MECÁNICA CUÁNTICA

notación bra-ket es una notación estándar para describir estados cuánticos . También se puede utilizar para denotar vectores abstractos y funciones lineales en matemáticas . La notación usa paréntesis angulares (los símbolos ⟨y⟩) y una barra vertical (el | símbolo), para denotar el producto escalar de los vectores o la acción de una función lineal en un vector en un espacio vectorial complejo. El producto escalar o acción se escribe como

$${\ displaystyle \ langle \ phi {\ mid} \ psi \ rangle.}

La parte derecha se llama el ket / k ɛ t / ; es un vector , típicamente representado como un vector de columna y escrito

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle.}

La parte izquierda se llama el sujetador , / b r ɑː / ; es el conjugado hermitiano del ket con la misma etiqueta, típicamente representado como un vector de fila y está escrito

$${\ displaystyle \ langle \ phi |.}

Una combinación de sujetadores, kets y operadores se interpreta mediante la multiplicación de matrices . Un sujetador y una tetera con la misma etiqueta son conjugados hermitianos entre sí.

La notación Bra-ket fue introducida en 1939 por Paul Dirac ^[1] [2] y también se conoce como la notación Dirac .

La notación bra-ket tiene un precursor en el uso de la notación por Hermann Grassmann .$${\ displaystyle [\ phi {\ mid} \ psi]}Por sus productos interiores hace casi 100 años.

Introducción [ editar ]

La notación de Bra-ket es una notación para el álgebra lineal , especialmente centrada en vectores, productos internos , operadores lineales , conjugación de Hermitian y el espacio dual , tanto para espacios vectoriales complejos de dimensión finita como de dimensión infinita . Está diseñado específicamente para facilitar los tipos de cálculos que surgen con frecuencia en la mecánica cuántica .

Su uso en mecánica cuántica es bastante generalizado. Muchos fenómenos que se explican mediante la mecánica cuántica se explican generalmente mediante la notación bra-ket.

En casos simples, un ket | m ⟩ puede ser descrito como un vector columna , un sujetador con la misma etiqueta ⟨ m | es su transposición conjugada (que es un vector de fila), y la escritura de sujetadores, kets y operadores lineales uno al lado del otro implica la multiplicación de matrices . ^[4] Sin embargo, los kets también pueden existir en espacios vectoriales infinitamente infinitos, de manera que no pueden ser escritos literalmente como un vector de columna. Además, escribiendo un vector columna como una lista de números requiere recoger una base , mientras que uno puede escribir " | m ⟩"sin comprometerse con ninguna base particular. Esto es útil porque los cálculos de la mecánica cuántica implican el cambio frecuente entre diferentes bases (por ejemplo, base de posición, base de momento, base de energía, etc.), por lo que es mejor tener los vectores de base (si los hay) escritos explícitamente. En algunas situaciones que involucran dos vectores de base importantes, se los denominará simplemente como " | - ⟩ "y" | + ⟩ ".

La notación matemática estándar para el producto interno , preferida también por algunos físicos, expresa exactamente lo mismo que la notación bra-ket,

$${\ displaystyle (\ phi, \ psi) = \ langle \ phi {\ mid} \ psi \ rangle = {\ bigl (} \ langle \ phi | {\ bigr)} \, {\ bigl (} | \ psi \ sonar {\ bigr)},}

Los sujetadores y los kets también se pueden configurar de otras maneras, como el producto exterior.

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ langle \ phi |}

que también se puede representar como una multiplicación de matriz (es decir, un vector de columna multiplicado por un vector de fila es igual a una matriz).

Si el ket es un elemento de un espacio vectorial, el sujetador es técnicamente un elemento de su espacio dual:vea el teorema de representación de Riesz .

Espacios vectoriales [ editar ]

Vectores vs kets [ editar ]

En matemáticas, el término "vector" se usa para referirse generalmente a cualquier elemento de cualquier espacio vectorial. Sin embargo, en física, el término "vector" es mucho más específico: "Vector" se refiere casi exclusivamente a cantidades como el desplazamiento o la velocidad , que tienen tres componentes que se relacionan directamente con las tres dimensiones del mundo real. Dichos vectores se suelen denotar con flechas sobre ( r → ) o negrita ( r ).

En la mecánica cuántica, un estado cuántico suele representarse como un elemento de un espacio vectorial complejo abstracto, por ejemplo, el espacio vectorial de dimensión infinita de todas las funciones de ondaposibles (funciones que mapean cada punto del espacio 3D a un número complejo). Dado que el término "vector" ya se usa para otra cosa (ver el párrafo anterior), es muy común referirse a estos elementos de espacios vectoriales abstractos complejos como "kets", y escribirlos usando notación ket.

