]

El grupo de automorfismo de D _n es isomorfo al holomorfo de ℤ / n ℤ, es decir, a Hol (ℤ / n ℤ) = { ax + b | ( a , n ) = 1} y tiene un orden nϕ ( n ), donde ϕ es la función totient de Euler , el número de k en 1, ..., n - 1 coprime a n .

Se puede entender en términos de los generadores de una reflexión y una rotación elemental (rotación por k (2 π/ n ), para k coprime a n ); los automorfismos que son internos y externos dependen de la paridad de n .

• Para n impar, el grupo diedro es sin centros, por lo que cualquier elemento define un automorfismo interior no trivial; Para n incluso, la rotación en 180 ° (reflexión a través del origen) es el elemento no trivial del centro.
• Por lo tanto, para n impar, el grupo de automorfismo interno tiene orden 2 n , y para n par (distinto de n = 2 ) el grupo de automorfismo interno tiene orden n .
• Para n impar, todas las reflexiones son conjugadas; para n incluso, se dividen en dos clases (aquellas a través de dos vértices y aquellas a través de dos caras), relacionadas por un automorfismo externo, que se puede representar por rotación por π / n (la mitad de la rotación mínima).
• Las rotaciones son un subgrupo normal; La conjugación por un reflejo cambia el signo (dirección) de la rotación, pero por lo demás no los modifica. Por lo tanto, los automorfismos que multiplican los ángulos por k(coprima a n ) son externos, a menos que k = ± 1 .

Ejemplos de grupos de automorfismo [ editar ]

D ₉ tiene 18 automorfismos internos . Como grupo D _{9 de} isometría 2D , el grupo tiene espejos en intervalos de 20 °. Los 18 automorfismos internos proporcionan la rotación de los espejos en múltiplos de 20 ° y reflexiones. Como grupo de isometría estos son todos los automorfismos. Como grupo abstracto hay además de estos, 36 automorfismos externos ; Ej., multiplicando los ángulos de rotación por 2.

D ₁₀ tiene 10 automorfismos interiores. Como grupo D _{10 de} isometría 2D , el grupo tiene espejos en intervalos de 18 °. Los 10 automorfismos internos proporcionan rotación de los espejos en múltiplos de 36 ° y reflexiones. Como grupo de isometría hay 10 automorfismos más; Son conjugados por isometrías fuera del grupo, rotando los espejos 18 ° con respecto a los automorfismos internos. Como grupo abstracto hay además de estos 10 automorfismos internos y 10 externos, 20 automorfismos más externos; Ej., multiplicando rotaciones por 3.

Compare los valores 6 y 4 para la función totient de Euler , el grupo multiplicativo de enteros módulo n para n = 9 y 10, respectivamente. Esto triplica y duplica el número de automorfismos en comparación con los dos automorfismos como isometrías (manteniendo el orden de las rotaciones igual o invirtiendo el orden).

Los únicos valores de n para los cuales φ ( n ) = 2 son 3, 4 y 6, y en consecuencia, solo hay tres grupos diedros que son isomorfos a sus propios grupos de automorfismo, es decir, D ₃ (orden 6), D ₄ ( orden 8), y D ₆ (orden 12). ^{[7] [8] [9]}

Grupo de automorfismo interno [ editar ]

El grupo de automorfismo interno de D _n es isomorfo para: ^[10]

• D _n si n es impar;
• Trivial si n = 2 ;
• D _n / Z ₂ si n es par y n > 2 .

Generalizaciones [ editar ]

Hay varias generalizaciones importantes de los grupos diedros:

• El grupo diédrico infinito es un grupo infinito con estructura algebraica similar a los grupos diédricos finitos. Puede verse como el grupo de simetrías de los enteros .
• El grupo ortogonal O (2), es decir, el grupo de simetría del círculo , también tiene propiedades similares a los grupos diédricos.
• La familia de grupos diédricos generalizados incluye los dos ejemplos anteriores, así como muchos otros grupos.
• Los grupos cuasidihédricos son una familia de grupos finitos con propiedades similares a los grupos diédricos.