MECÁNICA CUÁNTICA

El espectro de Bloch es un concepto en mecánica cuántica en el campo de la física teórica ; Este concepto aborda ciertas consideraciones de espectros de energía. Sea H el operador de ecuación de Schrödingerunidimensional

$${\ displaystyle H = - {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + U _ {\ alpha},}

donde U _α es una función periódica del período α . El espectro de Bloch ^[1] de H se define como el conjunto de valores E para los cuales todas las soluciones de ( H  -  E ) φ = 0 están delimitadas en todo el eje real . El espectro de Bloch consiste en la línea media E ₀  <  E desde la cual se omiten ciertos intervalos cerrados [ E _2 j −1,  E _2 j ] ( j = 1, 2, ...). Estas son bandas prohibidas (o espacios) por lo que la ( E _2j −2 ,  E _2 j −1 ) son bandas permitidas.

la esfera de Bloch es una representación geométrica del espacio de estado puro de un sistema mecánico cuántico de dos niveles ( qubit ), que lleva el nombre del físico Félix Bloch . ^[1]

La mecánica cuántica está formulada matemáticamente en el espacio de Hilbert o en el espacio de Hilbert proyectivo . El espacio de estados puros de un sistema cuántico viene dado por los subespacios unidimensionales del espacio de Hilbert correspondiente (o los "puntos" del espacio de Hilbert proyectivo). Para un espacio de Hilbert bidimensional, esto es simplemente la compleja línea proyectiva ℂℙ ¹ . Esta es la esfera de Bloch.

La esfera de Bloch es una unidad de 2 esferas , con puntos antípodas correspondientes a un par de vectores de estado ortogonales entre sí. Los polos norte y sur de la esfera de Bloch se escogen típicamente para corresponder a los vectores de base estándar$${\ displaystyle | 0 \ rangle} y $${\ displaystyle | 1 \ rangle}, Respectivamente, que a su vez podría corresponder, por ejemplo, a la vuelta -up y girar -down estados de un electrón. Sin embargo, esta elección es arbitraria. Los puntos en la superficie de la esfera corresponden a los estados puros del sistema, mientras que los puntos interiores corresponden a los estados mixtos . ^[2] [3] La esfera de Bloch puede generalizarse a un sistema cuántico de n niveles, pero la visualización es menos útil.

Por razones históricas, en la óptica, la esfera de Bloch también se conoce como la esfera de Poincaré y representa específicamente diferentes tipos de polarizaciones . Existen seis tipos comunes de polarización y se llaman vectores de Jones . De hecho, Henri Poincaré fue el primero en sugerir el uso de este tipo de representación geométrica a finales del siglo XIX, ^[4] como una representación tridimensional de los parámetrosde Stokes .

La métrica natural en la esfera de Bloch es la métrica de estudio de Fubini . El mapeo de la unidad de 3 esferas en el espacio de estado bidimensional ℂ ² a la esfera de Bloch es la fibración de Hopf , con cada rayo de espinores mapeando a un punto en la esfera de Bloch.

Definición [ editar ]

Dada una base ortonormal, cualquier estado puro. $${\ displaystyle | \ psi \ rangle} de un sistema cuántico de dos niveles se puede escribir como una superposición de los vectores de base $${\ displaystyle | 0 \ rangle} y $${\ displaystyle | 1 \ rangle}, donde el coeficiente o cantidad de cada vector base es un número complejo . Dado que solo la fase relativa entre los coeficientes de los dos vectores de base tiene algún significado físico, podemos tomar el coeficiente de$${\ displaystyle | 0 \ rangle} Ser real y no negativo.

También sabemos por la mecánica cuántica que la probabilidad total del sistema debe ser uno: $${\ displaystyle \ langle \ psi | \ psi \ rangle = 1}, o equivalente $${\ displaystyle || \ psi \ rangle || ^ {2} = 1}. Dada esta restricción, podemos escribir$${\ displaystyle | \ psi \ rangle} utilizando la siguiente representación:

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ cos \ left (\ theta / 2 \ right) | 0 \ rangle \, + \, e ^ {i \ phi} \ sin \ left (\ theta / 2 \ right) | 1 \ rangle = \ cos \ left (\ theta / 2 \ right) | 0 \ rangle \, + \, (\ cos \ phi + i \ sin \ phi) \, \ sin \ left (\ theta / 2 \ right ) | 1 \ rangle}, dónde $${\ displaystyle 0 \ leq \ theta \ leq \ pi} y {\ displaystyle 0 \ leq \ phi <2 font="" pi="">.

Excepto en el caso donde $${\ displaystyle | \ psi \ rangle} es uno de los vectores cet $${\ displaystyle | 0 \ rangle} o $${\ displaystyle | 1 \ rangle}, la representación es única. Los parametros$${\ displaystyle \ theta \,}y $${\ displaystyle \ phi \,}, reinterpretado en coordenadas esféricas como respectivamente la colatitud con respecto al eje z y la longitud con respecto al eje x , especifique un punto

$${\ displaystyle {\ vec {a}} = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) = (u, v, w)}

en la esfera unidad en $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}.

