MECÁNICA CUÁNTICA

Un gas Bose ideal es una fase cuántica-mecánica de la materia , análoga a un gas ideal clásico . Está compuesto por bosones , que tienen un valor entero de giro y obedecen a las estadísticas de Bose-Einstein . La mecánica estadística de los bosones fue desarrollada por Satyendra Nath Bose para un gas de fotones , y extendida a partículas masivas por Albert Einstein, quien se dio cuenta de que un gas ideal de bosones formaría un condensado a una temperatura suficientemente baja, a diferencia de un gas ideal clásico. Este condensado se conoce como un condensado de Bose-Einstein .

Introducción y ejemplos [ editar ]

Los bosones son partículas mecánicas cuánticas que siguen las estadísticas de Bose-Einstein , o equivalentemente, que poseen un giro entero . Estas partículas pueden clasificarse como elementales: son el bosón de Higgs , el fotón , el gluón , el W / Z y el hipotiton gravitón ; o compuesto como el átomo de hidrógeno , el átomo de ¹⁶ O , el núcleo de deuterio , mesones , etc. Además, algunas cuasipartículas en sistemas más complejos también pueden considerarse bosones como los plasmones(cuantos de ondas de densidad de carga ).

El primer modelo que trató un gas con varios bosones, fue el gas de fotones , un gas de fotones, desarrollado por Bose . Este modelo condujo a una mejor comprensión de la ley de Planck y la radiación del cuerpo negro . El gas fotónico se puede expandir fácilmente a cualquier tipo de conjunto de bosones sin interacción sin masa. El gas fonón , también conocido como modelo Debye , es un ejemplo en el que los modos normales de vibración de la red cristalina de un metal, pueden tratarse como bosones sin masa efectivos. Peter Debye utilizó el modelo de gas fonón para explicar el comportamiento de la capacidad térmica de los metales a baja temperatura.

Un ejemplo interesante de un gas Bose es un conjunto de átomos de helio-4 . Cuando un sistema de ⁴ átomos de He se enfría a una temperatura cercana al cero absoluto , hay muchos efectos mecánicos cuánticos presentes. Por debajo de 2,17 kelvins , el conjunto comienza a comportarse como un superfluido , un fluido con una viscosidad casi nula . El gas Bose es el modelo cuantitativo más simple que explica esta transición de fase . Principalmente cuando un gas de bosones se enfría, se forma un condensado de Bose-Einstein , un estado en el que una gran cantidad de bosones ocupan la energía más baja, el estado fundamental y los efectos cuánticos son visibles macroscópicamente comola interferencia de ondas .

La teoría de los condensados ​​de Bose-Einstein y los gases de Bose también pueden explicar algunas características de la superconductividad en las que los portadores de carga se juntan en pares ( pares de Cooper) y se comportan como bosones. Como resultado, los superconductores se comportan como si no tuvieran resistividad eléctrica a bajas temperaturas.

El modelo equivalente para las partículas de medio entero (como los electrones o los átomos de helio-3 ), que siguen las estadísticas de Fermi-Dirac , se llama gas de Fermi (un conjunto de fermiones que no interactúan ). Con una densidad y temperatura del número de partículas suficientemente bajas, tanto el gas Fermi como el gas Bose se comportan como un gas ideal clásico .

Gran conjunto canónico [ editar ]

La termodinámica de un gas Bose ideal se calcula mejor utilizando el gran conjunto canónico . La función de gran partición para un gas Bose viene dada por:

$${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (z, \ beta, V) = \ prod _ {i} \ left (1-ze ^ {- \ beta \ epsilon _ {i}} \ right) ^ {- g_ {yo}}}

donde cada término en el producto corresponde a una energía particular ε _i  ; g _i  es el número de estados con energía ε _i  ; z  es la actividad absoluta (o "fugacidad"), que también puede expresarse en términos del potencial químico μ definiendo:

$${\ displaystyle z (\ beta, \ mu) = e ^ {\ beta \ mu}}

y β se define como:

$${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}} T}}}

donde k _B  es la constante de Boltzmann y T  es la temperatura . Todas las cantidades termodinámicas se pueden derivar de la función de partición grande y consideraremos todas las cantidades termodinámicas ser funciones de sólo el tres variables z  , β (o T  ), y V  . Todas las derivadas parciales se toman con respecto a una de estas tres variables, mientras que las otras dos se mantienen constantes. Es más conveniente lidiar con el gran potencial adimensional que se define como:

$${\ displaystyle \ Omega = - \ ln ({\ mathcal {Z}}) = \ sum _ {i} g_ {i} \ ln \ left (1-ze ^ {- \ beta \ epsilon _ {i}} \ Correcto).}

Siguiendo el procedimiento descrito en el artículo de gas en una caja , podemos aplicar la aproximación de Thomas-Fermi que asume que la energía promedio es grande en comparación con la diferencia de energía entre los niveles para que la suma anterior pueda reemplazarse por una integral:

$${\ displaystyle \ Omega \ approx \ int _ {0} ^ {\ infty} \ ln \ left (1-ze ^ {- \ beta E} \ right) \, dg.}

La degeneración dg  puede expresarse para muchas situaciones diferentes mediante la fórmula general:

$${\ displaystyle dg = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)}} \, {\ frac {E ^ {\, \ alpha -1}} {E _ {\ rm {c}} ^ {\ alpha }}} ~ dE}

donde α es una constante, E _c es una energía crítica , y Γ es la función Gamma . Por ejemplo, para un gas Bose masivo en una caja, α = 3/2 y la energía crítica está dada por:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {(\ beta E _ {\ rm {c}}) ^ {\ alpha}}} = {\ frac {Vf} {\ Lambda ^ {3}}}}

donde Λ es la longitud de onda térmica . Para un gas Bose masivo en una trampa armónica tendremos α = 3 y la energía crítica está dada por:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {(\ beta E_ {c}) ^ {\ alpha}}} = {\ frac {f} {(\ hbar \ omega \ beta) ^ {3}}}}

donde V (r) = mO ² r ² /2  es el potencial armónico. Se ve que E _c  es una función de volumen solamente.

Podemos resolver la ecuación para el gran potencial al integrar la serie de Taylor del término integrando por término, o al darnos cuenta de que es proporcional a la transformada de Mellin de Li ₁ ( z exp (- β E )) donde Li _s ( x ) es la función polilogaritmo . La solucion es:

$${\ displaystyle \ Omega \ approx - {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha +1} (z)} {\ left (\ beta E_ {c} \ right) ^ {\ alpha}}} .}

El problema con esta aproximación continua para un gas Bose es que el estado fundamental ha sido efectivamente ignorado, lo que da una degeneración de cero para la energía cero. Esta inexactitud se vuelve grave cuando se trata con el condensado de Bose-Einstein y se tratará en la siguiente sección.

Inclusión del estado fundamental [ editar ]

El número total de partículas se encuentra a partir del gran potencial por

$${\ displaystyle N = -z {\ frac {\ partial \ Omega} {\ partial z}} \ approx {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {(\ beta E_ { c}) ^ {\ alpha}}}}

El término polilogaritmo debe permanecer real y positivo, y el valor máximo que puede tener es en z = 1, donde es igual a ζ ( α ) donde ζ es la función zeta de Riemann . Para un fijo N  , el valor más grande posible que βpuede tener es un valor crítico beta _c  donde

$${\ displaystyle N = {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {(\ beta _ {\ rm {c}} E _ {\ rm {c}}) ^ {\ alpha}}}}

Esto corresponde a una temperatura crítica T _c = 1 / k _B β _c por debajo de la cual se rompe la aproximación de Thomas-Fermi. La ecuación anterior se puede resolver para la temperatura crítica:

$${\ displaystyle T _ {\ rm {c}} = \ left ({\ frac {N} {\ zeta (\ alpha)}} \ right) ^ {1 / \ alpha} {\ frac {E _ {\ rm {c }}} {k _ {\ rm {B}}}}}