Notación Ket [ editar ]

La notación Ket, inventada por Dirac, utiliza barras verticales y corchetes angulares: | Un ⟩ . Cuando se utiliza esta notación, estas cantidades se denominan "kets", y | Un ⟩ se lee como "Ket-A". ^[5] Estos kets se pueden manipular usando las reglas usuales del álgebra lineal, por ejemplo:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} | A \ rangle & = | B \ rangle + | C \ rangle \\ | C \ rangle & = (- 1 + 2i) | D \ rangle \\ | D \ rangle & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} | x \ rangle \, \ mathrm {d} x \,. \ end {alineado}}}

Observe cómo los símbolos, letras, números o incluso palabras, lo que sirva de etiqueta conveniente, se pueden usar como etiquetas dentro de un paquete. Por ejemplo, la última línea de arriba incluye infinitos kets diferentes, uno para cada número real x . En otras palabras, el símbolo " | Una ⟩ " tiene un significado matemático específico y universal, mientras que sólo el " A " por sí mismo no lo hace. Por ejemplo, | 1⟩ + | 2⟩ puede o no ser igual a | 3⟩ . Sin embargo, por conveniencia, usualmente hay un esquema lógico detrás de las etiquetas dentro de los kets, como la práctica común de etiquetar los eigenkets de energía en la mecánica cuántica a través de una lista de susNúmeros cuánticos .

Productos interiores y sostenes [ editar ]

Artículo principal: Producto interno.

Un producto interno es una generalización del producto de puntos . El producto interno de dos vectores es un escalar. En notación neutral (notación dedicada solo al producto interno ), esto podría escribirse ( A , B ) , donde A y B son elementos del espacio vectorial abstracto, es decir, ambos son kets .

La notación Bra-ket utiliza una notación específica para productos internos:

$${\ displaystyle (A, B) = \ langle A | B \ rangle = {\ text {el producto interno de ket}} | A \ rangle {\ text {with ket}} | B \ rangle}

La notación Bra-ket divide este producto interno (también llamado "soporte") en dos piezas, el "sujetador" y el "ket":

$${\ displaystyle \ langle A | B \ rangle = {\ bigl (} \ langle A | {\ bigr)} \, {\ bigl (} | B \ rangle {\ bigr)}}

donde ⟨ A | se llama sujetador, se lee como "bra-A" y | B ⟩ es un ket como anteriormente.

El propósito de "dividir" el producto interno en un sujetador y un ket es que tanto el sujetador ⟨ A | y el ket | B ⟩son significativos por sí mismos , y se puede utilizar en otros contextos además dentro de un producto interno. Hay dos formas principales de pensar sobre el significado de sostenes y kets separados. En consecuencia, la interpretación de la expresión ⟨ A | B ⟩ tiene una segunda interpretación, a saber, la de la acción de un funcional lineal por debajo.

Bras y kets como vectores de fila y columna [ editar ]

Para un espacio vectorial de dimensión finita, utilizando una base ortonormal fija , el producto interno se puede escribir como una multiplicación matricial de un vector de fila con un vector de columna:

{\ displaystyle \ langle A | B \ rangle \ doteq A_ {1} ^ {*} B_ {1} + A_ {2} ^ {*} B_ {2} + \ cdots + A_ {N} ^ {*} B_ {N} = {\ begin {pmatrix} A_ {1} ^ {*} & A_ {2} ^ {*} & \ cdots & A_ {N} ^ {*} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} B_ {1} \\ B_ {2} \\\ vdots \\ B_ {N} \ end {pmatrix}}}

Sobre esta base, los sostenes y los kets se pueden definir como:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ langle A | & \ doteq {\ begin {pmatrix} A_ {1} ^ {*} & A_ {2} ^ {*} & \ cdots & A_ {N} ^ {*} \ end {pmatrix}} \\ | B \ rangle & \ doteq {\ begin {pmatrix} B_ {1} \\ B_ {2} \\\ vdots \\ B_ {N} \ end {pmatrix}} \ end {alineado }}}

y luego se entiende que un sujetador junto a un ket implica la multiplicación de matrices .

La transposición del conjugado (también llamado conjugado hermitiano ) de un sostén es el ket correspondiente y viceversa:

$${\ displaystyle \ langle A | ^ {\ dagger} = | A \ rangle, \ quad | A \ rangle ^ {\ dagger} = \ langle A |}

Porque si uno empieza con el sujetador.

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {1} ^ {*} & A_ {2} ^ {*} & \ cdots & A_ {N} ^ {*} \ end {pmatrix}} \ ,,}

luego realiza una conjugación compleja , y luego una transposición de matriz , uno termina con el ket

$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {1} \\ A_ {2} \\\ vdots \\ A_ {N} \ end {pmatrix}}}

Sujetadores como funcionales lineales [ editar ]

Artículos principales: Espacio dual y teorema de representación de Riesz.

