MECÁNICA CUÁNTICA

 el operador de momento angular es uno de varios operadores relacionados análogos al momento angular clásico . El operador del momento angular desempeña un papel central en la teoría de la física atómica y otros problemas cuánticos relacionados con la simetría rotacional . Tanto en los sistemas mecánicos clásicos como en los cuánticos, el momento angular (junto con el momento y la energía lineal ) es una de las tres propiedades fundamentales del movimiento. ^[1]

Hay varios operadores de momento angular: momento angular total(generalmente denotado como J ), momento angular orbital(generalmente denotado como L ) y momento angular de espín ( giropara abreviar, generalmente denotado como S ). El término operador de momento angular puede (confusamente) referirse al momento angular total o al orbital. El momento angular total siempre se conserva , ver el teorema de Noether .

Descripción general [ editar ]

"Conos vectoriales" de momento angular total J (púrpura), orbital L (azul) y giro S(verde). Los conos surgen debido a la incertidumbre cuántica entre la medición de las componentes del momento angular ( ver más abajo ).

En mecánica cuántica, el momento angular puede referirse a una de tres cosas diferentes, pero relacionadas.

Momento angular orbital [ editar ]

La definición clásica de momento angular es$${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}. Las contrapartes cuántico-mecánicas de estos objetos comparten la misma relación:

$${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}

donde r es el operador de posición cuántica , p es el operador de momento cuántico , x es producto cruzado y L es el operador de momento angular orbital . L (al igual que p y r ) es un operador vectorial (un vector cuyos componentes son operadores), es decir,$${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ left (L_ {x}, L_ {y}, L_ {z} \ right)}donde L _x , L _y , L _z son tres operadores cuántico-mecánicos diferentes.

En el caso especial de una sola partícula sin carga eléctrica ni giro , el operador del momento angular orbital se puede escribir en la base de la posición como:

$${\ displaystyle \ mathbf {L} = -i \ hbar (\ mathbf {r} \ times \ nabla)}

donde ∇ es el operador diferencial vectorial, del .

Girar el momento angular [ editar ]

Artículo principal: Spin (física)

Hay otro tipo de momento angular, llamada momento angular de espín (más a menudo abreviado como girar ), representada por el operador de espín S . El giro se representa a menudo como una partícula que gira literalmente alrededor de un eje, pero esto es solo una metáfora: el giro es una propiedad intrínseca de una partícula, no relacionada con ningún tipo de movimiento en el espacio. Todas las partículas elementales tienen un giro característico, que generalmente es distinto de cero. Por ejemplo, los electrones siempre tienen "giro 1/2", mientras que los fotones siempre tienen "giro 1" (detalles a continuación ).

Momento angular total [ editar ]

Finalmente, hay un momento angular total J , que combina tanto el giro como el momento angular orbital de una partícula o sistema:

$${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}.}

La conservación del momento angular indica que se conserva J para un sistema cerrado, o J para todo el universo. Sin embargo, L y S están no generalmente se conservan. Por ejemplo, la interacción giro-órbita permite que el momento angular se transfiera entre L y S , con el total de J constante.

Relaciones de conmutación [ editar ]

Relaciones de conmutación entre componentes [ editar ]

El operador de momento angular orbital es un operador vectorial, lo que significa que se puede escribir en términos de sus componentes vectoriales $${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ left (L_ {x}, L_ {y}, L_ {z} \ right)}. Los componentes tienen las siguientes relaciones de conmutación entre sí: ^[2]

$${\ displaystyle \ left [L_ {x}, L_ {y} \ right] = i \ hbar L_ {z}, \; \; \ left [L_ {y}, L_ {z} \ right] = i \ hbar L_ {x}, \; \; \ left [L_ {z}, L_ {x} \ right] = i \ hbar L_ {y},}

donde [,] denota el conmutador

$${\ displaystyle [X, Y] \ equiv XY-YX.}

Esto puede ser escrito generalmente como

$${\ displaystyle \ left [L_ {l}, L_ {m} \ right] = i \ hbar \ sum _ {n = 1} ^ {3} \ varepsilon _ {lmn} L_ {n}},

donde l , m , n son los índices componentes (1 para x , 2 para y , 3 para z ) y ε _lmn denota el símbolo de Levi-Civita .