Por ejemplo, para $${\ displaystyle \ alpha = 3/2} y utilizando el valor indicado anteriormente de $${\ textstyle E _ {\ rm {c}}} rendimientos

$${\ displaystyle T _ {\ rm {c}} = \ left ({\ frac {N} {Vf \ zeta (3/2)}} \ right) ^ {2/3} {\ frac {h ^ {2} } {2 \ pi mk _ {\ rm {B}}}}}

Nuevamente, actualmente no podemos calcular los resultados por debajo de la temperatura crítica, porque los números de partículas que utilizan la ecuación anterior se vuelven negativos. El problema aquí es que la aproximación de Thomas-Fermi ha puesto a cero la degeneración del estado fundamental, lo cual es incorrecto. No hay un estado fundamental para aceptar el condensado y, por lo tanto, la ecuación se descompone. Sin embargo, resulta que la ecuación anterior proporciona una estimación bastante precisa del número de partículas en los estados excitados, y no es una mala aproximación simplemente "agregar" un término de estado fundamental:

$${\ displaystyle N = N_ {0} + {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {(\ beta E _ {\ rm {c}}) ^ {\ alpha}}} }

donde N ₀  es el número de partículas en el condensado del estado fundamental:

$${\ displaystyle N_ {0} = {\ frac {g_ {0} \, z} {1-z}}}

Figura 1: Varios parámetros de gas Bose en función de la temperatura normalizada τ. El valor de α es 3/2. Las líneas continuas son para N = 10,000, las líneas de puntos son para N = 1000. Las líneas negras son la fracción de partículas excitadas, el azul es la fracción de partículas condensadas. El negativo del potencial químico μ se muestra en rojo, y las líneas verdes son los valores de z. Se ha asumido que k = ε _c = 1.

Esta ecuación ahora se puede resolver hasta cero absoluto en temperatura. La Figura 1 muestra los resultados de la solución a esta ecuación para α = 3/2 , con k = ε _c = 1 que corresponde a un gas de bosones en una caja . La línea negra continua es la fracción de estados excitados 1-N ₀ / N  para N  = 10,000 y la línea negra de puntos es la solución para N  = 1000. Las líneas azules son la fracción de partículas condensadas N ₀ / N  Las líneas rojas representan los valores del negativo del potencial químico μ y las líneas verdes representan los valores correspondientes de z . El eje horizontal es la temperatura normalizada τ definida por

$${\ displaystyle \ tau = {\ frac {T} {T _ {\ rm {c}}}}}

Se puede ver que cada uno de estos parámetros se vuelve lineal en τ ^α en el límite de baja temperatura y, a excepción del potencial químico, lineal en 1 / τ ^α en el límite de alta temperatura. A medida que aumenta el número de partículas, las fracciones condensadas y excitadas tienden hacia una discontinuidad a la temperatura crítica.

La ecuación para el número de partículas se puede escribir en términos de la temperatura normalizada como:

$${\ displaystyle N = {\ frac {g_ {0} \, z} {1-z}} + N ~ {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {\ zeta ( \ alpha)}} ~ \ tau ^ {\ alpha}}

Para un N  y τ dados , esta ecuación se puede resolver para τ ^α y luego se puede encontrar una solución en serie para z  mediante el método de inversión de series , ya sea en potencias de τ ^α o como una expansión asintótica en potencias inversas de τ ^α . A partir de estas expansiones, podemos encontrar el comportamiento del gas cerca de T = 0 y en Maxwell-Boltzmann a medida que T se  acerca al infinito. En particular, estamos interesados ​​en el límite a medida que N se  acerca al infinito, lo que puede determinarse fácilmente a partir de estas expansiones.