Una definición más abstracta, que es equivalente pero más fácilmente generalizada a espacios de dimensión infinita, es decir que los sostenes son funciones lineales en el espacio de los kets, es decir, transformaciones lineales que ingresan un cet y generan un número complejo. Los funcionales lineales del sostén se definen para ser consistentes con el producto interno. Por lo tanto, si ⟨ A | Es la función lineal correspondiente a | A ⟩ bajo el teorema de representación de Riesz , entonces

$${\ displaystyle \ langle A | B \ rangle = \ langle A | {\ bigl (} | B \ rangle {\ bigr)} \ ,,}

es decir, produce el mismo número complejo que el producto interno. La terminología para el lado derecho es, sin embargo, no un producto interno, que siempre involucra dos kets . Confundir esto es inofensivo, ya que el mismo número se produce al final.

En terminología matemática, el espacio vectorial de los sujetadores es el espacio dual al espacio vectorial de los kets, y los correspondientes sujetadores y kets están relacionados por el teorema de representación de Riesz .

Estados no normalizables y espacios no Hilbert [ editar ]

La notación Bra-ket puede usarse incluso si el espacio vectorial no es un espacio de Hilbert .

En la mecánica cuántica, es una práctica común escribir kets que tienen una norma infinita , es decir, funciones de onda no normalizables . Los ejemplos incluyen estados cuyas funciones de onda son funciones delta de Diracu ondas planas infinitas . Estos, técnicamente, no pertenecen al propio espacio de Hilbert . Sin embargo, la definición de "espacio de Hilbert" se puede ampliar para adaptarse a estos estados (consulte la construcción de Gelfand-Naimark-Segal o los espacios de Hilbert amañados ). La notación bra-ket sigue funcionando de manera análoga en este contexto más amplio.

Los espacios de Banach son una generalización diferente de los espacios de Hilbert. En un espacio B deBanach , los vectores pueden ser anotados por kets y los funcionales lineales continuos por sujetadores. Sobre cualquier espacio vectorial sin topología , también podemos indicar los vectores por kets y los funcionales lineales por sujetadores. En estos contextos más generales, el corchete no tiene el significado de un producto interno, porque el teorema de representación de Riesz no se aplica.

Uso en mecánica cuántica [ editar ]

La estructura matemática de la mecánica cuántica se basa en gran parte en el álgebra lineal :

• Las funciones de onda y otros estados cuánticos se pueden representar como vectores en un espaciocomplejo de Hilbert . (La estructura exacta de este espacio de Hilbert depende de la situación.) En la notación bra-ket, por ejemplo, un electrón podría estar en el "estado" | Psi ⟩ . (Técnicamente, los estados cuánticos son rayos de vectores en el espacio de Hilbert, como c | Psi ⟩ corresponde al mismo estado para cualquier número complejo distinto de cero c .)
• Las superposiciones cuánticas se pueden describir como sumas vectoriales de los estados constituyentes. Por ejemplo, un electrón en el estado | 1⟩ + i | 2⟩ está en una superposición cuántica de los estados | 1⟩ y | 2⟩ .
• Las mediciones están asociadas con operadores lineales (llamados observables ) en el espacio de Hilbert de los estados cuánticos.
• La dinámica también se describe mediante operadores lineales en el espacio de Hilbert. Por ejemplo, en la imagen de Schrödinger , hay un operador de evolución en tiempo lineal U con la propiedad de que si un electrón está en estado | Psi ⟩ en este momento, en un momento posterior estará en el estado T | Psi ⟩ , la misma T para cada posible | Psi ⟩ .
• La normalización de la función de onda es escalar una función de onda para que su norma sea ​​1.

Dado que virtualmente cada cálculo en mecánica cuántica involucra vectores y operadores lineales, puede involucrar, y con frecuencia involucra, notación bra-ket. A continuación algunos ejemplos:

Posición sin giro: función de onda espacial [ editar ]

Componentes discretos A _k de un vector complejo | Un ⟩ = Σ _k A _k | e _k ⟩ , que pertenece a un infinito numerableespacio de Hilbert -dimensional; Hay innumerables valores k y vectores de base infinitos | e _k ⟩ .

Componentes continuos ψ ( x ) de un vector complejo | ψ ⟩ = ∫ d x ψ ( x ) | x ⟩, que pertenece a un uncountably infinito-dimensional espacio de Hilbert ; hay infinitos valores de x y vectores de base | x ⟩ .

Componentes de vectores complejos representados frente al número de índice; kdiscreta y x continua . Dos componentes particulares de entre muchos son resaltados.