Para estados mixtos , se considera el operador de densidad . Cualquier operador de densidad bidimensional ρpuede expandirse utilizando la identidad I y las matrices de Pauli hermitianas y sin trazados $${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}}}:

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {2}} \ left (I + {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {\ sigma}} \ right) = {\ frac {1} {2} } {\ begin {pmatrix} 1 + w & u-iv \\ u + iv & 1-w \ end {pmatrix}}},

dónde $${\ displaystyle {\ vec {a}} \ in \ mathbb {R} ^ {3}}Se llama el vector de Bloch del sistema.

Es este vector el que indica el punto dentro de la esfera que corresponde a un estado mixto dado. Específicamente, como una característica básica del vector de Pauli , los valores propios de ρ son$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left (1 \ pm | {\ vec {a}} | \ right)}. Los operadores de densidad deben ser positivos semidefinidos, por lo que concluimos que$${\ displaystyle | {\ vec {a}} | \ leq 1}. Para estados puros, entonces debemos tener

$${\ displaystyle \ mathrm {tr} (\ rho ^ {2}) = {\ frac {1} {2}} \ left (1+ | {\ vec {a}} | ^ {2} \ right) = 1 \ quad \ Leftrightarrow \ quad | {\ vec {a}} | = 1 ~,}

De acuerdo con lo anterior.

Como consecuencia, la superficie de la esfera de Bloch representa todos los estados puros de un sistema cuántico bidimensional, mientras que el interior corresponde a todos los estados mixtos.

Representación de u, v, w [ editar ]

El vector de Bloch $${\ displaystyle {\ vec {a}} = (u, v, w)} Se puede representar en la siguiente base, con referencia al operador de densidad $${\ displaystyle \ rho}: ^[5]

$${\ displaystyle u = \ rho _ {10} + \ rho _ {01} = 2 {\ textrm {Re}} (\ rho _ {01})}

$${\ displaystyle v = i (\ rho _ {01} - \ rho _ {10}) = 2 {\ textrm {Im}} (\ rho _ {10})}

$${\ displaystyle w = \ rho _ {00} - \ rho _ {11}}

dónde

{\ displaystyle \ rho = {\ begin {pmatrix} \ rho _ {00} & \ rho _ {01} \\\ rho _ {10} & \ rho _ {11} \ end {pmatrix}}.

Esta base se utiliza a menudo en la teoría del láser , donde$${\ displaystyle w}Se conoce como la inversión poblacional . ^[6]

Estados puros [ editar ]

Considere un sistema mecánico cuántico de n niveles. Este sistema está descrito por un espacio de Hilbert n-dimensional H _n . El espacio de estado puro es, por definición, el conjunto de rayos 1-dimensionales de H _n . 

Teorema . Sea U ( n ) el grupo de Lie de matrices unitarias de tamaño n . Entonces el espacio de estado puro de H _n puede identificarse con el espacio de coset compacto

$${\ displaystyle \ operatorname {U} (n) / (\ operatorname {U} (n-1) \ times \ operatorname {U} (1)).}

Para probar este hecho, tenga en cuenta que hay una acción de grupo natural de U ( n ) en el conjunto de estados de H _n . Esta acción es continua y transitiva en los estados puros. Para cualquier estado$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}, el grupo de isotropía de$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}, (definido como el conjunto de elementos $${\ displaystyle g} de U ( n ) tal que$${\ displaystyle g | \ psi \ rangle = | \ psi \ rangle}) es isomorfo al grupo de productos

$${\ displaystyle \ operatorname {U} (n-1) \ times \ operatorname {U} (1).}

En términos de álgebra lineal, esto se puede justificar de la siguiente manera. Alguna$${\ displaystyle g}de U ( n ) que deja$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}invariante debe tener $${\ displaystyle | \ psi \ rangle}como un eigenvector . Dado que el valor propio correspondiente debe ser un número complejo de módulo 1, esto da el factor U (1) del grupo de isotropía. La otra parte del grupo de isotropía está parametrizada por las matrices unitarias en el complemento ortogonal de$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}, que es isomorfo a U ( n - 1). A partir de esto, la afirmación del teorema se deduce de los hechos básicos sobre las acciones de grupo transitivas de los grupos compactos.

El hecho importante a tener en cuenta es que el grupo unitario actúa de manera transitoria en estados puros.

Ahora la dimensión (real) de U ( n ) es n ² . Esto es fácil de ver ya que el mapa exponencial

$${\ displaystyle A \ mapsto e ^ {iA}}

es un homeomorfismo local desde el espacio de matrices complejas autoadjuntas a U ( n ). El espacio de matrices complejas autoadjuntas tiene dimensión real n ² .

Corolario . La dimensión real del espacio de estado puro de H _n es 2 n - 2.

De hecho,

$${\ displaystyle n ^ {2} - ((n-1) ^ {2} +1) = 2n-2. \ quad}

Apliquemos esto para considerar la dimensión real de un registro cuántico m qubit. El espacio correspondiente de Hilbert tiene dimensión 2 ^m .