También se puede calcular las fluctuaciones de la ocupación de los estados. Por debajo de la transición, las fluctuaciones en la ocupación en el estado fundamental aumentan. Sin embargo, la magnitud es dependiente del conjunto. En el tratamiento de conjunto canónico del sujeto, las fluctuaciones pasan a ser del orden del número de partículas. Sin embargo, en el conjunto canónico, las fluctuaciones son mucho más pequeñas.

Termodinámica [ editar ]

Agregar el estado fundamental a la ecuación para el número de partícula corresponde a agregar el término de estado fundamental equivalente al gran potencial:

$${\ displaystyle \ Omega = g_ {0} \ ln (1-z) - {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha +1} (z)} {\ left (\ beta E _ {\ rm {c}} \ derecha) ^ {\ alpha}}}}

Todas las propiedades termodinámicas ahora se pueden calcular a partir del gran potencial. La siguiente tabla enumera varias cantidades termodinámicas calculadas en el límite de baja temperatura y alta temperatura, y en el límite de número de partículas infinitas. Un signo igual (=) indica un resultado exacto, mientras que un símbolo de aproximación indica que solo los primeros términos de una serie en$${\ displaystyle \ tau ^ {\ alpha}} se muestra.

Cantidad	General	$${\ displaystyle T \ ll T_ {c} \,}	$${\ displaystyle T \ gg T_ {c} \,}
$${\ displaystyle z}		$${\ displaystyle \ approx {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {\ tau ^ {\ alpha}}} - {\ frac {\ zeta ^ {2} (\ alpha)} {2 ^ {\ alpha} \ tau ^ {2 \ alpha}}}}	$${\ displaystyle = 1 \,}
Fracción de vapor $${\ displaystyle 1 - {\ frac {N_ {0}} {N}} \,}	$${\ displaystyle = {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ {\ alpha}}	$${\ displaystyle = \ tau ^ {\ alpha} \,}	$${\ displaystyle = 1 \,}
Ecuación de estado $${\ displaystyle {\ frac {PV \ beta} {N}} = - {\ frac {\ Omega} {N}} \,}	$${\ displaystyle = {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha \! + \! 1} (z)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ {\ alpha}}	$${\ displaystyle = {\ frac {\ zeta (\ alpha \! + \! 1)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ {\ alpha}}	$${\ displaystyle \ approx 1 - {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {2 ^ {\ alpha \! + \! 1} \ tau ^ {\ alpha}}}}
Energía Libre de Gibbs $${\ displaystyle G = \ ln (z) \,}	$${\ displaystyle = \ ln (z) \,}	$${\ displaystyle = 0 \,}	$${\ displaystyle \ approx \ ln \ left ({\ frac {\ zeta (\ alpha)} {\ tau ^ {\ alpha}}} \ right) - {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {2 ^ { \ alpha} \ tau ^ {\ alpha}}}}

Se ve que todas las cantidades se aproximan a los valores de un gas ideal clásico en el límite de una gran temperatura. Los valores anteriores se pueden utilizar para calcular otras cantidades termodinámicas. Por ejemplo, la relación entre la energía interna y el producto de la presión y el volumen es la misma que para un gas ideal clásico en todas las temperaturas:

$${\ displaystyle U = {\ frac {\ partial \ Omega} {\ partial \ beta}} = \ alpha PV}

Una situación similar es válida para el calor específico a volumen constante.

$${\ displaystyle C_ {V} = {\ frac {\ parcial U} {\ parcial T}} = k _ {\ rm {B}} (\ alpha +1) \, U \ beta}