El espacio de Hilbert de una partícula de espín -0 punto está atravesado por una " base deposición " { | r ⟩ } , donde la etiqueta r se extiende sobre el conjunto de todos los puntos en el espacio posición . Esta etiqueta es el valor propio del operador de posición que actúa en dicho estado base,$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} | \ mathbf {r} \ rangle = \ mathbf {r} | \ mathbf {r} \ rangle}. Dado que hay un número infinitamente infinito de componentes vectoriales en la base, este es un espacio de Hilbert infinitamente infinito-dimensional. Las dimensiones del espacio de Hilbert (generalmente infinito) y el espacio de posición (generalmente 1, 2 o 3) no se deben combinar.

Partiendo de cualquier ket | Ψ⟩ en este espacio de Hilbert, se puede definir una función escalar compleja de r , conocida como función de onda ,

$${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ langle \ mathbf {r} | \ Psi \ rangle \ ,.}

En el lado izquierdo, Ψ ( r ) es una función que mapea cualquier punto en el espacio a un número complejo; en el lado derecho, | Ψ⟩ = ∫ d ³ r Ψ ( r ) | r ⟩ es un ket que consiste en una superposición de las TFE con coeficientes relativas especificadas por dicha función.

Es entonces habitual definir operadores lineales que actúan sobre las funciones de onda en términos de operadores lineales que actúan sobre kets, por

$${\ displaystyle A \ Psi (\ mathbf {r}) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ langle \ mathbf {r} | A | \ Psi \ rangle \ ,.}

Por ejemplo, el operador de impulso p tiene la siguiente forma,

$${\ displaystyle \ mathbf {p} \ Psi (\ mathbf {r}) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ langle \ mathbf {r} | \ mathbf {p} | \ Psi \ rangle = -i \ hbar \ nabla \ Psi (\ mathbf {r}) \ ,.}

De vez en cuando se encuentra una expresión como

$${\ displaystyle \ nabla | \ Psi \ rangle \ ,,}

aunque esto es algo así como un abuso de notación . El operador diferencial debe entenderse como un operador abstracto, que actúa sobre kets, que tiene el efecto de diferenciar las funciones de onda una vez que la expresión se proyecta en la base de la posición,

$${\ displaystyle \ nabla \ langle \ mathbf {r} | \ Psi \ rangle \ ,,}

aunque, en la base del impulso, el operador equivale a un mero operador de multiplicación (por iħ p ).

Superposición de estados [ editar ]

En la mecánica cuántica, la expresión ⟨ phi | Psi ⟩ típicamente se interpreta como la amplitud de probabilidadpara el estado Psi a colapsar en el estado φ . Matemáticamente, esto significa el coeficiente para la proyección de ψ sobre φ . También se describe como la proyección de estado ψ en estado φ .

Cambio de base para un spin- 1/2 de partícula [ editar ]

Un inmóvil spin- 1/2 partícula tiene un espacio de Hilbert de dos dimensiones. Una base ortonormal es:

$${\ displaystyle | {\ uparrow} _ {z} \ rangle \ ,, \; | {\ downarrow} _ {z} \ rangle}

donde | ↑ _z ⟩ es el estado con un valor definido del operador de giro S _z igual a + 1/2 y | ↓ _z ⟩ es el estado con un valor definido del operador de giro S _z igual a - 1/2 .

Dado que estos son una base , cualquier estado cuántico de la partícula se puede expresar como una combinación lineal (es decir, superposición cuántica ) de estos dos estados:

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle = a _ {\ psi} | {\ uparrow} _ {z} \ rangle + b _ {\ psi} | {\ downarrow} _ {z} \ rangle}

donde a _ψ y b _ψ son números complejos.

Una base diferente para el mismo espacio de Hilbert es:

$${\ displaystyle | {\ uparrow} _ {x} \ rangle \ ,, \; | {\ downarrow} _ {x} \ rangle}

definido en términos de S _{x en} lugar de S _z .

De nuevo, cualquier estado de la partícula se puede expresar como una combinación lineal de estos dos:

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle = c _ {\ psi} | {\ uparrow} _ {x} \ rangle + d _ {\ psi} | {\ downarrow} _ {x} \ rangle}

En forma vectorial, puedes escribir

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ doteq {\ begin {pmatrix} a _ {\ psi} \\ b _ {\ psi} \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {or}} \ quad | \ psi \ rangle \ doteq {\ begin {pmatrix} c _ {\ psi} \\ d _ {\ psi} \ end {pmatrix}}}

Dependiendo de qué base esté utilizando. En otras palabras, las "coordenadas" de un vector dependen de la base utilizada.

Hay una relación matemática entre a _ψ , b _ψ , c _ψ y d _ψ ; Ver cambio de base .

Usos engañosos [ editar ]

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Existen algunas convenciones y abusos de notación que generalmente son aceptados por la comunidad de físicos, pero que pueden confundir a los no iniciados.

