MECÁNICA CUÁNTICA

la mecánica cuántica fraccional es una generalización de la mecánica cuántica estándar , que naturalmente se manifiesta cuando las rutas cuánticas de estilo browniano sustituyen a las de Lévy en la integral de ruta de Feynman . Ha sido descubierto por Nick Laskin, quien acuñó el término mecánica cuántica fraccional .

Fundamentos [ editar ]

La mecánica cuántica estándar se puede abordar de tres maneras diferentes: la mecánica matricial , la ecuación de Schrödinger y la integral de trayectoria de Feynman .

La integral de trayectoria de Feynman ^[2] es la integral de trayectoria sobre las trayectorias mecánico-cuánticas de tipo browniano. La mecánica cuántica fraccional ha sido descubierta por Nick Laskin (1999) como resultado de la expansión de la integral de la ruta de Feynman , desde las rutas de la mecánica cuántica de tipo Browniano a la mecánica de Lévy. Un camino integral sobre los caminos de mecánica cuántica tipo Lévy da como resultado una generalización de la mecánica cuántica . ^[3] Si la integral de trayectoria de Feynman conduce a la conocida ecuación de Schrödinger , entonces la integral de trayectoria sobre las trayectorias de Lévy conduce a la ecuación de Schrödinger fraccional . ^[4] ElEl proceso de Lévy se caracteriza por el índice de Lévy α , 0 <  α  ≤ 2. En el caso especial cuando α  = 2, el proceso de Lévy se convierte en el proceso de movimiento browniano . La ecuación de Schrödinger fraccional incluye una derivada de espacio de orden fraccional α en lugar de la derivadade espacio de segundo orden ( α  = 2) en la ecuación de Schrödinger estándar. Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger fraccional es una ecuación diferencial fraccional de acuerdo con la terminología moderna. ^[5] Este es el punto clave para lanzar el término ecuación de Schrödinger fraccional y un término más generalMecánica cuántica fraccional . Como se mencionó anteriormente, en α  = 2, el movimiento de Lévy se convierte en movimiento browniano . Por lo tanto, la mecánica cuántica fraccional incluye la mecánica cuántica estándar como un caso particular en α  = 2. La integral de trayectoria cuántica-mecánica sobre las trayectorias de Lévy en α  = 2 se convierte en la integral de la trayectoria de Feynman conocida y la ecuación de Schrödinger fraccional seconvierte en la conocida Ecuación de Schrödinger .

Ecuación de Schrödinger fraccional [ editar ]

La ecuación de Schrödinger fraccional descubierta por Nick Laskin tiene la siguiente forma (ver, Refs. [1,3,4])

$${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = D _ {\ alpha} (- \ hbar ^ {2} \ Delta) ^ {\ alpha / 2} \ psi (\ mathbf {r}, t) + V (\ mathbf {r}, t) \ psi (\ mathbf {r}, t) \,}

utilizando las definiciones estándar:

• r es el vector de posición tridimensional ,
• ħ es la constante de Planck reducida ,
• ψ ( r , t ) es la función de onda , que es la función mecánica cuántica que determina la amplitud de probabilidad para que la partícula tenga una posición r dada en cualquier momento t ,
• V ( r , t ) es una energía potencial ,
• Δ = ∂ ² / ∂ r ² es el operador de Laplace .

Promover,

• D _α es una constante de escala con dimensión física [D _α ] = [energía] ^{1 - α} · [longitud] ^α [tiempo] ^- α , en α  = 2, D ₂ = 1/2 m , donde m es una masa de partículas ,
• el operador (- ħ ² Δ) ^{α / 2} es el derivado cuántico fraccional de Riesz tridimensional definido por (ver, Refs. [3, 4]);

$${\ displaystyle (- \ hbar ^ {2} \ Delta) ^ {\ alpha / 2} \ psi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {(2 \ pi \ hbar) ^ {3 }}} \ int d ^ {3} pe ^ {i \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r} / \ hbar} | \ mathbf {p} | ^ {\ alpha} \ varphi (\ mathbf {p} , t),}

Aquí, la onda funciona en los espacios de posición y momento ;$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t)} y $${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {p}, t)}están relacionados entre sí por las transformadas de Fourier tridimensionales :

$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {(2 \ pi \ hbar) ^ {3}}} \ int d ^ {3} pe ^ {i \ mathbf {p } \ cdot \ mathbf {r} / \ hbar} \ varphi (\ mathbf {p}, t), \ qquad \ varphi (\ mathbf {p}, t) = \ int d ^ {3} re ^ {- i \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r} / \ hbar} \ psi (\ mathbf {r}, t).}

El índice α en la ecuación de Schrödinger fraccional es el índice de Lévy, 1 <  α  ≤ 2.

