MECÁNICA CUÁNTICA

 la paridad C o paridad de carga es un número cuántico multiplicativo de algunas partículas que describe su comportamiento bajo la operación de simetría de conjugación de carga .

Conjugación de carga cambia el signo de todos los cargos cuántica (es decir, aditivos números cuánticos ), incluyendo la carga eléctrica , número bariónico y el número leptónico , y los gastos de sabor extraño , encanto , bottomness , topness y Isospin ( I ₃ ). Por el contrario, no afecta la masa , el momento lineal o el giro de una partícula.

Formalismo [ editar ]

Considerar una operacion $${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}que transforma una partícula en su antipartícula ,

$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \, | \ psi \ rangle = | {\ bar {\ psi}} \ rangle.}

Ambos estados deben ser normalizables, para que

$${\ displaystyle 1 = \ langle \ psi | \ psi \ rangle = \ langle {\ bar {\ psi}} | {\ bar {\ psi}} \ rangle = \ langle \ psi | {\ mathcal {C}} ^ {\ dagger} {\ mathcal {C}} | \ psi \ rangle,}

lo que implica que $${\ displaystyle {\ mathcal {C}}} es unitario,

$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} {\ mathcal {C}} ^ {\ dagger} = \ mathbf {1}.}

Al actuar sobre la partícula dos veces con la $${\ displaystyle {\ mathcal {C}}} operador,

$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2} | \ psi \ rangle = {\ mathcal {C}} | {\ bar {\ psi}} \ rangle = | \ psi \ rangle,}

vemos eso $${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2} = \ mathbf {1}} y $${\ displaystyle {\ mathcal {C}} = {\ mathcal {C}} ^ {- 1}}. Poniendo todo esto junto, vemos que

$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} = {\ mathcal {C}} ^ {\ dagger},}

lo que significa que el operador de conjugación de carga es hermitiano y, por lo tanto, una cantidad físicamente observable.

Valores propios [ editar ]

Para los estados propios de la conjugación de carga,

$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \, | \ psi \ rangle = \ eta _ {C} \, | {\ psi} \ rangle}.

Como con las transformaciones de paridad , aplicando$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}} dos veces debe dejar el estado de la partícula sin cambios,

$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2} | \ psi \ rangle = \ eta _ {C} {\ mathcal {C}} | {\ psi} \ rangle = \ eta _ {C} ^ {2 } | \ psi \ rangle = | \ psi \ rangle}

permitiendo solo valores propios de $${\ displaystyle \ eta _ {C} = \ pm 1}la llamada paridad C o paridad de carga de la partícula.

Estados propios [ editar ]

Lo anterior implica que $${\ displaystyle {\ mathcal {C}} | \ psi \ rangle} y $${\ displaystyle | \ psi \ rangle}tienen exactamente las mismas cargas cuánticas, por lo que solo los sistemas verdaderamente neutros (aquellos en los que todas las cargas cuánticas y el momento magnético son cero) son estados propios de la paridad de carga, es decir, los estados unidos de fotones y partículas-antipartículas como el pión neutral, η o positronio.

Sistemas multipartículas [ editar ]

Para un sistema de partículas libres, la paridad C es el producto de paridades C para cada partícula.

En un par de mesones unidos hay un componente adicional debido al momento angular orbital. Por ejemplo, en un estado enlazado de dos piones , π ⁺ π ^- con un momento angular orbital L , el intercambio de π ⁺ y π ^- invierte el vector de posición relativa, que es idéntico a una operación de paridad . En virtud de esta operación, la parte angular de la función de onda espacial contribuye un factor de fase de (-1) ^L , donde L es el número de impulso cuántico angular asociado con L .

$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \, | \ pi ^ {+} \, \ pi ^ {-} \ rangle = (- 1) ^ {L} \, | \ pi ^ {+} \, \ pi ^ {-} \ rangle}.

Con un sistema de dos fermiones , aparecen dos factores adicionales: uno proviene de la parte de giro de la función de onda y el segundo del intercambio de un fermión por su antifermión.

$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \, | f \, {\ bar {f}} \ rangle = (- 1) ^ {L} (- 1) ^ {S + 1} (- 1) \, | f \, {\ bar {f}} \ rangle = (- 1) ^ {L + S} \, | f \, {\ bar {f}} \ rangle}

Los estados enlazados se pueden describir con la notación espectroscópica ^{2 S + 1} L _J (ver símbolo de término ), donde S es el número cuántico de giro total, L el número cuántico de momento orbital total y J el número cuántico de momento angular total . Ejemplo: el positronio es un electrón de estado unido - positrón similar a un átomo de hidrógeno . El parapositronium y ortopositronium corresponden a los estados ¹ S ₀y ³ S ₁ .

