MECÁNICA CUÁNTICA

La ecuación de Breit es una ecuación de onda relativista derivada por Gregory Breit en 1929 basada en la ecuación de Dirac , que describe formalmente dos o más partículas de espín masivo -1/2 ( electrones , por ejemplo) que interactúan electromagnéticamente al primer orden en la teoría de la perturbación . Tiene en cuenta las interacciones magnéticas y los efectos de retardo del orden de 1 / c ² . Cuando otros efectos electrodinámicos cuánticos son insignificantes, se ha demostrado que esta ecuación da resultados en buena concordancia con el experimento. Originalmente se derivó de Darwin Lagrangian pero luego fue reivindicado por elLa teoría del absorbente de Wheeler-Feynman y, finalmente, la electrodinámica cuántica .

Introducción [ editar ]

La ecuación de Breit no solo es una aproximación en términos de mecánica cuántica , sino también en términos de teoría de la relatividad, ya que no es completamente invariante con respecto a la transformación de Lorentz . Al igual que la ecuación de Dirac , trata los núcleos como fuentes puntuales de un campo externo para las partículas que describe. Para N partículas, la ecuación de Breit tiene la forma ( r _ij es la distancia entre la partícula i y j ):

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} = \ left (\ sum _ {i} {\ hat {H}} _ {D} (i) + \ sum _ { i> j} {\ frac {1} {r_ {ij}}} - \ sum _ {i> j} {\ hat {B}} _ {ij} \ right) \ Psi}

dónde

${\displaystyle {\hat {H}}_{D}(i)=\left[q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})+c\sum _{s=x,y,z}\alpha _{s}(i)\pi _{s}(I)+\alpha _{0}(I)m_{0}c^{2}\right]}$

es el Hamiltoniano de Dirac (vea la ecuación de Dirac ) para la partícula i en la posición r _i y φ ( r _i ) es el potencial escalar en esa posición; q _i es la carga de la partícula, por lo tanto para los electrones q _i = - e . Los Hamiltonianos de Dirac de un electrón de las partículas, junto con sus interacciones instantáneas de Coulomb 1 / r _ij , forman el operador Dirac-Coulomb . A esto, Breit agregó el operador (ahora conocido como el operador Breit (independiente de la frecuencia) ):

$${\ displaystyle {\ hat {B}} _ {ij} = - {\ frac {1} {2r_ {ij}}} \ left [\ mathbf {a} (i) \ cdot \ mathbf {a} (j) + {\ frac {\ left (\ mathbf {a} (i) \ cdot \ mathbf {r} _ {ij} \ right) \ left (\ mathbf {a} (j) \ cdot \ mathbf {r} _ { ij} \ right)} {r_ {ij} ^ {2}}} \ right]},

donde las matrices de Dirac para el electrón i : a ( i ) = [α _x ( i ), α _y ( i ), α _z ( i )]. Los dos términos en el operador Breit dan cuenta de los efectos de retardo al primer pedido. La función de onda Ψ en la ecuación de Breit es un espinor con elementos 4 ^N , ya que cada electrón está descrita por un bispinor de Dirac con 4 elementos como en la ecuación de Dirac , y la función de onda total es el producto tensorial de estos.

Breit Hamiltonians [ editar ]

El Hamiltoniano total de la ecuación de Breit, a veces llamado Dirac-Coulomb-Breit Hamiltonian ( H _DCB ) se puede descomponer en los siguientes operadores de energía prácticos para electrones en campos eléctricos y magnéticos (también llamado Breit-Pauli Hamiltonian ) ^[1] , que tienen significados bien definidos en la interacción de moléculas con campos magnéticos (por ejemplo, para resonancia magnética nuclear ):

$${\ displaystyle {\ hat {B}} _ {ij} = {\ hat {H}} _ {0} + {\ hat {H}} _ {1} + ... + {\ hat {H}} _ {6}},

en el que los operadores parciales consecutivos son:

• $${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {0} = \ sum _ {i} {\ frac {{\ hat {p}} _ {i} ^ {2}} {2m_ {i}}} + V } es el hamiltoniano no relativista ($${\ displaystyle m_ {i}}Es la masa estacionaria de la partícula i ).
• $${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {1} = - {\ frac {1} {8c ^ {2}}} \ sum _ {i} {\ frac {{\ hat {p}} _ {i } ^ {4}} {m_ {i} ^ {3}}}} Está conectado a la dependencia de la masa en la velocidad: $${\ displaystyle E_ {kin} ^ {2} - \ left (m_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2} = m ^ {2} v ^ {2} c ^ {2}}.
• {\ displaystyle {\ hat {H}} _ {2} = - \ sum _ {i> j} {\ frac {q_ {i} q_ {j}} {2r_ {ij} m_ {i} m_ {j} c ^ {2}}} \ left [\ mathbf {\ hat {p}} _ {i} \ cdot \ mathbf {\ hat {p}} _ {j} + {\ frac {(\ mathbf {r_ {ij }} \ cdot \ mathbf {\ hat {p}} _ {i}) (\ mathbf {r_ {ij}} \ cdot \ mathbf {\ hat {p}} _ {j})} {r_ {ij} ^ {2}}} \ right]}es una corrección que en parte explica el retraso y puede describirse como la interacción entre los momentos dipolares magnéticos de las partículas, que surgen del movimiento orbital de las cargas (también llamada interacción órbita-órbita ).
• {\ displaystyle {\ hat {H}} _ {3} = {\ frac {\ mu _ {B}} {c}} \ sum _ {i} {\ frac {1} {m_ {i}}} \ mathbf {s} _ {i} \ cdot \ left [\ mathbf {F} (\ mathbf {r} _ {i}) \ times \ mathbf {\ hat {p}} _ {i} + \ sum _ {j > i} {\ frac {2q_ {i}} {r_ {ij} ^ {3}}} \ mathbf {r} _ {ij} \ times \ mathbf {\ hat {p}} _ {j} \ right] }Es la interacción clásica entre los momentos magnéticos orbitales (a partir del movimiento orbital de la carga) y los momentos magnéticos de espín (también llamados interacción espín-órbita ). El primer término describe la interacción del giro de una partícula con su propio momento orbital ( F ( r _i ) es el campo eléctrico en la posición de la partícula), y el segundo término entre dos partículas diferentes.
• $${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {4} = {\ frac {ih} {8 \ pi c ^ {2}}} \ sum _ {i} {\ frac {q_ {i}} {m_ { i} ^ {2}}} \ mathbf {\ hat {p}} _ {i} \ cdot \ mathbf {F} (\ mathbf {r} _ {i})}es un término no clásico característico de la teoría de Dirac, a veces llamado el término de Darwin .
• {\ displaystyle {\ hat {H}} _ {5} = 4 \ mu _ {B} ^ {2} \ sum _ {i> j} \ left \ lbrace - {\ frac {8 \ pi} {3} } (\ mathbf {s} _ {i} \ cdot \ mathbf {s} _ {j}) \ delta (\ mathbf {r} _ {ij}) + {\ frac {1} {r_ {ij} ^ { 3}}} \ left [\ mathbf {s} _ {i} \ cdot \ mathbf {s} _ {j} - {\ frac {3 (\ mathbf {s} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {ij}) (\ mathbf {s} _ {j} \ cdot \ mathbf {r} _ {ij})} {r_ {ij} ^ {2}}} \ right] \ right \ rbrace}Es el momento magnético de la interacción spin-spin . El primer término se llama interacción de contacto , porque es distinto de cero solo cuando las partículas están en la misma posición; El segundo término es la interacción del tipo dipolo-dipolo clásico.
• $${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {6} = 2 \ mu _ {B} \ sum _ {i} \ left [\ mathbf {H} (\ mathbf {r} _ {i}) \ cdot \ mathbf {s} _ {i} + {\ frac {q_ {i}} {m_ {i} c}} \ mathbf {A} (\ mathbf {r} _ {i}) \ cdot \ mathbf {\ hat { p}} _ {i} \ right]}es la interacción entre giro y momentos magnéticos orbitales con un campo magnético externo H .