La entropía está dada por:

$${\ displaystyle TS = U + PV-G \,}

Tenga en cuenta que en el límite de alta temperatura, tenemos

$${\ displaystyle TS = (\ alpha +1) + \ ln \ left ({\ frac {\ tau ^ {\ alpha}} {\ zeta (\ alpha)}} \ right)}

que, para α = 3/2 es simplemente una reexpresión de la ecuación de Sackur-Tetrode . En una dimensión, los bosones con interacción delta se comportan como fermiones, obedecen al principio de exclusión de Pauli . En una dimensión, el gas Bose con interacción delta puede ser resuelto exactamente por Bethe ansatz . Chen-Ning Yang calculó los potenciales de energía libre y termodinámicos a granel . En un caso unidimensional las funciones de correlación también fueron evaluadas. ^[1] En una dimensión, el gas Bose es equivalente a la ecuación de Schrödinger no lineal cuántica .

estado unido es un estado cuántico especial de una partícula sujeta a un potencial tal que la partícula tenga una tendencia a permanecer localizada en una o más regiones del espacio. El potencial puede ser externo o puede ser el resultado de la presencia de otra partícula; en el último caso, uno puede definir de manera equivalente un estado unido como un estado que representa dos o más partículas cuya energía de interacción excede la energía total de cada partícula separada. Una consecuencia es que, dado un potencial desvanecimiento en el infinito , los estados de energía negativa deben estar vinculados. En general, el espectro energético. El conjunto de estados unidos es discreto, a diferencia de las partículas libres, que tienen un espectro continuo.

Aunque no son estados unidos en el sentido estricto, los estados metaestables con una energía de interacción positiva neta, pero un tiempo de decaimiento prolongado, a menudo también se consideran estados enlazados inestables y se denominan "estados casi enlazados". ^{[1] Los} ejemplos incluyen ciertos radionucleidos y electretos . ^{[ aclaración necesaria ] [ cita requerida ]}

En la teoría del campo cuántico relativista , un estado límite estable de n partículas con masas$${\ displaystyle \ {m_ {k} \} _ {k = 1} ^ {n}}corresponde a un polo en la matriz S con una energía de centro de masa inferior a$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {k} m_ {k}}. Un estado límite inestable se muestra como un polo con una energía compleja de centro de masa.

Ejemplos [ editar ]

Una visión general de las diversas familias de partículas elementales y compuestas, y las teorías que describen sus interacciones

• Un protón y un electrón pueden moverse por separado; cuando lo hacen, la energía total del centro de masa es positiva, y tal par de partículas puede describirse como un átomo ionizado. Una vez que el electrón comienza a "orbitar" al protón, la energía se vuelve negativa y se forma un estado unido, es decir, el átomo de hidrógeno  . Sólo el estado límite de energía más bajo, el estado fundamental , es estable. Otros estados excitados son inestables y se descompondrán en estados unidos estables (pero no en otros inestables) con menos energía al emitir un fotón .
• Un "átomo" de positronio es un estado de enlace inestable de un electrón y un positrón . Se descompone en fotones .
• Cualquier estado en el oscilador armónico cuántico está vinculado, pero tiene energía positiva. Tenga en cuenta que$${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ pm \ infty} {V _ {\ text {QHO}} (x)} = \ infty}, por lo que lo de abajo no aplica.
• Un núcleo es un estado unido de protones y neutrones ( nucleones ).
• El protón en sí es un estado enlazado de tres quarks (dos arriba y uno abajo ; uno rojo , uno verde y uno azul). Sin embargo, a diferencia del caso del átomo de hidrógeno, los quarks individuales nunca pueden ser aislados. Ver confinamiento .
• Los modelos de Hubbard y Jaynes-Cummings-Hubbard (JCH) admiten estados de enlace similares. En el modelo de Hubbard, dos átomos bosónicos repulsivos pueden formar un par unido en una red óptica . ^{[2] [3] [4]}El Hamiltoniano JCH también admite estados unidos a dos polaritones cuando la interacción fotón-átomo es lo suficientemente fuerte. ^[5]

Definición [ editar ]