Es común usar el mismo símbolo para etiquetas y constantes en la misma ecuación. Por ejemplo, α̂ | alfa ⟩ = alfa | α ⟩ , donde el símbolo α se utiliza al mismo tiempo como el nombre del operador α , su vector propio | α ⟩ y el correspondiente valor propio α .

Algo similar ocurre en la notación componente de vectores. Mientras que Ψ (mayúsculas) se asocia tradicionalmente con las funciones de onda, ψ (minúsculas) puede usarse para denotar una etiqueta , una función de onda o una constante compleja en el mismo contexto, generalmente diferenciada solo por un subíndice.

Los principales abusos incluyen operaciones dentro de las etiquetas de vectores. Esto se hace para una notación rápida de vectores de escalado. Por ejemplo, si el vector | alfa ⟩ es escalado por √ 2 , podría ser denotado por | α / √ 2 ⟩ , que no tiene sentido ya que α es una etiqueta, no una función o un número, por lo que no puede realizar operaciones en él.

Esto es especialmente común cuando se denota vectores como productos tensoriales, donde parte de las etiquetas se mueven fuera de la ranura diseñada, por ejemplo, | alfa ⟩ = | α / √ 2 ₁ ⟩ ⊗ | α / √ 2 ₂ ⟩ . Aquí, parte del etiquetado que debería indicar que los tres vectores son diferentes se movió fuera de los kets, como los subíndices 1 y 2. Y se produce un abuso adicional, ya que α se refiere a la norma del primer vector, que es una etiqueta denotando un valor .

Operadores lineales [ editar ]

Ver también: Operador lineal.

Operadores lineales actuando sobre kets [ editar ]

Un operador lineal es un mapa que ingresa un ket y genera un ket. (Para que se le llame "lineal", se requiere que tenga ciertas propiedades .) En otras palabras, si A es un operador lineal y | Psi ⟩ es un ket, entonces A | Psi ⟩es otro ket.

En un espacio de Hilbert N- dimensional, | Psi ⟩ se puede escribir como un N × 1 vector de columna , y luego Aes un N × N matriz con entradas complejas. El ket A | Psi ⟩ se puede calcular normal de la multiplicación de matrices .

Los operadores lineales son omnipresentes en la teoría de la mecánica cuántica. Por ejemplo, las cantidades físicas observables están representadas por operadores autoadjuntos , como la energía o el momento , mientras que los procesos transformativos están representados por operadores lineales unitarios , como la rotación o la progresión del tiempo.

Operadores lineales que actúan sobre sujetadores [ editar ]

También se puede considerar que los operadores actúan sobre los sostenes desde el lado derecho . En concreto, si A es un operador lineal y ⟨ phi | es un sostén, a continuación, ⟨ phi | A es otro sujetador definido por la regla.

$${\ displaystyle {\ bigl (} \ langle \ phi | {\ boldsymbol {A}} {\ bigr)} | \ psi \ rangle = \ langle \ phi | {\ bigl (} {\ boldsymbol {A}} | \ psi \ rangle {\ bigr)} \ ,,}

(en otras palabras, una función de composición ). Esta expresión se escribe comúnmente como (cf. producto interno de energía )

$${\ displaystyle \ langle \ phi | {\ boldsymbol {A}} | \ psi \ rangle \ ,.}

En una N espacio de Hilbert-dimensional, ⟨ phi | se puede escribir como un vector de fila 1 × N , y A (como en la sección anterior) es una matriz N × N. A continuación, el sujetador ⟨ phi | A se puede calcular por multiplicación de matriz normal .

Si el mismo vector de estado aparece en ambos lados, bra y ket

$${\ displaystyle \ langle \ psi | {\ boldsymbol {A}} | \ psi \ rangle \ ,,}

entonces esta expresión da el valor esperado , o el valor promedio o promedio, del observable representado por el operador A para el sistema físico en el estado | Psi ⟩ .

Productos externos [ editar ]

Una manera conveniente de definir operadores lineales en un espacio de Hilbert H está dado por el producto externo : si ⟨ varphi | es un sujetador y | Psi ⟩ es un ket, el producto exterior

$${\ displaystyle | \ phi \ rangle \, \ langle \ psi |}

denota el operador de rango uno con la regla

$${\ displaystyle {\ bigl (} | \ phi \ rangle \ langle \ psi | {\ bigr)} (x) = \ langle \ psi | x \ rangle | \ phi \ rangle}.