También es posible una expresión compacta como una ecuación vectorial: ^[3]

$${\ displaystyle \ mathbf {L} \ times \ mathbf {L} = i \ hbar \ mathbf {L}}

Las relaciones de conmutación pueden probarse como una consecuencia directa de las relaciones de conmutación canónicas. $${\ displaystyle [x_ {l}, p_ {m}] = i \ hbar \ delta _ {lm}}, donde δ _lm es el delta de Kronecker .

Hay una relación análoga en la física clásica: ^[4]

$${\ displaystyle \ left \ {L_ {i}, L_ {j} \ right \} = \ varepsilon _ {ijk} L_ {k}}

donde L _n es un componente del operador clásico de momento angular, y$${\ displaystyle \ {, \}}Es el soporte de Poisson .

Las mismas relaciones de conmutación se aplican a los otros operadores de momento angular (giro y momento angular total): ^[5]

$${\ displaystyle \ left [S_ {l}, S_ {m} \ right] = i \ hbar \ sum _ {n = 1} ^ {3} \ varepsilon _ {lmn} S_ {n}, \ quad \ left [ J_ {l}, J_ {m} \ right] = i \ hbar \ sum _ {n = 1} ^ {3} \ varepsilon _ {lmn} J_ {n}}.

Estos pueden ser asumidas para sostener de manera análoga a L . Alternativamente, pueden derivarse como se discute a continuación .

Estas relaciones de conmutación significa que L tiene la estructura matemática de un álgebra de Lie , y el ε _lmnson sus constantes de estructura . En este caso, el álgebra de Lie es SU (2) o SO (3) en notación física ($${\ displaystyle \ operatorname {su} (2)} o $${\ displaystyle \ operatorname {so} (3)}respectivamente en notación matemática), es decir, álgebra de Lie asociada con rotaciones en tres dimensiones. Lo mismo es cierto de J y S . La razón se discute a continuación . Estas relaciones de conmutación son relevantes para la medición y la incertidumbre, como se explica más adelante.

Relaciones de conmutación que involucran magnitud vectorial [ editar ]

Como cualquier vector, se puede definir una magnitud para el operador del momento angular orbital,

$${\ displaystyle L ^ {2} \ equiv L_ {x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2}} .

L ² es otro operador cuántico. Se conmuta con los componentes de L ,

$${\ displaystyle \ left [L ^ {2}, L_ {x} \ right] = \ left [L ^ {2}, L_ {y} \ right] = \ left [L ^ {2}, L_ {z} \ right] = 0 ~. \,}

Una forma de probar que estos operadores conmutan es comenzar a partir de las relaciones de conmutación [ L _ℓ, L _m ] en la sección anterior:

espectáculoHaga clic en [mostrar] a la derecha para ver una prueba de [ L 2 , L x ] = 0, a partir de las relaciones de conmutación [ L ℓ , L m ] [6]

Matemáticamente, L ² es una invariante Casimir de la álgebra de Lie SO (3) abarcado por L .

Como arriba, hay una relación análoga en la física clásica:

$${\ displaystyle \ left \ {L ^ {2}, L_ {x} \ right \} = \ left \ {L ^ {2}, L_ {y} \ right \} = \ left \ {L ^ {2} , L_ {z} \ right \} = 0}

donde L _i es un componente del operador clásico de momento angular, y$${\ displaystyle \ {, \}}Es el soporte de Poisson . ^[7]

Volviendo al caso cuántico, las mismas relaciones de conmutación se aplican también a los otros operadores de momento angular (giro y momento angular total),

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ left \ lbrack S ^ {2}, S_ {i} \ right \ rbrack & = 0, \\ left \ lbrack J ^ {2}, J_ {i} \ right \ rbrack & = 0. \ end {alineado}}}

Principio de incertidumbre [ editar ]

Artículos principales: Principio de incertidumbre y Derivaciones del principio de incertidumbre.