dónde: {\ displaystyle V = \ sum _ {i> j} {\ frac {q_ {i} q_ {j}} {r_ {ij}}}} y $${\ displaystyle \ mu _ {B} = {\ frac {e \ hbar} {2mc}}}

 la métrica de Bures (nombrada después de Donald Bures) ^[1] o la métrica de Helstrom (nombrada después de Carl W. Helstrom ) ^[2] define una distancia infinitesimal entre los operadores de la matriz de densidad que definen los estados cuánticos . Es una generalización cuántica de la métrica de información de Fisher , y es idéntica a la métrica de estudio de Fubini ^[3]cuando se restringe solo a los estados puros.

Definición [ editar ]

La métrica se puede definir como

$${\ displaystyle [d (\ rho, \ rho + d \ rho)] ^ {2} = {\ frac {1} {2}} {\ mbox {tr}} (d \ rho G),}^{[ aclaración necesaria ]}

dónde $${\ displaystyle G} es el operador Hermitian 1-form dado implícitamente por

$${\ displaystyle \ rho G + G \ rho = d \ rho,}

que es un caso especial de una ecuación de Lyapunov continua .

Algunas de las aplicaciones de la métrica de Bures incluyen que, dado un error objetivo, permite el cálculo del número mínimo de mediciones para distinguir dos estados diferentes ^[4] y el uso del elemento de volumen como candidato para la densidad de probabilidad previa de Jeffreys ^{[ 5]} para estados cuánticos mixtos.

Bures distancia [ editar ]

La distancia de Bures es la versión finita de la distancia cuadrada infinitesimal descrita anteriormente y está dada por

$${\ displaystyle D_ {B} (\ rho _ {1}, \ rho _ {2}) ^ {2} = 2 (1 - {\ sqrt {F (\ rho _ {1}, \ rho _ {2} )}}),}

donde la función de fidelidad se define como ^[6]

$${\ displaystyle F (\ rho _ {1}, \ rho _ {2}) = \ left [{\ mbox {tr}} ({\ sqrt {{\ sqrt {\ rho _ {1}}} \ rho _ {2} {\ sqrt {\ rho _ {1}}}}} \ right] ^ {2}.}

Otra función asociada es el arco de Bures, también conocido como ángulo de Bures, longitud de Bures o ángulo cuántico , definido como

$${\ displaystyle D_ {A} (\ rho _ {1}, \ rho _ {2}) = \ arccos {\ sqrt {F (\ rho _ {1}, \ rho _ {2})}},}

que es una medida de la distancia estadística ^[7] entre estados cuánticos.

Información de Quantum Fisher [ editar ]

La métrica de Bures se puede ver como el equivalente cuántico de la métrica de información de Fisher y se puede reescribir en términos de la variación de los parámetros de coordenadas como

$${\ displaystyle [d (\ rho, \ rho + d \ rho)] ^ {2} = {\ frac {1} {2}} {\ mbox {tr}} \ left ({\ frac {d \ rho} {d \ theta ^ {\ mu}}} L _ {\ nu} \ right) d \ theta ^ {\ mu} d \ theta ^ {\ nu},}

que se mantiene mientras $${\ displaystyle \ rho} y $${\ displaystyle \ rho + d \ rho}tienen el mismo rango. En los casos en que no tienen el mismo rango, hay un término adicional en el lado derecho. ^[8] $${\ displaystyle L _ {\ mu}}es el operador derivado logarítmico simétrico (SLD) definido de ^[9]

$${\ displaystyle {\ frac {\ rho L _ {\ mu} + L _ {\ mu} \ rho} {2}} = {\ frac {d \ rho ^ {\,}} {d \ theta ^ {\ mu} }}.}