Mecánica cuántica fraccional en sistemas de estado sólido [ editar ]

La masa efectiva de estados en sistemas de estado sólido puede depender del vector de onda k, es decir, formalmente se considera m = m (k). Los modos de condensado de Polariton Bose-Einstein son ejemplos de estados en sistemas de estado sólido con masa sensible a variaciones y localmente en k la mecánica cuántica fraccional es experimentalmente factible.

La ecuación de Schrödinger fraccional es una ecuación fundamental de la mecánica cuántica fraccional . Fue descubierto por Nick Laskin(1999) como resultado de la extensión de la integral de la trayectoria de Feynman , desde las vías mecánicas cuánticas de tipo browniano a las de tipo cuántico de tipo Lévy. El término ecuación de Schrödinger fraccional fue acuñado por Nick Laskin.

Fundamentos [ editar ]

La ecuación de Schrödinger fraccional en la forma originalmente obtenida por Nick Laskin es: ^[2]

$${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = D _ {\ alpha} (- \ hbar ^ {2} \ Delta) ^ {\ alpha / 2} \ psi (\ mathbf {r}, t) + V (\ mathbf {r}, t) \ psi (\ mathbf {r}, t)}

• r es el vector de posición tridimensional ,
• ħ es la constante de Planck reducida ,
• ψ ( r , t ) es la función de onda , que es la amplitud de probabilidad mecánica cuántica para que la partícula tenga una posición r determinada en cualquier momento t ,
• V ( r , t ) es una energía potencial ,
• Δ = ∂ ² / ∂ r ² es el operador de Laplace .

Promover,

• D _α es una constante de escala con dimensión física [D _α ] = [energía] ^{1 - α} · [longitud] ^α [tiempo] ^- α , en α  = 2,D ₂ = 1/2 m , donde m es una masa de partículas ,
• el operador (- ħ ² Δ) ^{α / 2} es el derivado de Riesz cuántico fraccional tridimensional definido por (ver, Ref. [2]);

$${\ displaystyle (- \ hbar ^ {2} \ Delta) ^ {\ alpha / 2} \ psi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {(2 \ pi \ hbar) ^ {3 }}} \ int d ^ {3} pe ^ {i {\ frac {\ mathbf {pr}} {\ hbar}}} | \ mathbf {p} | ^ {\ alpha} \ varphi (\ mathbf {p} , t),}

Aquí, la onda funciona en los espacios de posición y momento ;$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t)} y $${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {p}, t)}están relacionados entre sí por las transformadas de Fourier tridimensionales :

$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {(2 \ pi \ hbar) ^ {3}}} \ int d ^ {3} pe ^ {i \ mathbf {p } \ cdot \ mathbf {r} / \ hbar} \ varphi (\ mathbf {p}, t), \ qquad \ varphi (\ mathbf {p}, t) = \ int d ^ {3} re ^ {- i \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r} / \ hbar} \ psi (\ mathbf {r}, t).}

El índice α en la ecuación de Schrödinger fraccional es el índice de Lévy, 1 <  α  ≤ 2. Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger fraccional incluye una derivada de espacio de orden fraccional α en lugar de la derivada de espacio de segundo orden ( α  = 2) en la ecuación de Schrödinger estándar . Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger fraccional es una ecuación diferencial fraccional de acuerdo con la terminología moderna. ^[3] Este es el punto principal del término ecuación de Schrödinger fraccional o un término más general, la mecánica cuántica fraccional . ^[4] En α = 2 La ecuación de Schrödinger fraccional se convierte en la conocida ecuación de Schrödinger .