En general, en la mecánica cuántica, cuando dos operadores observables no se conmutan, se les llama observables complementarios . Dos observables complementarios no pueden medirse simultáneamente; en cambio satisfacen un principio de incertidumbre . Cuanto más exactamente se conoce un observable, menos exactamente se puede conocer el otro. Así como existe un principio de incertidumbre que relaciona la posición y el momento, también existen principios de incertidumbre para el momento angular.

La relación Robertson-Schrödinger da el siguiente principio de incertidumbre:

$${\ displaystyle \ sigma _ {L_ {x}} \ sigma _ {L_ {y}} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \ left | \ langle L_ {z} \ rangle \ right |.}

dónde $${\ displaystyle \ sigma _ {X}}es la desviación estándar en los valores medidos de X y$${\ displaystyle \ langle X \ rangle}denota el valor esperado de x . Esta desigualdad también es cierto si x, y, z se reordenan, o si L se sustituye por J o S .

Por lo tanto, dos componentes ortogonales del momento angular (por ejemplo, L _x y L _y ) son complementarios y no se pueden conocer o medir simultáneamente, excepto en casos especiales como$${\ displaystyle L_ {x} = L_ {y} = L_ {z} = 0}.

Sin embargo, es posible medir o especificar simultáneamente L ² y cualquier componente de L ; por ejemplo, L ²y L _z . Esto suele ser útil, y los valores se caracterizan por el número cuántico azimutal ( l ) y el número cuántico magnético ( m ). En este caso, el estado cuántico del sistema es un estado propio simultáneo de los operadores L ² y L _z , pero no de L _x o L _y . Los valores propios están relacionados con ly m , como se muestra en la siguiente tabla.

Cuantización [ editar ]

Vea también: Número cuántico azimutal y Número cuántico magnético

En mecánica cuántica , el momento angular se cuantifica , es decir, no puede variar continuamente, sino solo en "saltos cuánticos" entre ciertos valores permitidos. Para cualquier sistema, se aplican las siguientes restricciones a los resultados de medición, donde$${\ displaystyle \ hbar}Se reduce la constante de Planck :