• Con S = 0 los giros son anti-paralelos, y con S = 1 son paralelos. Esto da una multiplicidad (2 S +1) de 1 o 3, respectivamente
• El número cuántico del momento angular orbital total es L = 0 (S, en notación espectroscópica)
• El número cuántico de momento angular total es J = 0, 1
• Paridad C η _C = (−1) ^L + S = +1, −1, respectivamente. Como la paridad de carga se conserva, la aniquilación de estos estados en fotones ( η _C (γ) = −1) debe ser:

	1 S 0	→	γ + γ		3 S 1	→	γ + γ + γ
η C :	+1	=	(−1) × (−1)		−1	=	(−1) × (−1) × (−1)

Pruebas experimentales de conservación de la paridad C [ editar ]

• $${\ displaystyle \ pi ^ {0} \ rightarrow 3 \ gamma}: El pion neutral, $${\ displaystyle \ pi ^ {0}}, se observa que decae a dos fotones, γ + γ. Podemos inferir que el pion por lo tanto tiene$${\ displaystyle \ eta _ {C} = (- 1) ^ {2} = 1}, pero cada γ adicional introduce un factor de -1 a la paridad C general del pión. La desintegración a 3γ violaría la conservación de la paridad C Se realizó una búsqueda de esta descomposición ^[1] utilizando piones creados en la reacción.$${\ displaystyle \ pi ^ {-} + p \ rightarrow \ pi ^ {0} + n}.
• $${\ displaystyle \ eta \ rightarrow \ pi ^ {+} \ pi ^ {-} \ pi ^ {0}}: ^[2] Desintegración del mesón Eta .
• $${\ displaystyle p {\ bar {p}}}aniquilaciones .

 Número C (o número C) es una antigua nomenclatura utilizada por Paul Dirac que se refiere a números reales y complejos . Se utiliza para distinguir de los operadores ( números q o números cuánticos) en la mecánica cuántica .

Aunque los c-números están conmutando, el término anti-conmutar c-número también se usa para referirse a un tipo de números antirremolques que están matemáticamente descritos por los números de Grassmann . El término también se usa para referirse únicamente a los "números de conmutación" en al menos un libro de texto principal. ^[1]

No debe confundirse con el valor C , que es la masa de ADN en un genoma.

La conjetura de Calogero ^[1] es una interpretación minoritaria de la mecánica cuántica . Es una cuantificación explicación que implica la mecánica cuántica , fue establecido originalmente en 1997 y más republicado en 2004 ^[2] [3] por Francesco Calogero que sugiere el campo de fondo estocástico clásica a la que Edward Nelson atributos de comportamiento mecánico cuántico en su teoría de la cuantificación estocástico es una fluctuando espacio-tiempo, y que hay más relaciones matemáticas entre las cantidades involucradas.

La hipótesis en sí misma sugiere que si el momento angular asociado con un temblor estocástico ^[3] con coherencia espacial proporciona una acción supuesta por ese movimiento en el orden de magnitud de la constante de Planck ^[3], entonces el orden de magnitud del momento angular asociado tiene el mismo valor ^{[3] El} propio Calogero sugiere ^[3] que estos hallazgos, originalmente basados ​​en el modelo simplificado del universo ^[3] "se ven afectados (y esencialmente, no se ven afectados) por la posible presencia en la masa del Universo de un gran componente compuesto De partículas mucho más ligeras que los nucleones ". ^[3]

Esencialmente, la relación explicada por Calogero se puede expresar con las fórmulas:

$${\ displaystyle h \ approx \ alpha G ^ {1/2} m ^ {3/2} [R (t)] ^ {1/2}.}

Además:

$${\ displaystyle h \ equiv h (t) = A {\ sqrt {R (t)}} = h_ {0} {\ sqrt {a (t)}}} Const g, m

Dónde:

$${\ displaystyle G}representa la constante gravitacional

$${\ displaystyle m} representa la masa de un átomo de hidrógeno.

$${\ displaystyle R (t)} representa el radio del universo accesible por las interacciones gravitacionales en el tiempo, t.

$${\ displaystyle A} Es una constante dimensional.