La ecuación de Schrödinger fraccional tiene la siguiente forma de operador

$${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = {\ hat {H}} _ {\ alpha} \ psi (\ mathbf {r }, t)}

donde el operador fraccional de Hamilton $${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ alpha}} es dado por

$${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ alpha} = D _ {\ alpha} (- \ hbar ^ {2} \ Delta) ^ {\ alpha / 2} + V (\ mathbf {r}, t) .}

El operador de Hamilton ,$${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ alpha}}corresponde a la mecánica clásica de la función hamiltoniana introducida por Nick Laskin.

$${\ displaystyle H _ {\ alpha} (\ mathbf {p}, \ mathbf {r}) = D _ {\ alpha} | \ mathbf {p} | ^ {\ alpha} + V (\ mathbf {r}, t) ,}

donde p y r son el impulso y los vectores de posición respectivamente.

Ecuación de Schrödinger fraccional independiente del tiempo [ editar ]

El caso especial cuando el hamiltoniano $${\ displaystyle H _ {\ alpha}} es independiente del tiempo

$${\ displaystyle H _ {\ alpha} = D _ {\ alpha} (- \ hbar ^ {2} \ Delta) ^ {\ alpha / 2} + V (\ mathbf {r}),}

Es de gran importancia para las aplicaciones físicas. Es fácil ver que en este caso existe la solución especial de la ecuación de Schrödinger fraccional

$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t) = e ^ {- (i / \ hbar) Et} \ phi (\ mathbf {r}),}

dónde $${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r})} satisface

$${\ displaystyle H _ {\ alpha} \ phi (\ mathbf {r}) = E \ phi (\ mathbf {r}),}

o

$${\ displaystyle D _ {\ alpha} (- \ hbar ^ {2} \ Delta) ^ {\ alpha / 2} \ phi (\ mathbf {r}) + V (\ mathbf {r}) \ phi (\ mathbf { r}) = E \ phi (\ mathbf {r}).}

Esta es la ecuación de Schrödinger fraccional independiente del tiempo (ver, Ref. [2]).

Así, vemos que la función de onda. $${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t)}Oscila con una frecuencia definida. En la física clásica la frecuencia corresponde a la energía. Por lo tanto, el estado de la mecánica cuántica tiene una energía definida E . La probabilidad de encontrar una partícula en$${\ displaystyle \ mathbf {r}} es el cuadrado absoluto de la función de onda $${\ displaystyle | \ psi (\ mathbf {r}, t) | ^ {2}.} Debido a la ecuación de Schrödinger fraccional independiente del tiempo, esto es igual a $${\ displaystyle | \ phi (\ mathbf {r}) | ^ {2}} Y no depende del tiempo. Es decir, la probabilidad de encontrar la partícula en$${\ displaystyle \ mathbf {r}}Es independiente del tiempo. Se puede decir que el sistema está en un estado estacionario. En otras palabras, no hay variación en las probabilidades en función del tiempo.

Probabilidad densidad de corriente [ editar ]

La ley de conservación de la probabilidad mecánica cuántica fraccional ha sido descubierta por primera vez por DATayurskii y Yu.V. Lysogorski ^[5]

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} (\ mathbf {r}, t) + K (\ mathbf {r}, t) = 0,}

dónde $${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t) = \ psi ^ {\ ast} (\ mathbf {r}, t) \ psi (\ mathbf {r}, t)} Es la densidad de probabilidad mecánica cuántica y el vector. $${\ displaystyle \ mathbf {j} (\ mathbf {r}, t)} Puede ser llamado por el vector de densidad de corriente de probabilidad fraccional

$${\ displaystyle \ mathbf {j} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {D _ {\ alpha} \ hbar} {i}} \ left (\ psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) (- \ hbar ^ {2} \ Delta) ^ {\ alpha / 2-1} \ mathbf {\ nabla} \ psi (\ mathbf {r}, t) - \ psi (\ mathbf {r}, t ) (- \ hbar ^ {2} \ Delta) ^ {\ alpha / 2-1} \ mathbf {\ nabla} \ psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \ right),}

y

$${\ displaystyle {\ mathit {K}} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {D _ {\ alpha} \ hbar} {i}} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ psi (\ mathbf {r}, t) (- \ hbar ^ {2} \ Delta) ^ {\ alpha / 2-1} \ mathbf {\ nabla} \ psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) - (\ mathbf {\ nabla} \ psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) (- \ hbar ^ {2} \ Delta) ^ {\ alpha / 2-1} \ mathbf {\ nabla} \ psi (\ mathbf {r}, t) \ derecha),}

Aquí usamos la notación (ver también cálculo de matriz ):$${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla = \ partial / \ partial r}}.