Si mides ...	... el resultado puede ser ...	Notas
$${\ displaystyle L_ {z}}	$${\ displaystyle (\ hbar m)}, dónde $${\ displaystyle m \ in \ {\ ldots, -2, -1,0,1,2, \ ldots \}}	A veces a m se le llama número cuántico magnético . Esta misma regla de cuantificación es válida para cualquier componente de L ; por ejemplo, L x o L y . Esta regla a veces se llama cuantización espacial . [8]
$${\ displaystyle S_ {z}} o $${\ displaystyle J_ {z}}	$${\ displaystyle (\ hbar m)}, dónde $${\ displaystyle m \ en \ {\ ldots, -1, -0.5,0,0.5,1,1.5, \ ldots \}}	Para S z , m a veces se llama número cuántico de proyección de espín . Para J z , m a veces se denomina número cuántico de proyección de momento angular total . Esta misma regla de cuantificación es válida para cualquier componente de S o J ; por ejemplo, S x o J y .
$${\ displaystyle L ^ {2}}	$${\ displaystyle \ left (\ hbar ^ {2} \ ell (\ ell +1) \ right)}, dónde $${\ displaystyle \ ell \ in \ {0,1,2, \ ldots \}}	L 2 se define por$${\ displaystyle L ^ {2} \ equiv L_ {x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2}}. $${\ displaystyle \ ell}A veces se le llama número cuántico azimutalo número cuántico orbital .
$${\ displaystyle S ^ {2}}	$${\ displaystyle \ left (\ hbar ^ {2} s (s + 1) \ right)}, dónde $${\ displaystyle s \ in \ {0,0.5,1,1.5, \ ldots \}}	s se llama número cuántico de espín o simplemente giro . Por ejemplo, una partícula de espín-½ es una partícula donde s = ½.
$${\ displaystyle J ^ {2}}	$${\ displaystyle \ left (\ hbar ^ {2} j (j + 1) \ right)}, dónde $${\ displaystyle j \ in \ {0,0.5,1,1.5, \ ldots \}}	A veces se llama j número cuántico de momento angular total .
$${\ displaystyle L ^ {2}} y $${\ displaystyle L_ {z}} simultaneamente	$${\ displaystyle \ left (\ hbar ^ {2} \ ell (\ ell +1) \ right)} para $${\ displaystyle L ^ {2}}y $${\ displaystyle \ left (\ hbar m _ {\ ell} \ right)} para $${\ displaystyle L_ {z}} dónde $${\ displaystyle \ ell \ in \ {0,1,2, \ ldots \}} y $${\ displaystyle m _ {\ ell} \ in \ {- \ ell, (- \ ell +1), \ ldots, (\ ell -1), \ ell \}}	(Vea más arriba para la terminología.)
$${\ displaystyle S ^ {2}} y $${\ displaystyle S_ {z}} simultaneamente	$${\ displaystyle \ left (\ hbar ^ {2} s (s + 1) \ right)} para $${\ displaystyle S ^ {2}}y $${\ displaystyle \ left (\ hbar m_ {s} \ right)} para $${\ displaystyle S_ {z}} dónde $${\ displaystyle s \ in \ {0,0.5,1,1.5, \ ldots \}} y $${\ displaystyle m_ {s} \ in \ {- s, (- s + 1), \ ldots, (s-1), s \}}	(Vea más arriba para la terminología.)
$${\ displaystyle J ^ {2}} y $${\ displaystyle J_ {z}} simultaneamente	$${\ displaystyle \ left (\ hbar ^ {2} j (j + 1) \ right)} para $${\ displaystyle J ^ {2}}y $${\ displaystyle \ left (\ hbar m_ {j} \ right)} para $${\ displaystyle J_ {z}} dónde $${\ displaystyle j \ in \ {0,0.5,1,1.5, \ ldots \}} y $${\ displaystyle m_ {j} \ in \ {- j, (- j + 1), \ ldots, (j-1), j \}}	(Vea más arriba para la terminología.)

En esta onda estacionaria en una cuerda circular, el círculo se divide en exactamente 8 longitudes de onda . Una onda estacionaria como esta puede tener 0, 1, 2, o cualquier número entero de longitudes de onda alrededor del círculo, pero no puedetener un número no entero de longitudes de onda como 8.3. En mecánica cuántica, el momento angular se cuantifica por una razón similar.

Derivación utilizando operadores de escalera [ editar ]

Artículo principal: Operador de escalera § Momento angular

Una forma común de derivar las reglas de cuantificación anteriores es el método de los operadores de escalera . ^[9] Se definen los operadores de escalera:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} J _ {+} & \ equiv J_ {x} + iJ_ {y}, \\ J _ {-} & \ equiv J_ {x} -iJ_ {y} \ end {alineado}} }

Supongamos un estado $${\ displaystyle | \ psi \ rangle} Es un estado en la autoforma simultanea de $${\ displaystyle J ^ {2}} y $${\ displaystyle J_ {z}} (es decir, un estado con un valor único y definido de $${\ displaystyle J ^ {2}} y un valor único, definido de $${\ displaystyle J_ {z}}). Entonces usando las relaciones de conmutación, uno puede probar que$${\ displaystyle J _ {+} | \ psi \ rangle} y $${\ displaystyle J _ {-} | \ psi \ rangle}También se encuentran en la base de datos propios simultáneos, con el mismo valor de$${\ displaystyle J ^ {2}}, pero donde $${\ displaystyle J_ {z} | \ psi \ rangle} es aumentado o disminuido por $${\ displaystyle \ hbar}, respectivamente. (También es posible que uno o ambos de estos vectores de resultados sean el vector cero). (Para ver una prueba, vea Operador de escalera # Momento angular .)