De esta manera, uno tiene

$${\ displaystyle [d (\ rho, \ rho + d \ rho)] ^ {2} = {\ frac {1} {2}} {\ mbox {tr}} \ left [\ rho {\ frac {L_ { \ mu} L _ {\ nu} + L _ {\ nu} L _ {\ mu}} {2}} \ right] d \ theta ^ {\ mu} d \ theta ^ {\ nu},}

donde la métrica de Fisher cuántica (componentes tensoriales) se identifica como

$${\ displaystyle J _ {\ mu \ nu} = {\ mbox {tr}} \ left [\ rho {\ frac {L _ {\ mu} L _ {\ nu} + L _ {\ nu} L _ {\ mu}} { 2}} \ derecha].}

La definición de la SLD implica que la métrica de Fisher cuántica es 4 veces la métrica de Bures. En otras palabras, dado que$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}} son componentes del tensor métrico de Bures, uno tiene

$${\ displaystyle J _ {\ mu \ nu} ^ {} = 4g _ {\ mu \ nu}.}

Como sucede con la métrica de información de Fisher clásica, la métrica de Fisher cuántica se puede usar para encontrar el límite de Cvarro-Rao de la covarianza .

Fórmulas explícitas [ editar ]

El cálculo real de la métrica de Bures no es evidente a partir de la definición, por lo tanto, algunas fórmulas se desarrollaron para ese propósito. Para sistemas 2x2 y 3x3, respectivamente, la forma cuadrática de la métrica de Bures se calcula como ^[10]

$${\ displaystyle [d (\ rho, \ rho + d \ rho)] ^ {2} = {\ frac {1} {4}} {\ mbox {tr}} \ left [d \ rho d \ rho + { \ frac {1} {\ det (\ rho)}} (\ mathbf {1} - \ rho) d \ rho (\ mathbf {1} - \ rho) d \ rho \ right],}

$${\ displaystyle [d (\ rho, \ rho + d \ rho)] ^ {2} = {\ frac {1} {4}} {\ mbox {tr}} \ left [d \ rho d \ rho + { \ frac {3} {1 - {\ mbox {tr}} \ rho ^ {3}}} (\ mathbf {1} - \ rho) d \ rho (\ mathbf {1} - \ rho) d \ rho + {\ frac {3 \ det {\ rho}} {1 - {\ mbox {tr}} \ rho ^ {3}}} (\ mathbf {1} - \ rho ^ {- 1}) d \ rho (\ mathbf {1} - \ rho ^ {- 1}) d \ rho \ right].}

Para sistemas generales, la métrica de Bures se puede escribir en términos de los vectores y valores propios de la matriz de densidad. $${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ lambda _ {j} | j \ rangle \ langle j |}como ^[11] [12]

$${\ displaystyle [d (\ rho, \ rho + d \ rho)] ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ suma _ {j, k = 1} ^ {n} {\ frac { | \ langle j | d \ rho | k \ rangle | ^ {2}} {\ lambda _ {j} + \ lambda _ {k}}},}

como una integral, ^[13]

$${\ displaystyle [d (\ rho, \ rho + d \ rho)] ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ text {tr}} [e ^ {- \ rho t} d \ rho e ^ {- \ rho t} d \ rho] \ dt,}

o en términos de producto de Kronecker y vectorización , ^[14]

$${\ displaystyle [d (\ rho, \ rho + d \ rho)] ^ {2} = {\ frac {1} {2}} {\ text {vec}} [d \ rho] ^ {\ dagger} { \ big (} {\ overline {\ rho}} \ otimes \ mathbf {1} + \ mathbf {1} \ otimes \ rho {\ big)} ^ {- 1} {\ text {vec}} [d \ rho ]

donde la barra superior denota complejo conjugado , y$${\ displaystyle ^ {\ dagger}}Denota transposición conjugada .

Sistema de dos niveles [ editar ]

El estado de un sistema de dos niveles se puede parametrizar con tres variables como

$${\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {2}} (I + {\ boldsymbol {r \ cdot \ sigma}}),}

con $${\ displaystyle r ^ {2} {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} {\ boldsymbol {r \ cdot r}} \ leq 1}. Los componentes de la métrica de Bures en esta parametrización se pueden calcular como

$${\ displaystyle {\ mathsf {g}} = {\ frac {\ mathsf {I}} {4}} + {\ frac {\ boldsymbol {r \ otimes r}} {4 (1-r ^ {2}) }}}.