Se ha encontrado en la Ref. [5] que hay condiciones físicas cuánticas cuando el nuevo término$${\ displaystyle {\ mathit {K}} (\ mathbf {r}, t)}es insignificante y llegamos a la ecuación de continuidad para la probabilidad cuántica actual y la densidad cuántica (ver, Ref. [2]):

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} (\ mathbf {r}, t) = 0.}

Presentando el operador de impulso $${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {p}}} = {\ frac {\ hbar} {i}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {r}}}} podemos escribir el vector $${\ displaystyle \ mathbf {j}} en el formulario (ver, Ref. [2])

$${\ displaystyle \ mathbf {j =} D _ {\ alpha} \ left (\ psi ({\ hat {\ mathbf {p}}} ^ {2}) ^ {\ alpha / 2-1} {\ hat {\ mathbf {p}}} \ psi ^ {\ ast} + \ psi ^ {\ ast} ({\ hat {\ mathbf {p}}} ^ {\ ast 2}) ^ {\ alpha / 2-1} { \ hat {\ mathbf {p}}} ^ {\ ast} \ psi \ right).}

Esta es una generalización fraccional de la ecuación conocida para el vector de densidad de corriente de probabilidad de la mecánica cuántica estándar (ver, Ref. [7]).

Operador de velocidad [ editar ]

El operador de la velocidad mecánica cuántica. $${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {v}}}} Se define como sigue:

$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {v}}} = {\ frac {i} {\ hbar}} (H _ {\ alpha} {\ hat {\ mathbf {r}}} \ mathbf {-} {\ hat {\ mathbf {r}}} H _ {\ alpha}),}

Resultados de cálculos directos en (ver, Ref. [2])

$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {v}}} = \ alpha D _ {\ alpha} | {\ hat {\ mathbf {p}}} ^ {2} | ^ {\ alpha / 2-1} {\ hat {\ mathbf {p}}} \ ,.}

Por lo tanto,

{\ displaystyle \ mathbf {j =} {\ frac {1} {\ alpha}} \ left (\ psi {\ hat {\ mathbf {v}}} \ psi ^ {\ ast} + \ psi ^ {\ ast } {\ hat {\ mathbf {v}}} \ psi \ right), \ qquad 1 <\ alpha \ leq 2.}

Para obtener una densidad de corriente de probabilidad igual a 1 (la corriente cuando una partícula pasa a través del área de unidad por unidad de tiempo), la función de onda de una partícula libre debe normalizarse como

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t) = {\ sqrt {\ frac {\ alpha} {2 \ mathrm {v}}}} \ exp \ left [{\ frac {i} {\ hbar} } (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r} -Et) \ right], \ qquad E = D _ {\ alpha} | \ mathbf {p} | ^ {\ alpha}, \ qquad 1 <\ alpha \ leq 2,}

dónde $${\ displaystyle \ mathrm {v}} es la velocidad de la partícula ,$${\ displaystyle \ mathrm {v} = \ alpha D _ {\ alpha} p ^ {\ alpha -1}}.

Entonces nosotros tenemos

$${\ displaystyle \ mathbf {j =} {\ frac {\ mathbf {v}} {\ mathrm {v}}}, \ qquad \ mathbf {v} = \ alpha D _ {\ alpha} | \ mathbf {p} ^ {2} | ^ {{\ frac {\ alpha} {2}} - 1} \ mathbf {p,}}

es decir, el vector $${\ displaystyle \ mathbf {j}}es de hecho el vector unitario .

Aplicaciones físicas [ editar ]

Átomo fraccionario de Bohr [ editar ]

Artículo principal: átomo de Bohr.