Al manipular estos operadores de escalera y usar las reglas de conmutación, es posible probar casi todas las reglas de cuantificación anteriores.

espectáculoHaga clic en [mostrar] a la derecha para ver más detalles en la prueba del operador de escalera de las reglas de cuantización [9]

Como S y L tienen las mismas relaciones de conmutación que J , el mismo análisis de escalera funciona para ellos.

El análisis de operador de escalera no explica un aspecto de las reglas de cuantificación anteriores: el hecho de que L (a diferencia de J y S ) no puede tener números cuánticos de mitad entero. Este hecho se puede probar (al menos en el caso especial de una partícula) anotando cada posible función propia de L ² y L _z , (son los armónicos esféricos ), y viendo explícitamente que ninguno de ellos tiene números cuánticos de mitad entero. . ^[10] Una derivación alternativa está abajo .

La interpretación visual [ editar ]

Ilustración del modelo vectorial del momento angular orbital.

Artículo principal: Vector modelo del átomo.

Dado que los momenta angulares son operadores cuánticos, no se pueden dibujar como vectores como en la mecánica clásica. Sin embargo, es común describirlos heurísticamente de esta manera. A la derecha se muestra un conjunto de estados con números cuánticos.$${\ displaystyle \ ell = 2}y $${\ displaystyle m _ {\ ell} = - 2, -1,0,1,2}para los cinco conos de abajo hacia arriba. Ya que$${\ displaystyle | L | = {\ sqrt {L ^ {2}}} = \ hbar {\ sqrt {6}}}, todos los vectores se muestran con longitud $${\ displaystyle \ hbar {\ sqrt {6}}}. Los anillos representan el hecho de que$${\ displaystyle L_ {z}} Se sabe con certeza, pero $${\ displaystyle L_ {x}} y $${\ displaystyle L_ {y}}son desconocidos por lo tanto, se dibuja cada vector clásico con la longitud apropiada y el componente z , formando un cono. El valor esperado del momento angular para un conjunto dado de sistemas en el estado cuántico caracterizado por$${\ displaystyle \ ell} y $${\ displaystyle m _ {\ ell}} podría estar en algún lugar de este cono, mientras que no se puede definir para un solo sistema (ya que los componentes de $${\ displaystyle L} no conmutar entre sí).

Cuantificación en sistemas macroscópicos [ editar ]

Las reglas de cuantificación son técnicamente verdaderas incluso para sistemas macroscópicos, como el momento angular L de un neumático que gira. Sin embargo no tienen ningún efecto observable. Por ejemplo, si$${\ displaystyle L_ {z} / \ hbar} es aproximadamente 100000000, esencialmente no hace ninguna diferencia si el valor exacto es un número entero como 100000000 o 100000001, o un número no entero como 100000000.2: los pasos discretos son demasiado pequeños para notarlo.

Momento angular como generador de rotaciones [ editar ]

Ver también: número cuántico de momento angular total.

La definición más general y fundamental del momento angular es como el generador de rotaciones. ^[5] Más específicamente, vamos$${\ displaystyle R ({\ hat {n}}, \ phi)}ser un operador de rotación , que rota cualquier estado cuántico sobre el eje$${\ displaystyle {\ hat {n}}}por angulo $${\ displaystyle \ phi}. Como$${\ displaystyle \ phi \ rightarrow 0}, el operador $${\ displaystyle R ({\ hat {n}}, \ phi)}se acerca al operador de identidad , porque una rotación de 0 ° asigna todos los estados a sí mismos. Entonces el operador de momento angular$${\ displaystyle J _ {\ hat {n}}} sobre el eje $${\ displaystyle {\ hat {n}}}se define como: ^[5]