A pesar de su descripción común, se ha observado que la conjetura no está del todo definida dentro de los dominios de la mecánica estocástica de Nelson, sino que también se puede considerar como un medio para investigar los efectos estadísticos de la interacción con masas distantes en el universo y se esperaba. por el mismo Calogero ^[1] para estar en el mismo orden de magnitud que los efectos mecánicos cuánticos.

Compatibilidad con constantes fundamentales [ editar ]

Después de la publicación del artículo original de Calogero, "[El] [c] origen de cuantización ósmico", Giuseppe Gaeta de la Universidad de Roma ^[1] publicó una respuesta en la que habló sobre la compatibilidad de la conjetura con los límites actuales de variación de constantes fundamentales, pero también describió su enfoque en la modificación de la relación entre el desplazamiento al rojo y la distancia, ^[1] y de las estimaciones obtenidas a partir de las observaciones del tiempo transcurrido a partir de la producción de radiación cósmica y sus implicaciones ^[1], ambas relacionadas también con La distribución observada de cuerpo negro de la radiación cósmica de fondo.

 la relación de conmutación canónica es la relación fundamental entre lascantidades conjugadas canónicas (cantidades que están relacionadas por definición de manera que una es la transformada de Fourier de otra). Por ejemplo,

$${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} _ {x}] = i \ hbar}

entre el operador de posición x y el operador de momento p _x en la dirección x de una partícula puntual en una dimensión, donde [ x , p _x ] = x p _x - p _x x es el conmutador de x y p _x  , i es el imaginario unidad , y ℏ es la constante de Planck reducida h / 2π . En general, la posición y el momento son vectores de operadores y su relación de conmutación entre los diferentes componentes de la posición y el momento se puede expresar como

$${\ displaystyle [{\ hat {r}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j}] = i \ hbar \ delta _ {ij}.}

dónde $${\ displaystyle \ delta _ {ij}}es el delta de Kronecker .

Esta relación se atribuye a Max Born (1925), ^[1] que lo llamó una "condición cuántica" que sirve como un postulado de la teoría; E. Kennard (1927) ^[2] señaló que implicaba el principio de incertidumbre de Heisenberg . El teorema de Stone-von Neumann da un resultado único para los operadores que satisfacen (una forma exponencial de) la relación de conmutación canónica.

Relación con la mecánica clásica [ editar ]

Por el contrario, en física clásica , todos los observables se desplazan y el conmutador sería cero. Sin embargo, existe una relación análoga, que se obtiene al reemplazar el conmutador con el soporte de Poisson multiplicado por i ℏ :

$${\ displaystyle \ {x, p \} = 1 \ ,.}

Esta observación llevó a Dirac a proponer que las contrapartes cuánticas f̂ , ĝ de los observables clásicos f , gsatisfacen

$${\ displaystyle [{\ hat {f}}, {\ hat {g}}] = i \ hbar {\ widehat {\ {f, g \}}} \ ,.}

En 1946, Hip Groenewold demostró que una correspondencia sistemática general entre los conmutadores cuánticos y los soportes de Poisson no podía sostenerse de manera consistente. ^[3] [4] Sin embargo, apreciaba que tal correspondencia sistemática existe, de hecho, entre el conmutador cuántico y una deformación del soporte de Poisson, el soporte Moyal y, en general, los operadores cuánticos y los observables y distribuciones clásicos. en fase de espacio . De este modo, finalmente elucidó el mecanismo de correspondencia, la transformada de Wigner-Weyl , que subyace a una representación matemática equivalente alternativa de la mecánica cuántica conocida comoCuantización de la deformación . ^[3]

Las relaciones Weyl [ editar ]

El grupo $${\ displaystyle H_ {3} (\ mathbb {R})}generada por la exponenciación del álgebra de Lie tridimensional determinada por la relación de conmutación$${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = i \ hbar}Se llama el grupo Heisenberg . Este grupo se puede realizar como el grupo de$${\ displaystyle 3 \ times 3}Matrices triangulares superiores con unas en diagonal. ^[5]

De acuerdo con la formulación matemática estándar de la mecánica cuántica, los observables cuánticos tales como$${\ displaystyle {\ hat {x}}} y $${\ displaystyle {\ hat {p}}}deben representarse como operadores autoadjuntos en algún espacio de Hilbert . Es relativamente fácil ver que dos operadores que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas anteriores no pueden ser limitados . Ciertamente si$${\ displaystyle {\ hat {x}}} y $${\ displaystyle {\ hat {p}}}eran operadores de clase traza, la relación$${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (AB) = \ operatorname {Tr} (BA)} da un número distinto de cero a la derecha y cero a la izquierda.