Cuando $${\ displaystyle V (\ mathbf {r})}es la energía potencial de un átomo parecido al hidrógeno ,

$${\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = - {\ frac {Ze ^ {2}} {| \ mathbf {r} |}},}

donde e es la carga de electrones y Z es el número atómico del átomo parecido al hidrógeno, (así que Ze es la carga nuclear del átomo), llegamos a seguir el problema del valor eigen fraccional ,

$${\ displaystyle D _ {\ alpha} (- \ hbar ^ {2} \ Delta) ^ {\ alpha / 2} \ phi (\ mathbf {r}) - {\ frac {Ze ^ {2}} {| \ mathbf {r |}}} \ phi (\ mathbf {r}) = E \ phi (\ mathbf {r}).}

Este problema de valor propio fue introducido y resuelto por primera vez por Nick Laskin en. ^[6]

Utilizando los primeros postulados de Niels Bohr.

$${\ displaystyle \ alpha D _ {\ alpha} \ left ({\ frac {n \ hbar} {a_ {n}}} \ right) ^ {\ alpha} = {\ frac {Ze ^ {2}} {a_ { norte}}},}

y nos da la ecuación para el radio de Bohr del átomo fraccional de hidrógeno

$${\ displaystyle a_ {n} = a_ {0} n ^ {\ alpha / (\ alpha -1)}.}

Aquí un ₀ es el radio de Bohr fraccional (el radio de la órbita más baja, n = 1, Bohr) definido como,

$${\ displaystyle a_ {0} = \ left ({\ frac {\ alpha D _ {\ alpha} \ hbar ^ {\ alpha}} {Ze ^ {2}}} \ right) ^ {1 / (\ alpha -1 )}.}

Los niveles de energía del átomo de hidrógeno fraccional están dados por

{\ displaystyle E_ {n} = (1- \ alpha) E_ {0} n ^ {- \ alpha / (\ alpha -1)}, \ qquad 1 <\ alpha \ leq 2,}

donde E ₀ es la energía de enlace del electrón en la órbita de Bohr más baja, es decir, la energía requerida para ponerlo en un estado con E = 0 correspondiente a n = ∞,

$${\ displaystyle E_ {0} = \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {\ alpha D _ {\ alpha} ^ {1 / \ alpha} \ hbar}} \ right) ^ {\ alpha / (\ alfa -1)}.}

La energía ( α - 1) E ₀ dividida por ħc , ( α - 1) E ₀ / ħc , puede considerarse como generalización fraccional de laconstante de Rydberg de la mecánica cuántica estándar . Para α  = 2 y Z = 1 la fórmula $${\ displaystyle (\ alpha -1) E_ {0} / \ hbar c} se transforma en

$${\ displaystyle \ mathrm {Ry} = yo ^ {4} / 2 \ hbar ^ {3} c},

que es la expresión conocida para la fórmula de Rydberg .

Según el segundo postulado de Niels Bohr , la frecuencia de radiación$${\ displaystyle \ omega _ {m, n}}asociado a la transición, digamos, por ejemplo, de la órbita m a la órbita n , es,

$${\ displaystyle \ omega _ {m, n} = {\ frac {(1- \ alpha) E_ {0}} {\ hbar}} \ left [{\ frac {1} {n ^ {\ frac {\ alpha } {\ alpha -1}}}} - {\ frac {1} {m ^ {\ frac {\ alpha} {\ alpha -1}}}} \ right]}.

Las ecuaciones anteriores son generalización fraccional del modelo de Bohr. En el caso especial de Gauss, cuando ( α  = 2) esas ecuaciones nos dan los resultados conocidos del modelo de Bohr . ^[7]

El potencial infinito bien [ editar ]

Una partícula en un pozo unidimensional se mueve en un campo potencial $${\ displaystyle V ({x})}, que es cero para $${\ displaystyle -a \ leq x \ leq a}y que es infinito en otra parte,

{\ displaystyle V (x) = \ infty, \ qquad x <-a font="" i="" mathrm="" qquad="">

$${\ displaystyle V (x) = 0, \ quad -a \ leq x \ leq a \ quad \ quad \ quad \ (\ mathrm {ii})}

{\ displaystyle V (x) = \ infty, \ qquad \ x> a \ qquad \ qquad \ (\ mathrm {iii})}