$${\ displaystyle J _ {\ hat {n}} \ equiv i \ hbar \ lim _ {\ phi \ rightarrow 0} {\ frac {R \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right) -1} {\ phi}} = \ left.i \ hbar {\ frac {\ partial R \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right)} {\ partial \ phi}} \ right | _ {\ phi = 0}}

donde 1 es el operador de identidad . Observe también que R es un morfismo aditivo:$${\ displaystyle R \ left ({\ hat {n}}, \ phi _ {1} + \ phi _ {2} \ right) = R \ left ({\ hat {n}}, \ phi _ {1} \ right) R \ left ({\ hat {n}}, \ phi _ {2} \ right)} ; como consecuencia ^[5]

$${\ displaystyle R \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right) = \ exp \ left (- {\ frac {i \ phi J _ {\ hat {n}}} {\ hbar}} \ right )}

donde exp es exponencial matricial .

En términos más simples, el operador de momento angular total caracteriza cómo se cambia un sistema cuántico cuando se gira. La relación entre los operadores de momento angular y los operadores de rotación es la misma que la relación entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie en matemáticas, como se explica más adelante.

Los diferentes tipos de operadores de rotación . El cuadro superior muestra dos partículas, con estados de espín indicados esquemáticamente por las flechas.

1. El operador R , relacionado con J , rota todo el sistema.
2. El operador R _espacial , relacionado con L , rota las posiciones de las partículas sin alterar sus estados de giro interno.
3. El operador R _interno , relacionado con S , rota los estados de giro interno de las partículas sin cambiar sus posiciones.

Al igual que J es el generador para operadores de rotación , L y S son generadores para operadores de rotación parcial modificados. El operador

$${\ displaystyle R _ {\ text {spatial}} \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right) = \ exp \ left (- {\ frac {i \ phi L _ {\ hat {n}}} {\ hbar}} \ derecha),}

rota la posición (en el espacio) de todas las partículas y campos, sin rotar el estado interno (giro) de cualquier partícula. Asimismo, el operador.

$${\ displaystyle R _ {\ text {internal}} \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right) = \ exp \ left (- {\ frac {i \ phi S _ {\ hat {n}}} {\ hbar}} \ derecha),}

rota el estado interno (giro) de todas las partículas, sin mover ninguna partícula o campo en el espacio. La relación J = L + S proviene de:

$${\ displaystyle R \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right) = R _ {\ text {internal}} \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right) R _ {\ text { espacial}} \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right)}

es decir, si se giran las posiciones y luego se giran los estados internos, entonces se ha rotado el sistema completo.

Rotaciones de SU (2), SO (3) y 360 ° [ editar ]

Artículo principal: Spin (física)

Aunque uno podría esperar $${\ displaystyle R \ left ({\ hat {n}}, 360 ^ {\ circ} \ right) = 1}(una rotación de 360 ​​° es el operador de identidad), esto no seasume en la mecánica cuántica, y resulta que a menudo no es cierto: cuando el número cuántico de momento angular total es un medio entero (1/2, 3/2 , etc.),$${\ displaystyle R \ left ({\ hat {n}}, 360 ^ {\ circ} \ right) = - 1}, y cuando es un entero, $${\ displaystyle R \ left ({\ hat {n}}, 360 ^ {\ circ} \ right) = + 1}. ^[5] Matemáticamente, la estructura de las rotaciones en el universo no es SO (3) , el grupo de rotaciones tridimensionales en la mecánica clásica. En su lugar, es SU (2) , que es idéntico al SO (3) para pequeñas rotaciones, pero donde una rotación de 360 ​​° se distingue matemáticamente de una rotación de 0 °. (Sin embargo, una rotación de 720 ° es lo mismo que una rotación de 0 °.) ^[5]

Por otra parte, $${\ displaystyle R _ {\ text {spatial}} \ left ({\ hat {n}}, 360 ^ {\ circ} \ right) = + 1}en todas las circunstancias, porque una rotación de 360 ​​° de una configuración espacial es lo mismo que ninguna rotación. (Esto es diferente de una rotación de 360 ​​° del estado interno (giro) de la partícula, que podría o no ser lo mismo que ninguna rotación). En otras palabras, la$${\ displaystyle R _ {\ text {spatial}}}los operadores llevan la estructura de SO (3) , mientras que$${\ displaystyle R} y $${\ displaystyle R _ {\ text {interno}}}Llevar la estructura de SU (2) .