Alternativamente, si $${\ displaystyle {\ hat {x}}} y $${\ displaystyle {\ hat {p}}} fueron operadores limitados, tenga en cuenta que $${\ displaystyle [{\ hat {x}} ^ {n}, {\ hat {p}}] = i \ hbar n {\ hat {x}} ^ {n-1}}, por lo tanto las normas del operador cumplirían

$${\ displaystyle 2 \ left \ | {\ hat {p}} \ right \ | \ left \ | {\ hat {x}} \ right \ | ^ {n} \ geq n \ hbar \ left \ | {\ hat {x}} \ right \ | ^ {n-1}}, para que, para cualquier n ,

$${\ displaystyle 2 \ left \ | {\ hat {p}} \ right \ | \ left \ | {\ hat {x}} \ right \ | \ geq n \ hbar}

Sin embargo, n puede ser arbitrariamente grande, por lo que al menos un operador no puede estar limitado, y la dimensión del espacio de Hilbert subyacente no puede ser finita. Si los operadores satisfacen las relaciones de Weyl (una versión exponencial de las relaciones de conmutación canónicas, que se describen a continuación), entonces como consecuencia del teorema de Stone-von Neumann , ambos operadores deben ser ilimitados.

Aún así, estas relaciones de conmutación canónicas se pueden convertir de alguna manera en un "domador" al escribirlas en términos de los operadores unitarios (limitados) $${\ displaystyle \ mathrm {exp} (it {\ hat {x}})} y $${\ displaystyle \ mathrm {exp} (is {\ hat {p}})}. Las relaciones de trenzado resultantes para estos operadores son las llamadas relaciones de Weyl.

$${\ displaystyle \ mathrm {exp} (it {\ hat {x}}) \ mathrm {exp} (is {\ hat {p}}) = \ mathrm {exp} (-ist \ hbar) \ mathrm {exp} (is {\ hat {p}}) \ mathrm {exp} (it {\ hat {x}})}.

Estas relaciones pueden considerarse como una versión exponencial de las relaciones de conmutación canónicas; reflejan que las traducciones en la posición y las traducciones en el momento no se conmutan. Uno puede reformular fácilmente las relaciones de Weyl en términos de las representaciones del grupo de Heisenberg.

La unicidad de las relaciones de conmutación canónicas, en la forma de las relaciones de Weyl, queda garantizada por el teorema de Stone-von Neumann .

Es importante tener en cuenta que, por razones técnicas, las relaciones de Weyl no son estrictamente equivalentes a la relación de conmutación canónica. $${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = i \ hbar}. Si$${\ displaystyle {\ hat {x}}} y $${\ displaystyle {\ hat {p}}}eran operadores limitados, entonces un caso especial de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff permitiría a uno "exponenciar" las relaciones de conmutación canónicas a las relaciones de Weyl. ^[6] Dado que, como hemos señalado, cualquier operador que satisfaga las relaciones de conmutación canónicas debe ser ilimitado, la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff no se aplica sin supuestos de dominio adicionales. De hecho, existen contraejemplos que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas pero no las relaciones de Weyl. ^[7] (Estos mismos operadores dan un contraejemplo a la forma ingenua del principio de incertidumbre). Estas cuestiones técnicas son la razón por la que el teorema de Stone-von Neumann está formulado en términos de las relaciones de Weyl.

Una versión discreta de las relaciones de Weyl, en la que los parámetros s y t se extienden a lo largo de$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n}, se puede realizar en un espacio de Hilbert de dimensión finita mediante las matrices de reloj y desplazamiento .

Generalizaciones [ editar ]

La formula simple

$${\ displaystyle [x, p] = i \ hbar, \,}

Válido para la cuantización del sistema clásico más simple, se puede generalizar al caso de un Lagrangianoarbitrario. $${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}. ^[8] Identificamos las coordenadas canónicas (como x en el ejemplo anterior, o un campo Φ ( x ) en el caso de la teoría cuántica de campos ) y los momentos canónicos π _x (en el ejemplo anterior es p , o más generalmente, algunos Funciones que involucran las derivadas de las coordenadas canónicas con respecto al tiempo):

$${\ displaystyle \ pi _ {i} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ partial {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial x_ {i} / \ parcial t)}}.}

Esta definición del momento canónico asegura que una de las ecuaciones de Euler-Lagrange tenga la forma

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ pi _ {i} = {\ frac {\ parcial {\ parcial {L}}} {\ parcial x_ {i}}}.}

Las relaciones de conmutación canónicas ascienden entonces a

$${\ displaystyle [x_ {i}, \ pi _ {j}] = i \ hbar \ delta _ {ij}, \,}

donde δ _ij es el delta de Kronecker .