Es evidente a priori que el espectro de energía será discreto. La solución de la ecuación de Schrödinger fraccional para el estado estacionario con energía E bien definida se describe mediante una función de onda.$${\ displaystyle \ psi (x)}, que puede ser escrito como

$${\ displaystyle \ psi (x, t) = \ left (-i {\ frac {Et} {\ hbar}} \ right) \ phi (x)},

dónde $${\ displaystyle \ phi (x)}, ahora es tiempo independiente. En las regiones (i) y (iii), la ecuación de Schrödinger fraccional solo se puede satisfacer si tomamos$${\ displaystyle \ phi (x) = 0}. En la región media (ii), la ecuación de Schrödinger fraccional independiente del tiempo es (ver, Ref. [6]).

$${\ displaystyle D _ {\ alpha} (\ hbar \ nabla) ^ {\ alpha} \ phi (x) = E \ phi (x).}

Esta ecuación define las funciones de onda y el espectro de energía dentro de la región (ii), mientras que fuera de la región (ii), x <-a x="" y=""> a, las funciones de onda son cero. La funcion de onda$${\ displaystyle \ phi (x)} Tiene que ser continuo en todas partes, por lo que imponemos las condiciones de contorno. $${\ displaystyle \ phi (-a) = \ phi (a) = 0}para las soluciones de la ecuación de Schrödinger fraccional independiente del tiempo (ver, Ref. [6]). Entonces la solución en la región (ii) se puede escribir como

$${\ displaystyle \ phi (x) = A \ exp (ikx) + B \ exp (-ikx).}

Para satisfacer las condiciones de contorno tenemos que elegir

$${\ displaystyle A = -B \ exp (-i2ka),}

y

$${\ displaystyle \ sin (2ka) = 0.}

De la última ecuación se deduce que

$${\ displaystyle 2ka = n \ pi.}

Entonces el par ($${\ displaystyle \ phi _ {n} ^ {\ mathrm {even}} (- x) = \ phi _ {n} ^ {\ mathrm {even}} (x)} bajo reflexión $${\ displaystyle x \ rightarrow -x}) solución de la ecuación de Schrödinger fraccional independiente del tiempo $${\ displaystyle \ phi ^ {\ mathrm {even}} (x)} En el infinito potencial se encuentra el pozo.

$${\ displaystyle \ phi _ {n} ^ {\ mathrm {even}} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {a}}} \ cos \ left [{\ frac {n \ pi x} { 2a}} \ derecha], \ quad n = 1,3,5, ....}

Lo extraño$${\ displaystyle \ phi _ {n} ^ {\ mathrm {odd}} (- x) = - \ phi _ {n} ^ {\ mathrm {odd}} (x)} bajo reflexión $${\ displaystyle x \ rightarrow -x}) solución de la ecuación de Schrödinger fraccional independiente del tiempo $${\ displaystyle \ phi ^ {\ mathrm {even}} (x)} En el infinito potencial se encuentra el pozo.

$${\ displaystyle \ phi _ {n} ^ {\ mathrm {odd}} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {a}}} \ sin \ left [{\ frac {n \ pi x} { 2a}} \ derecha], \ quad n = 2,4,6, ....}

Las soluciones $${\ displaystyle \ phi ^ {\ mathrm {even}} (x)} y $${\ displaystyle \ phi ^ {\ mathrm {odd}} (x)} tener la propiedad que

$${\ displaystyle \ int \ limits _ {- a} ^ {a} dx \ phi _ {m} ^ {\ mathrm {even}} (x) \ phi _ {n} ^ {\ mathrm {even}} (x ) = \ int \ limits _ {- a} ^ {a} dx \ phi _ {m} ^ {\ mathrm {odd}} (x) \ phi _ {n} ^ {\ mathrm {odd}} (x) = \ delta _ {mn},}

dónde $${\ displaystyle \ delta _ {mn}}es el símbolo de Kronecker y

$${\ displaystyle \ int \ limits _ {- a} ^ {a} dx \ phi _ {m} ^ {\ mathrm {even}} (x) \ phi _ {n} ^ {\ mathrm {odd}} (x ) = 0.}

Los valores propios de la partícula en un pozo de potencial infinito son (ver, Ref. [6])