Para un espacio vectorial de dimensión finita, el producto externo puede entenderse como una simple multiplicación de matrices:

{\ displaystyle | \ phi \ rangle \, \ langle \ psi | \ doteq {\ begin {pmatrix} \ phi _ {1} \\\ phi _ {2} \\\ vdots \\\ phi _ {N} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ psi _ {1} ^ {*} & \ psi _ {2} ^ {*} & \ cdots & \ psi _ {N} ^ {*} \ end {pmatrix }} = {\ begin {pmatrix} \ phi _ {1} \ psi _ {1} ^ {*} & \ phi _ {1} \ psi _ {2} ^ {*} & \ cdots & \ phi _ { 1} \ psi _ {N} ^ {*} \\\ phi _ {2} \ psi _ {1} ^ {*} & \ phi _ {2} \ psi _ {2} ^ {*} & \ cdots & \ phi _ {2} \ psi _ {N} ^ {*} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ phi _ {N} \ psi _ {1} ^ {*} & \ phi _ {N} \ psi _ {2} ^ {*} & \ cdots & \ phi _ {N} \ psi _ {N} ^ {*} \ end {pmatrix}}}

El producto externo es una matriz N × N , como se espera para un operador lineal.

Uno de los usos del producto exterior es construir operadores de proyección . Dado un ket | Psi ⟩ de norma 1, la proyección ortogonal sobre el subespacio abarcado por | Psi ⟩ es

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle \, \ langle \ psi | \ ,.}

Operador conjugado hermitiana [ editar ]

Artículo principal: conjugado hermitiano

Así como las TFE y los sujetadores se pueden transformar en uno al otro (haciendo | Psi ⟩ en ⟨ Psi | ), el elemento desde el espacio dual correspondiente a A | Psi ⟩ es ⟨ Psi | A ^† , donde A ^† indica la conjugada hermitiana (o adjunto) del operador A . En otras palabras,

$${\ displaystyle | \ phi \ rangle = A | \ psi \ rangle \ quad {\ text {if y only if}} \ quad \ langle \ phi | = \ langle \ psi | A ^ {\ dagger} \ ,.}

Si A se expresa como una matriz N × N , entonces A ^† es su transposición conjugada .

Los operadores autoadjuntos , donde A = A ^† , desempeñan un papel importante en la mecánica cuántica; por ejemplo, un observable siempre se describe por un operador autoadjunto. Si A es un operador auto-adjunto, a continuación, ⟨ Psi | Un | Psi ⟩ es siempre un número real (no complejo). Esto implica que los valores de expectativa de los observables son reales.

Propiedades [ editar ]

La notación de Bra-ket fue diseñada para facilitar la manipulación formal de las expresiones lineales-algebraicas. Algunas de las propiedades que permiten esta manipulación se enumeran aquí. En lo que sigue, c ₁ y c ₂denotan números complejos arbitrarios , c * denota el complejo conjugado de c , A y B denotan operadores lineales arbitrarios, y estas propiedades deben mantenerse para cualquier elección de bras y kets.

Linealidad [ editar ]

• Dado que los sostenes son funcionales lineales,

$${\ displaystyle \ langle \ phi | {\ bigl (} c_ {1} | \ psi _ {1} \ rangle + c_ {2} | \ psi _ {2} \ rangle {\ bigr)} = c_ {1} \ langle \ phi | \ psi _ {1} \ rangle + c_ {2} \ langle \ phi | \ psi _ {2} \ rangle \ ,.}

• Por la definición de suma y multiplicación escalar de funciones lineales en el espacio dual , ^[6]

$${\ displaystyle {\ bigl (} c_ {1} \ langle \ phi _ {1} | + c_ {2} \ langle \ phi _ {2} | {\ bigr)} | \ psi \ rangle = c_ {1} \ langle \ phi _ {1} | \ psi \ rangle + c_ {2} \ langle \ phi _ {2} | \ psi \ rangle \ ,.}

Asociatividad [ editar ]

Dada cualquier expresión que involucre números complejos, sostenes, kets, productos internos, productos externos y / o operadores lineales (pero no la adición), escritos en notación bra-ket, las agrupaciones entre paréntesis no importan (es decir, la propiedad asociativa es válida). Por ejemplo:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ langle \ psi | {\ bigl (} A | \ phi \ rangle {\ bigr)} = {\ bigl (} \ langle \ psi | A {\ bigr)} | \ phi \ rangle \, & {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, \ langle \ psi | A | \ phi \ rangle \\ {\ bigl (} A | \ psi \ rangle {\ bigr)} \ langle \ phi | = A {\ bigl (} | \ psi \ rangle \ langle \ phi | {\ bigr)} \, & {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, A | \ psi \ rangle \ langle \ phi | \ end {alineado}}}

Etcétera. Las expresiones de la derecha (sin paréntesis en absoluto) pueden escribirse de forma inequívoca debido a las igualaciones de la izquierda. Tenga en cuenta que la propiedad asociativa no se mantiene para las expresiones que incluyen operadores no lineales, como el operador de inversión de tiempo antilineal en física.