Además, se puede demostrar fácilmente que

$${\ displaystyle [F ({\ vec {x}}), p_ {i}] = i \ hbar {\ frac {\ partial F ({\ vec {x}})} {\ partial x_ {i}}} ; \ qquad [x_ {i}, F ({\ vec {p}})] = i \ hbar {\ frac {\ partial F ({\ vec {p}})} {\ partial p_ {i}}} .}

Utilizando $${\ displaystyle C_ {n + 1} ^ {k} = C_ {n} ^ {k} + C_ {n} ^ {k-1}}, se puede demostrar fácilmente que por inducción matemática

$${\ displaystyle \ left [{\ hat {x}} ^ {n}, {\ hat {p}} ^ {m} \ right] = \ sum _ {k = 1} ^ {min \ left (m, n \ right)} {{\ frac {- \ left (-i \ hbar \ right) ^ {k} n! ​​m!} {k! \ left (nk \ right)! \ left (mk \ right)!}} {\ hat {x}} ^ {nk} {\ hat {p}} ^ {mk}} = \ sum _ {k = 1} ^ {min \ left (m, n \ right)} {{\ frac { \ left (i \ hbar \ right) ^ {k} n! ​​m!} {k! \ left (nk \ right)! \ left (mk \ right)!}} {\ hat {p}} ^ {mk} {\ hat {x}} ^ {nk}}}

Invarianza gauge [ editar ]

La cuantización canónica se aplica, por definición, sobre coordenadas canónicas . Sin embargo, en presencia de un campo electromagnético , el ímpetu canónico p no es invariante del indicador . El impulso calibre-invariante correcto (o "impulso cinético") es

$${\ displaystyle p _ {\ text {kin}} = p-qA \, \!}   ( Unidades SI )      $${\ displaystyle p _ {\ text {kin}} = p - {\ frac {qA} {c}} \, \!}   ( unidades cgs ),

donde q es la carga eléctrica de la partícula , A es el potencial vectorial y c es la velocidad de la luz . Si bien la cantidad p _kin es el "momento físico", ya que es la cantidad que debe identificarse con el momento en experimentos de laboratorio, no satisface las relaciones de conmutación canónicas; solo el impulso canónico hace eso. Esto puede verse como sigue.

El hamiltoniano no relativista para una partícula cargada cuantificada de masa m en un campo electromagnético clásico es (en unidades cgs)

$${\ displaystyle H = {\ frac {1} {2m}} \ left (p - {\ frac {qA} {c}} \ right) ^ {2} + q \ phi}

donde A es el potencial de tres vectores y φ es el potencial escalar . Esta forma del hamiltoniano, así como la ecuación de Schrödinger Hψ = iħ∂ψ / ∂t , las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz son invariantes bajo la transformación de calibre

$${\ displaystyle A \ to A ^ {\ prime} = A + \ nabla \ Lambda}

$${\ displaystyle \ phi \ to \ phi ^ {\ prime} = \ phi - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ Lambda} {\ partial t}}}

$${\ displaystyle \ psi \ to \ psi ^ {\ prime} = U \ psi}

$${\ displaystyle H \ to H ^ {\ prime} = UHU ^ {\ dagger},}

dónde

$${\ displaystyle U = \ exp \ left ({\ frac {iq \ Lambda} {\ hbar c}} \ right)}

y Λ = Λ (x, t) es la función del indicador.