{\ displaystyle E_ {n} = D _ {\ alpha} \ left ({\ frac {\ pi \ hbar} {2a}} \ right) ^ {\ alpha} n ^ {\ alpha}, \ qquad \ qquad n = 1,2,3 ...., \ qquad 1 <\ alpha \ leq 2.}

Es obvio que en el caso gaussiano ( α  = 2) las ecuaciones anteriores se transforman en ecuaciones cuánticas estándar para una partícula en un recuadro (por ejemplo, consulte la ecuación (20.7) en ^[8] )

El estado de la energía más baja, el estado fundamental , en el pozo de potencial infinito está representado por el$${\ displaystyle \ phi _ {n} ^ {\ mathrm {even}} (x)}en n = 1,

$${\ displaystyle \ phi _ {\ mathrm {ground}} (x) \ equiv \ phi _ {1} ^ {\ mathrm {even}} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {a}}} \ cos \ left ({\ frac {\ pi x} {2a}} \ right),}

y su energía es

$${\ displaystyle E _ {\ mathrm {ground}} = D _ {\ alpha} \ left ({\ frac {\ pi \ hbar} {2a}} \ right) ^ {\ alpha}.}

Oscilador cuántico fraccional [ editar ]

El oscilador cuántico fraccional introducido por Nick Laskin (ver, Ref. [2]) es el modelo mecánico cuántico fraccional con el operador hamiltoniano $${\ displaystyle H _ {\ alpha, \ beta}} definido como

{\ displaystyle H _ {\ alpha, \ beta} = D _ {\ alpha} (- \ hbar ^ {2} \ Delta) ^ {\ alpha / 2} + q ^ {2} | \ mathbf {r} | ^ { \ beta}, \ quad 1 <\ alpha \ leq 2, \ quad 1 <\ beta \ leq 2,},

donde q es constante de interaccion.

La ecuación de Schrödinger fraccional para la función de onda $${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t)} del oscilador cuántico fraccional es,

$${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = D _ {\ alpha} (- \ hbar ^ {2} \ Delta) ^ {\ alpha / 2} \ psi (\ mathbf {r}, t) + q ^ {2} | \ mathbf {r} | ^ {\ beta} \ psi (\ mathbf {r}, t)}

Con el objetivo de buscar solución en forma.

$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t) = e ^ {- iEt / \ hbar} \ phi (\ mathbf {r}),}

llegamos a la ecuación de Schrödinger fraccional independiente del tiempo,

$${\ displaystyle D _ {\ alpha} (- \ hbar ^ {2} \ Delta) ^ {\ alpha / 2} \ phi (\ mathbf {r}, t) + q ^ {2} | \ mathbf {r} | ^ {\ beta} \ phi (\ mathbf {r}, t) = E \ phi (\ mathbf {r}, t).}

El hamiltoniano $${\ displaystyle H _ {\ alpha, \ beta}}es la generalización fraccional del oscilador armónico cuántico hamiltoniano 3D de la mecánica cuántica estándar.

Niveles de energía del oscilador cuántico fraccional 1D en aproximación semiclásica [ editar ]

Los niveles de energía del oscilador cuántico fraccional 1D con la función hamiltoniana $${\ displaystyle H _ {\ alpha} = D _ {\ alpha} | p | ^ {\ alpha} + q ^ {2} | x | ^ {\ beta}}se encontraron en una aproximación semiclásica (ver, Ref. [2]).

Establecemos la energía total igual a E , de modo que

$${\ displaystyle E = D _ {\ alpha} | p | ^ {\ alpha} + q ^ {2} | x | ^ {\ beta},}

De dónde

$${\ displaystyle | p | = \ left ({\ frac {1} {D _ {\ alpha}}} (Eq ^ {2} | x | ^ {\ beta}) \ right) ^ {1 / \ alpha}}.

En los puntos de inflexión. $${\ displaystyle p = 0}. Por lo tanto, el movimiento clásico es posible en el rango.$${\ displaystyle | x | \ leq (E / q ^ {2}) ^ {1 / \ beta}}.