Corolario . La dimensión real del espacio de estado puro de un registro cuántico m - qubit es 2 ^m +1 - 2.

Operadores de densidad [ editar ]

Las formulaciones de la mecánica cuántica en términos de estados puros son adecuadas para sistemas aislados; en general, los sistemas mecánicos cuánticos deben describirse en términos de operadores de densidad . La esfera de Bloch parametriza no solo estados puros sino estados mixtos para sistemas de 2 niveles. El operador de densidad que describe el estado mixto de un sistema cuántico de 2 niveles (qubit) corresponde a un punto dentro de la esfera de Bloch con las siguientes coordenadas:

$${\ displaystyle (\ Sigma p_ {i} x_ {i}, \ Sigma p_ {i} y_ {i}, \ Sigma p_ {i} z_ {i}),}

dónde $${\ displaystyle p_ {i}} es la probabilidad de los estados individuales dentro del conjunto y $${\ displaystyle x_ {i}, y_ {i}, z_ {i}}son las coordenadas de los estados individuales (en la superficie de la esfera de Bloch). El conjunto de todos los puntos dentro y dentro de la esfera de Bloch se conoce como la bola de Bloch.

Para estados de dimensiones superiores, es difícil extender esto a estados mixtos. La descripción topológica se complica por el hecho de que el grupo unitario no actúa de manera transitiva en los operadores de densidad. Además, las órbitas son extremadamente diversas, como se desprende de la siguiente observación:

Teorema . Supongamos que A es un operador de densidad en un sistema mecánico cuántico de nivel n cuyos valores propios distintos son μ ₁ , ..., μ _k con multiplicidades n ₁ , ..., n _k . Luego, el grupo de operadores unitarios V , de manera que VAV * = A es isomorfo (como un grupo de Lie) para

$${\ displaystyle \ operatorname {U} (n_ {1}) \ times \ cdots \ times \ operatorname {U} (n_ {k}).}

En particular, la órbita de A es isomorfa a

$${\ displaystyle \ operatorname {U} (n) / (\ operatorname {U} (n_ {1}) \ times \ cdots \ times \ operatorname {U} (n_ {k})).}

Es posible generalizar la construcción de la bola de Bloch a dimensiones mayores que 2, pero la geometría de tal "cuerpo de Bloch" es más complicada que la de una bola.

El producto interno Bogoliubov ( Duhamel función de dos puntos , Bogolyubov producto interno , Bogoliubov producto escalar , Kubo -Mori-Bogoliubov producto interior ) es un especial producto interno en el espacio de los operadores . El producto interno de Bogoliubov aparece en la mecánica estadística cuántica ^[1] [2] y lleva el nombre del físico teórico Nikolay Bogoliubov .

Definición [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle A}ser un operador auto-adjunto . El producto interno de Bogoliubov de cualquiera de los dos operadores X e Y se define como

$${\ displaystyle \ langle X, Y \ rangle _ {A} = \ int \ limits _ {0} ^ {1} {\ rm {Tr}} [{\ rm {e}} ^ {xA} X ^ {\ daga} {\ rm {e}} ^ {(1-x) A} Y] dx}

El producto interno Bogoliubov satisface todos los axiomas del producto interno: es semisfinito sesquilineal , positivo (es decir,$${\ displaystyle \ langle X, X \ rangle _ {A} \ geq 0}), y satisface la propiedad de simetría $${\ displaystyle \ langle X, Y \ rangle _ {A} = (\ langle Y, X \ rangle _ {A}) ^ {*}} dónde $${\ displaystyle \ alpha ^ {*}} es el complejo conjugado de $${\ displaystyle \ alpha}.

En aplicaciones de mecánica estadística cuántica , el operador.$${\ displaystyle A} tiene la forma $${\ displaystyle A = \ beta H}, dónde $${\ displaystyle H}Es el hamiltoniano del sistema cuántico y$${\ displaystyle \ beta}Es la temperatura inversa . Con estas notaciones, el producto interno Bogoliubov toma la forma.

$${\ displaystyle \ langle X, Y \ rangle _ {\ beta H} = \ int \ limits _ {0} ^ {1} \ langle {\ rm {e}} ^ {x \ beta H} X ^ {\ dagger } {\ rm {e}} ^ {- x \ beta H} Y \ rangle dx}

dónde $${\ displaystyle \ langle \ dots \ rangle} Denota el promedio térmico con respecto al hamiltoniano. $${\ displaystyle H} y temperatura inversa $${\ displaystyle \ beta}.

En la mecánica estadística cuántica, el producto interno de Bogoliubov aparece como el término de segundo orden en la expansión de la suma estadística:

$${\ displaystyle \ langle X, Y \ rangle _ {\ beta H} = {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial t \ parcial s}} {\ rm {Tr}} \, {\ rm { e}} ^ {\ beta H + tX + sY} {\ bigg \ vert} _ {t = s = 0}}