Conjugación hermitiana [ editar ]

La notación de Bra-ket hace que sea particularmente fácil calcular el conjugado hermitiano (también llamado daga , y denotado † ) de las expresiones. Las reglas formales son:

• El conjugado hermitiano de un sostén es el ket correspondiente, y viceversa.
• El conjugado hermitiano de un número complejo es su conjugado complejo.
• El conjugado hermitiano del conjugado hermitiano de cualquier cosa (operadores lineales, sostenes, kets, números) es en sí mismo, es decir,

$${\ displaystyle \ left (x ^ {\ dagger} \ right) ^ {\ dagger} = x \ ,.}

• Dada cualquier combinación de números complejos, sostenes, kets, productos internos, productos externos y / o operadores lineales, escritos en notación bra-ket, su conjugado de Hermitian puede calcularse invirtiendo el orden de los componentes y tomando el conjugado de Hermitian cada.

Estas reglas son suficientes para escribir formalmente el conjugado hermitiano de cualquier expresión de este tipo; algunos ejemplos son los siguientes:

• Kets:

$${\ displaystyle {\ bigl (} c_ {1} | \ psi _ {1} \ rangle + c_ {2} | \ psi _ {2} \ rangle {\ bigr)} ^ {\ dagger} = c_ {1} ^ {*} \ langle \ psi _ {1} | + c_ {2} ^ {*} \ langle \ psi _ {2} | \ ,.}

• Productos internos:

$${\ displaystyle \ langle \ phi | \ psi \ rangle ^ {*} = \ langle \ psi | \ phi \ rangle \ ,.}

Tenga en cuenta que ⟨ phi | Psi ⟩ es un escalar, por lo que el conjugado hermitiana es sólo el complejo conjugado, es decir,

$${\ displaystyle {\ bigl (} \ langle \ phi | \ psi \ rangle {\ bigr)} ^ {\ dagger} = \ langle \ phi | \ psi \ rangle ^ {*}}

• Elementos de la matriz:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ langle \ phi | A | \ psi \ rangle ^ {*} & = \ left \ langle \ psi \ left | A ^ {\ dagger} \ right | \ phi \ right \ rangle \\\ left \ langle \ phi \ left | A ^ {\ dagger} B ^ {\ dagger} \ right | \ psi \ right \ rangle ^ {*} & = \ langle \ psi | BA | \ phi \ rangle \ ,. \ end {alineado}}}

• Productos exteriores:

$${\ displaystyle {\ Big (} {\ bigl (} c_ {1} | \ phi _ {1} \ rangle \ langle \ psi _ {1} | {\ bigr)} + ​​{\ bigl (} c_ {2} | \ phi _ {2} \ rangle \ langle \ psi _ {2} | {\ bigr)} {\ Big)} ^ {\ dagger} = {\ bigl (} c_ {1} ^ {*} | \ psi _ {1} \ rangle \ langle \ phi _ {1} | {\ bigr)} + ​​{\ bigl (} c_ {2} ^ {*} | \ psi _ {2} \ rangle \ langle \ phi _ {2 } | {\ bigr)} \ ,.}

Sujetadores y kets compuestos [ editar ]

Dos espacios de Hilbert V y W pueden formar un tercer espacio V ⊗ W por un producto tensorial . En mecánica cuántica, esto se utiliza para describir sistemas compuestos. Si un sistema se compone de dos subsistemas descritos en V y W respectivamente, entonces el espacio de Hilbert de todo el sistema es el producto tensorial de los dos espacios. (La excepción a esto es si los subsistemas son en realidad partículas idénticas . En ese caso, la situación es un poco más complicada).

Si | Psi ⟩ es un ket en V y | varphi ⟩ es un ket en W , el producto directo de los dos TFE es un ket en V ⊗ W . Esto está escrito en varias notaciones:

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle | \ phi \ rangle \ ,, \ quad | \ psi \ rangle \ otimes | \ phi \ rangle \ ,, \ quad | \ psi \ phi \ rangle \ ,, \ quad | \ psi , \ phi \ rangle \ ,.}

Consulte el entrelazamiento cuántico y la paradoja de EPR para las aplicaciones de este producto.

El operador de la unidad [ editar ]

Considere un sistema ortonormal completo ( base ),

$${\ displaystyle \ {e_ {i} \ | \ i \ in \ mathbb {N} \} \ ,,}

para un espacio H de Hilbert , con respecto a la norma de un producto interno ⟨·, ·⟩ .

A partir del análisis funcional básico , se sabe que cualquier ket | Psi ⟩ también se puede escribir como

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} \ langle e_ {i} | \ psi \ rangle | e_ {i} \ rangle,}

con ⟨· | ·⟩ el producto interno en el espacio de Hilbert.