De la ecuación $${\ displaystyle + 1 = R _ {\ text {spatial}} \ left ({\ hat {z}}, 360 ^ {\ circ} \ right) = \ exp \ left (-2 \ pi iL_ {z} / \ hbar \ derecha)}, uno elige un estado propio $${\ displaystyle L_ {z} | \ psi \ rangle = m \ hbar | \ psi \ rangle} y dibuja

$${\ displaystyle e ^ {- 2 \ pi im} = 1}

es decir, los números cuánticos del momento angular orbital solo pueden ser enteros, no enteros.

La conexión a la teoría de la representación [ editar ]

Artículos principales: Física de partículas y teoría de la representación , Teoría de representación de SU (2) y Grupo de rotación SO (3) § Una nota sobre el álgebra de Lie

Comenzando con un cierto estado cuántico $${\ displaystyle | \ psi _ {0} \ rangle}, considera el conjunto de estados $${\ displaystyle R \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right) \ left | \ psi _ {0} \ right \ rangle} por todo lo posible $${\ displaystyle {\ hat {n}}} y $${\ displaystyle \ phi}, es decir, el conjunto de estados que se producen al rotar el estado de inicio en todas las formas posibles. Este es un espacio vectorial , y por lo tanto, la manera en que los operadores de rotación asignan un estado a otro es una representación del grupo de operadores de rotación.

Cuando los operadores de rotación actúan en estados cuánticos, forman una representación del grupo de Lie SU (2) (para R y R _internos ), o SO (3) (para R _espacial ).

De la relación entre J y los operadores de rotación,

Cuando los operadores de momento angular actúan sobre los estados cuánticos, forman una representacióndel álgebra de Lie. $${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)} o $${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}.

(Las álgebras de Lie de SU (2) y SO (3) son idénticas.)

La derivación del operador de escalera anterior es un método para clasificar las representaciones del álgebra SU de Lie (2).

La conexión a relaciones de conmutación [ editar ]

Rotaciones clásicas no conmutan entre sí: por ejemplo, la rotación 1 ° alrededor del x eje y luego 1 ° alrededor del y eje y da una rotación general ligeramente diferente de rotación 1 ° alrededor del y eje x luego 1 ° alrededor del x - eje. Al analizar cuidadosamente esta falta de conmutación, se pueden derivar las relaciones de conmutación de los operadores de momento angular. ^[5]

(Este mismo procedimiento de cálculo es una forma de responder a la pregunta matemática "¿Qué es el álgebrade Lie de los grupos de Lie SO (3) o SU (2) ?")

Conservación del momento angular [ editar ]

El Hamiltoniano H representa la energía y la dinámica del sistema. En una situación de simetría esférica, el Hamiltoniano es invariante en las rotaciones:

$${\ displaystyle RHR ^ {- 1} = H}

donde R es un operador de rotación . Como consecuencia,$${\ displaystyle [H, R] = 0}, y entonces $${\ displaystyle [H, \ mathbf {J}] = \ mathbf {0}}debido a la relación entre J y R . Por el teorema de Ehrenfest , se deduce que J se conserva.

Para resumir, si H es invariante rotacionalmente (esféricamente simétrica), entonces se conserva el momento angular total J. Este es un ejemplo del teorema de Noether .