La medida de Bures se puede calcular tomando la raíz cuadrada del determinante para encontrar

$${\ displaystyle dV_ {B} = {\ frac {d ^ {3} {\ boldsymbol {r}}} {8 {\ sqrt {1-r ^ {2}}}}},}

que se puede utilizar para calcular el volumen de Bures como

$${\ displaystyle V_ {B} = \ iiint _ {r ^ {2} \ leq 1} {\ frac {d ^ {3} {\ boldsymbol {r}}} {8 {\ sqrt {1-r ^ {2 }}}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}}.}

el teorema de Byers-Yang establece que todas las propiedades físicas de un sistema doblemente conectado (un anillo) que encierra un flujo magnético$${\ displaystyle \ Phi} A través de la apertura son periódicos en el flujo con periodo. $${\ displaystyle \ Phi _ {0} = hc / e}(El flujo magnético cuántico ). El teorema fue declarado y probado por primera vez por Nina Byers y Chen-Ning Yang (1961), ^[1] y desarrollado posteriormente por Felix Bloch (1970). ^[2]

Prueba [ editar ]

Un flujo cerrado $${\ displaystyle \ Phi} corresponde a un vector potencial $${\ displaystyle A (r)} Dentro del anillo con una línea integral. $${\ displaystyle \ oint _ {C} A \ cdot dl = \ Phi} a lo largo de cualquier camino $${\ displaystyle C}que circula alrededor de una vez. Uno puede tratar de eliminar este potencial vectorial mediante la transformación del indicador.

$${\ displaystyle \ psi '(\ {r_ {n} \}) = \ exp \ left ({\ frac {ie} {\ hbar}} \ sum _ {j} \ chi (r_ {j}) \ right) \ psi (\ {r_ {n} \})}

de la función de onda $${\ displaystyle \ psi (\ {r_ {n} \})} de electrones en posiciones $${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, \ ldots}. La función de onda transformada por calibre satisface la misma ecuación de Schrödinger que la función de onda original, pero con un potencial vectorial magnético diferente $${\ displaystyle A '(r) = A (r) + \ nabla \ chi (r)}. Se supone que los electrones experimentan cero campo magnético.$${\ displaystyle B (r) = \ nabla \ times A (r) = 0} en todos los puntos $${\ displaystyle r}dentro del anillo, el campo es distinto de cero solo dentro de la abertura (donde no hay electrones). Entonces siempre es posible encontrar una función.$${\ displaystyle \ chi (r)} tal que $${\ displaystyle A '(r) = 0} dentro del anillo, por lo que se podría concluir que el sistema con flujo cerrado $${\ displaystyle \ Phi} Es equivalente a un sistema con cero flujo cerrado.

Sin embargo, para cualquier arbitrario $${\ displaystyle \ Phi} la función de onda transformada del medidor ya no tiene un solo valor: la fase de $${\ displaystyle \ psi '} cambios por

$${\ displaystyle \ delta \ phi = (e / \ hbar) \ oint _ {C} \ nabla \ chi (r) \ cdot dl = - (e / \ hbar) \ oint _ {C} A (r) \ cdot dl = -2 \ pi \ Phi / \ Phi _ {0}}

cada vez que una de las coordenadas $${\ displaystyle r_ {n}}Se mueve a lo largo del anillo hasta su punto de inicio. El requisito de una función de onda de un solo valor, por lo tanto, restringe la transformación de la galga a flujos$${\ displaystyle \ Phi} que son un múltiplo entero de $${\ displaystyle \ Phi _ {0}}. Sistemas que encierran un flujo que difiere por un múltiplo de$${\ displaystyle h / e} son equivalentes

Aplicaciones [ editar ]

Yoseph Imry da una visión general de los efectos físicos gobernados por el teorema de Byers-Yang . ^[3] Estos incluyen el efecto Aharonov-Bohm , la corriente persistente en metales normales y la cuantificación del flujo en superconductores.