Un uso rutinario de los rendimientos de la regla de cuantización de Bohr-Sommerfeld.

$${\ displaystyle 2 \ pi \ hbar (n + {\ frac {1} {2}}) = \ oint pdx = 4 \ int \ limits _ {0} ^ {x_ {m}} pdx = 4 \ int \ limits _ {0} ^ {x_ {m}} D _ {\ alpha} ^ {- 1 / \ alpha} (Eq ^ {2} | x | ^ {\ beta}) ^ {1 / \ alpha} dx,}

donde la notación $${\ displaystyle \ oint} significa la integral en un período completo del movimiento clásico y $${\ displaystyle x_ {m} = (E / q ^ {2}) ^ {1 / \ beta}} Es el punto de inflexión del movimiento clásico.

Para evaluar la integral en la mano derecha introducimos una nueva variable. $${\ displaystyle y = x (E / q ^ {2}) ^ {- 1 / \ beta}}. Entonces nosotros tenemos

$${\ displaystyle \ int \ limits _ {0} ^ {x_ {m}} D _ {\ alpha} ^ {- 1 / \ alpha} (Eq ^ {2} | x | ^ {\ beta}) ^ {1 / \ alpha} dx = {\ frac {1} {D _ {\ alpha} ^ {1 / \ alpha} q ^ {2 / \ beta}}} E ^ {{\ frac {1} {\ alpha}} + { \ frac {1} {\ beta}}} \ int \ limits _ {0} ^ {1} dy (1-y ^ {\ beta}) ^ {1 / \ alpha}.}

La integral sobre dy se puede expresar en términos de la función Beta ,

$${\ displaystyle \ int \ limits _ {0} ^ {1} dy (1-y ^ {\ beta}) ^ {1 / \ alpha} = {\ frac {1} {\ beta}} \ int \ limits _ {0} ^ {1} dzz ^ {{\ frac {1} {\ beta}} - 1} (1-z) ^ {\ frac {1} {\ alpha}} = {\ frac {1} {\ beta}} \ mathrm {B} \ left ({\ frac {1} {\ beta}}, {\ frac {1} {\ alpha}} + 1 \ right).

Por lo tanto,

$${\ displaystyle 2 \ pi \ hbar (n + {\ frac {1} {2}}) = {\ frac {4} {D _ {\ alpha} ^ {1 / \ alpha} q ^ {2 / \ beta}} } E ^ {{\ frac {1} {\ alpha}} + {\ frac {1} {\ beta}}} {\ frac {1} {\ beta}} \ mathrm {B} \ left ({\ frac {1} {\ beta}}, {\ frac {1} {\ alpha}} + 1 \ derecha).}

La ecuación anterior da los niveles de energía de los estados estacionarios para el oscilador cuántico fraccional 1D (ver, Ref. [2]),

$${\ displaystyle E_ {n} = \ left ({\ frac {\ pi \ hbar \ beta D _ {\ alpha} ^ {1 / \ alpha} q ^ {2 / \ beta}} {2 \ mathrm {B} ( {\ frac {1} {\ beta}}, {\ frac {1} {\ alpha}} + 1)}} \ right) ^ {\ frac {\ alpha \ beta} {\ alpha + \ beta}} \ izquierda (n + {\ frac {1} {2}} \ derecha) ^ {\ frac {\ alpha \ beta} {\ alpha + \ beta}}.

Esta ecuación es una generalización de la ecuación de niveles de energía bien conocida del oscilador armónico cuántico estándar (ver, Ref. [7]) y se transforma en ella en α  = 2 y β  = 2. De esta ecuación se deduce que$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ alpha}} + {\ frac {1} {\ beta}} = 1}Los niveles de energía son equidistantes. Cuando{\ displaystyle 1 <\ alpha \ leq 2} y {\ displaystyle 1 <\ beta \ leq 2}los niveles de energía equidistantes pueden ser para α  = 2 y β  = 2 solamente. Significa que el único oscilador armónico cuántico estándar tiene un espectro de energía equidistante .

Mecánica cuántica fraccional en sistemas de estado sólido [ editar ]

La masa efectiva de estados en sistemas de estado sólido puede depender del vector de onda k, es decir, formalmente se considera m = m (k). Los modos de condensado de Polariton Bose-Einstein son ejemplos de estados en sistemas de estado sólido con masa sensible a variaciones y localmente en k la mecánica cuántica fraccional es experimentalmente factible.