Si H es solo el Hamiltoniano para una partícula, el momento angular total de esa partícula se conserva cuando la partícula está en un potencial central (es decir, cuando la función de energía potencial depende solo de$${\ displaystyle \ left | \ mathbf {r} \ right |}). Alternativamente, H puede ser el hamiltoniano de todas las partículas y campos en el universo, y luego H siempre es invariante rotacionalmente, ya que las leyes fundamentales de la física del universo son las mismas sin importar la orientación. Esta es la base para decir que la conservación del momento angular es un principio general de la física.

Para una partícula sin espín, J = L , el momento angular orbital se conserva en las mismas circunstancias. Cuando el giro no es cero, la interacción órbita de giro permite que el momento angular se transfiera de L a S o atrás. Por lo tanto, L no se conserva por sí sola.

Acoplamiento de momento angular [ editar ]

Artículos principales: Acoplamiento del momento angular y coeficientes de Clebsch-Gordan.

A menudo, dos o más clases de momento angular interactúan entre sí, de modo que el momento angular puede transferirse de uno a otro. Por ejemplo, en acoplamiento spin-órbita , el momento angular puede transferir entre Ly S , pero sólo del total J = L + S se conserva. En otro ejemplo, en un átomo con dos electrones, cada uno tiene su propio momento angular J ₁ y J ₂ , pero solo se conserva el total J = J ₁ + J ₂ .

En estas situaciones, a menudo es útil conocer la relación entre, por una parte, los estados donde $${\ displaystyle \ left (J_ {1} \ right) _ {z}, \ left (J_ {1} \ right) ^ {2}, \ left (J_ {2} \ right) _ {z}, \ left (J_ {2} \ derecha) ^ {2}} todos tienen valores definidos, y por otro lado, los estados donde $${\ displaystyle \ left (J_ {1} \ right) ^ {2}, \ left (J_ {2} \ right) ^ {2}, J ^ {2}, J_ {z}}todos tienen valores definidos, ya que los últimos cuatro generalmente se conservan (constantes de movimiento). El procedimiento para ir y venir entre estas bases es usar los coeficientes de Clebsch-Gordan .

Un resultado importante en este campo es que una relación entre los números cuánticos para $${\ displaystyle \ left (J_ {1} \ right) ^ {2}, \ left (J_ {2} \ right) ^ {2}, J ^ {2}}:

$${\ displaystyle j \ in \ left \ {\ left | j_ {1} -j_ {2} \ right |, \ left (\ left | j_ {1} -j_ {2} \ right | +1 \ right), \ ldots, \ left (j_ {1} + j_ {2} \ right) \ right \}}.

Para un átomo o molécula con J = L + S , el término símbolo da los números cuánticos asociados con los operadores$${\ displaystyle L ^ {2}, S ^ {2}, J ^ {2}}.

Momento angular orbital en coordenadas esféricas [ editar ]

Los operadores de momento angular usualmente ocurren cuando se resuelve un problema con simetría esféricaen coordenadas esféricas . El momento angular en la representación espacial es ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\&=i\hbar \left({\hat {\mathbf {x} }}\left(\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+{\hat {\mathbf {y} }}\left(-\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)-{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\L_{+}&=\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L_{-}&=\hbar e^{-i\phi }\left(-{\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L^{2}&=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right),\\L_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.\end{aligned}}}$

En coordenadas esféricas, la parte angular del operador de Laplace se puede expresar mediante el momento angular. Esto conduce a la relación.

$${\ displaystyle \ Delta = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} \, {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ right) - {\ frac {L ^ {2}} {\ hbar ^ {2} r ^ {2}}}.}

Al resolver para encontrar estados propios del operador.$${\ displaystyle L ^ {2}}, obtenemos lo siguiente

{\ displaystyle {\ begin {alineado} L ^ {2} | l, m \ rangle & = \ hbar ^ {2} l (l + 1) | l, m \ rangle \\ L_ {z} | l, m \ rangle & = \ hbar m | l, m \ rangle \ end {alineado}}}

dónde

$${\ displaystyle \ left \ langle \ theta, \ phi | l, m \ right \ rangle = Y_ {l, m} (\ theta, \ phi)}

Son los armónicos esféricos .