De la conmutatividad de los kets con escalares (complejos), se deduce que

$${\ displaystyle \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | = 1 \! \! 1}

debe ser el operador de identidad , que envía cada vector a sí mismo.

Esto, entonces, puede insertarse en cualquier expresión sin afectar su valor; por ejemplo

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ langle v | w \ rangle & = \ langle v | \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i } | \ right) | w \ rangle \\ & = \ langle v | \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | \ right) \ left (\ sum _ {j \ in \ mathbb {N}} | e_ {j} \ rangle \ langle e_ {j} | \ right) | w \ rangle \\ & = \ langle v | e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i} | e_ {j} \ rangle \ langle e_ {j} | w \ rangle \ ,, \ end {alineado}}}

donde, en la última identidad, se ha utilizado la convención de suma de Einstein .

En la mecánica cuántica , a menudo ocurre que poca o ninguna información sobre el producto interno ⟨ Psi | phi ⟩ de dos arbitraria (estado) TFE está presente, mientras que todavía es posible decir algo acerca de los coeficientes de dilatación ⟨ Psi | e _i ⟩ = ⟨ e _i | Psi ⟩ * y ⟨ e _i | varphi ⟩ de esos vectores con respecto a una base específica (ortonormalizada). En este caso, es particularmente útil insertar el operador de la unidad en el soporte una vez o más.

Para más información, ver Resolución de la identidad ,

•     1 = ∫ d x | x ⟩ ⟨ x | = ∫ d p | p ⟩ ⟨ p | , donde | p ⟩ = ∫ d x e ^IXP / ħ | x ⟩ / √ 2 πħ . 

Desde ⟨ x '| x ⟩ = δ ( x - x ') , ondas planas siguen, ⟨ x | p ⟩ = e ^ixp / ħ / √ 2 πħ . ^[7]

Normalmente, cuando todos los elementos de la matriz de un operador, como

$${\ displaystyle \ langle x | A | y \ rangle}

están disponibles, esta resolución sirve para reconstituir el operador completo,

$${\ displaystyle \ int dxdy ~~ | x \ rangle \ langle x | A | y \ rangle \ langle y | = A ~.}

Notación utilizada por los matemáticos [ editar ]

Los físicos de los objetos están considerando cuando usar la notación bra-ket es un espacio de Hilbert (un espacio completo del producto interno ).

Deje H un espacio de Hilbert y h ∈ H un vector en H . Lo que los físicos denotarían por | h ⟩ es el propio vector. Es decir,

$${\ displaystyle | h \ rangle \ in {\ mathcal {H}}}.

Deje H * sea el espacio dual de H . Este es el espacio de funcionales lineales en H . El isomorfismo Φ  : H → H * se define por Φ ( h ) = φ _h , donde para cada g ∈ H definimos

$${\ displaystyle \ phi _ {h} (g) = {\ mbox {IP}} (h, g) = (h, g) = \ langle h, g \ rangle = \ langle h | | g \ rangle},

donde IP (·, ·) , (·, ·) , ⟨·, ·⟩ y ⟨· | ·⟩ son simplemente notaciones diferentes para expresar un producto interno entre dos elementos en un espacio de Hilbert (o para los tres primeros, en cualquier espacio interno del producto). Confusión Nomenclatura surge cuando la identificación de φ _h y g con ⟨ h | y | g ⟩ respectivamente. Esto se debe a las sustituciones simbólicas literales. Dejar que φ _h = H = ⟨ h | y dejar g = G = | g ⟩ . Esto da

$${\ displaystyle \ phi _ {h} (g) = H (g) = H (G) = \ langle h | (G) = \ langle h | {\ bigl (} | g \ rangle {\ bigr)} \ ,.}

Uno ignora los paréntesis y elimina las barras dobles. Algunas propiedades de esta notación son convenientes ya que estamos tratando con operadores lineales y la composición actúa como una multiplicación en anillo .

Además, los matemáticos usualmente escriben la entidad dual no en el primer lugar, como lo hacen los físicos, sino en el segundo, y usualmente no usan un asterisco sino una línea (que los físicos reservan para promedios y el Dirac Spinor adjunto ) para denotar números complejos conjugados ; Es decir, para los productos escalares, los matemáticos suelen escribir.

$${\ displaystyle (\ phi, \ psi) = \ int \ phi (x) \ cdot {\ overline {\ psi (x)}} \, \ mathrm {d} x \ ,,}

mientras que los físicos escribirían para la misma cantidad

$${\ displaystyle \ langle \ psi | \ phi \ rangle = \ int \ mathrm {d} x \, \ psi ^ {*} (x) \ cdot \ phi (x) \ ,.}