Sea H un espacio complejo de Hilbert separable,$${\ displaystyle U = \ lbrace U (t) \ mid t \ in \ mathbb {R} \ rbrace}ser un grupo de un solo parámetro de operadores unitarios en H y$${\ displaystyle \ rho = \ rho (t_ {0})}ser un operador estadística en H . Sea A un observable en H y$${\ displaystyle \ mu (A, \ rho)}ser la distribución de probabilidad inducida de A con respecto a ρ en el σ-álgebra de Borel de$${\ displaystyle \ mathbb {R}}. Entonces, la evolución de ρ inducida por U se une con respecto a A si{\ displaystyle \ lim _ {R \ rightarrow \ infty} {\ sup _ {t \ geq t_ {0}} {\ mu (A, \ rho (t)) (\ mathbb {R} _ {> R}) }} = 0}, dónde {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {> R} = \ lbrace x \ in \ mathbb {R} \ mid x> R \ rbrace}. ^{[ dudoso - discutir ] [ citación necesitada ]}

Más informalmente, un estado ligado está contenida dentro de una parte limitada del espectro de A . Para un ejemplo concreto: vamos$${\ displaystyle H = L ^ {2} (\ mathbb {R})}y dejar que A sea ​​posición. Dado de forma compacta apoyado$${\ displaystyle \ rho = \ rho (0) \ en H} y $${\ displaystyle [-1,1] \ subseteq \ mathrm {Supp} (\ rho)}.

• Si la evolución del estado de ρ "mueve este paquete de ondas constantemente hacia la derecha", por ejemplo, si$${\ displaystyle [t-1, t + 1] \ in \ mathrm {Supp} (\ rho (t))} para todos $${\ displaystyle t \ geq 0}, entonces ρ no es estado unido con respecto a la posición.
• Si $${\ displaystyle \ rho} no cambia en el tiempo, es decir $${\ displaystyle \ rho (t) = \ rho} para todos $${\ displaystyle t \ geq 0}, entonces $${\ displaystyle \ rho} Está ligado con respecto a la posición.
• Más generalmente: si la evolución del estado de ρ "solo se mueve ρ dentro de un dominio delimitado", entonces ρ se vincula con respecto a la posición.

Propiedades [ editar ]

Que A tenga un codominio de espacio de medida.$${\ displaystyle (X; \ mu)}. Una partícula cuántica está en un estado de enlace si nunca se encuentra "demasiado lejos de cualquier región finita$${\ displaystyle R \ subseteq X}", Es decir, utilizando una representación de función de onda,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 0 & = \ lim _ {R \ to \ infty} {\ mathbb {P} ({\ text {partícula medida adentro}} X \ setminus R)} \\ & = \ lim _ {R \ to \ infty} {\ int _ {X \ setminus R} | \ psi (x) | ^ {2} \, d \ mu (x)} \ end {alineado}}}

Por consiguiente, $${\ displaystyle \ int _ {X} {| \ psi (x) | ^ {2} \, d \ mu (x)}}es finito En otras palabras, un estado es un estado limitado si y solo si es finamente normalizable.

Como los estados finamente normalizables deben estar dentro de la parte discreta del espectro, los estados ligados deben estar dentro de la parte discreta. Sin embargo, como señalaron Neumann y Wigner , un estado unido puede tener su energía ubicada en el espectro continuo. ^[6] En ese caso, los estados ligados todavía son parte de la porción discreta del espectro, pero aparecen como masas de Dirac en la medida espectral. ^{[ cita requerida ]}

Estados vinculados a la posición [ editar ]

Considere la ecuación de Schrödinger de una partícula. Si un estado tiene energía.{\ displaystyle E <\ operatorname {max} {\ left (\ lim _ {x \ to \ infty} {V (x)}, \ lim _ {x \ to - \ infty} {V (x)} \ right )}}, entonces la función de onda ψ satisface, para algunos{\ displaystyle X> 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ psi ^ {\ prime \ prime}} {\ psi}} = {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} (V (x) -E)> 0 {\ texto {para}} x> X}

para que ψ se suprima exponencialmente en x grande . ^{[ dudoso - discute ]} Por lo tanto, los estados de energía negativos están limitados si V desaparece en el infinito.