El operador de momento angular es

$${\ displaystyle L = r \ times p \, \!}

Y obedece a las relaciones de cuantización canónicas.

$${\ displaystyle [L_ {i}, L_ {j}] = i \ hbar {\ epsilon _ {ijk}} L_ {k}}

definiendo el álgebra de Lie para so (3) , donde$${\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}Es el símbolo de Levi-Civita . Transformaciones de bajo calibre, el momento angular se transforma como

$${\ displaystyle \ langle \ psi \ vert L \ vert \ psi \ rangle \ to \ langle \ psi ^ {\ prime} \ vert L ^ {\ prime} \ vert \ psi ^ {\ prime} \ rangle = \ langle \ psi \ vert L \ vert \ psi \ rangle + {\ frac {q} {\ hbar c}} \ langle \ psi \ vert r \ times \ nabla \ Lambda \ vert \ psi \ rangle \ ,.}

El momento angular invariante gauge (o "momento angular cinético") está dado por

$${\ displaystyle K = r \ times \ left (p - {\ frac {qA} {c}} \ derecha),}

que tiene las relaciones de conmutación

$${\ displaystyle [K_ {i}, K_ {j}] = i \ hbar {\ epsilon _ {ij}} ^ {\, k} \ left (K_ {k} + {\ frac {q \ hbar} {c }} x_ {k} \ left (x \ cdot B \ right) \ right)}

dónde

$${\ displaystyle B = \ nabla \ times A}

Es el campo magnético . La desigualdad de estas dos formulaciones se muestra en el efecto Zeeman y el efecto Aharonov-Bohm .

Relación de incertidumbre y conmutadores [ editar ]

Todas estas relaciones de conmutación no triviales para pares de operadores conducen a las correspondientes relaciones de incertidumbre , ^{[9] que} implican contribuciones de expectativa semi-definidas positivas por sus respectivos conmutadores y anticonmutadores. En general, para dos hermitianos A y B , considere valores esperados en un sistema en el estado ψ , las varianzas en torno a los valores correspondientes de expectativas siendo (Δ A ) ² ≡ ⟨( A - ⟨ A ⟩) ² ⟩ , etc.

Entonces

$${\ displaystyle \ Delta A \, \ Delta B \ geq {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ left | \ left \ langle \ left [{A}, {B} \ right] \ right \ rangle \ right | ^ {2} + \ left | \ left \ langle \ left \ {A- \ langle A \ rangle, B- \ langle B \ rangle \ right \} \ right \ rangle \ right | ^ {2} }},}

donde [ A ,  B ] ≡ A B - B A es el conmutador de A y B , y { A ,  B } ≡ A B + B A es el anticambutador .

Esto sigue a través del uso de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , ya | ⟨ A ² ⟩ | | ⟨ B ² ⟩ | ≥ | ⟨ A B ⟩ | ² , y A B = ([ A ,  B ] + { A ,  B }) / 2  ; y de manera similar para los operadores desplazado Un - ⟨ Un ⟩ y B - ⟨ B ⟩ . (Cf. Derivaciones del principio de incertidumbre .)

Sustituyendo a A y B (y cuidando con el análisis) se obtiene la relación de incertidumbre familiar de Heisenberg para x y p , como de costumbre.

Relación de incertidumbre para operadores de momento angular [ editar ]

Para los operadores de momento angular L _x = y p _z - z p _y , etc., uno tiene que

$${\ displaystyle [{L_ {x}}, {L_ {y}}] = i \ hbar \ epsilon _ {xyz} {L_ {z}},}

dónde $${\ displaystyle \ epsilon _ {xyz}}es el símbolo de Levi-Civita y simplemente invierte el signo de la respuesta en el intercambio por pares de los índices. Una relación análoga es válida para los operadores de giro .

Aquí, para L _x y L _y  , ^[9] en multipletes de momento angular ψ = | ℓ , m ⟩ , uno tiene, para los componentes transversales del Casimir invariante L _x ² + L _Y ² + L _z ² , el z relaciones -symmetric

⟨ L _x ² ⟩ = ⟨ L _y ² ⟩ = ( ℓ  ( ℓ + 1) - m ² ) ℏ ² /2  ,

así como ⟨ L _x ⟩ = ⟨ L _y ⟩ = 0  .

En consecuencia, la desigualdad anterior aplicada a esta relación de conmutación especifica

$${\ displaystyle \ Delta L_ {x} \ Delta L_ {y} \ geq {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ hbar ^ {2} | \ langle L_ {z} \ rangle | ^ {2 }}} ~,}

por lo tanto

$${\ displaystyle {\ sqrt {| \ langle L_ {x} ^ {2} \ rangle \ langle L_ {y} ^ {2} \ rangle |}} \ geq {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 }}metro}

y por lo tanto

$${\ displaystyle \ ell (\ ell +1) -m ^ {2} \ geq m ~,}

así, entonces, produce restricciones útiles tales como un límite inferior en el invariante de Casimir : ℓ  ( ℓ + 1) ≥ m  ( m + 1) , y por lo tanto ℓ ≥ m , entre otras.