MECÁNICA CUÁNTICA

la cuantificación canónica es un procedimiento para cuantificar una teoría clásica , mientras se intenta preservar la estructura formal, como las simetrías , de la teoría clásica, en la mayor medida posible.

Históricamente, este no era el camino de Werner Heisenberg para obtener la mecánica cuántica , pero Paul Dirac lo introdujo en su tesis doctoral de 1926, el "método de analogía clásica" para la cuantificación, ^[1] y lo detalló en su texto clásico. ^[2] La palabra canónica surge del enfoque hamiltoniano de la mecánica clásica, en la cual la dinámica de un sistema se genera a través de los soportes canónicos de Poisson , una estructura que solo se conserva parcialmente en la cuantificación canónica.

Este método fue utilizado aún más en el contexto de la teoría cuántica de campos por Paul Dirac , en su construcción de la electrodinámica cuántica . En el contexto de la teoría de campo, también se denomina segunda cuantización , en contraste con la primera cuantificación semiclásica para partículas individuales.

Historia [ editar ]

Cuando se desarrolló por primera vez, la física cuántica se ocupó únicamente de la cuantificación del movimientode las partículas, dejando el campo electromagnético clásico , de ahí el nombre de mecánica cuántica . ^[3]

Posteriormente, también se cuantificó el campo electromagnético, e incluso las propias partículas se representaron a través de campos cuantificados, lo que dio como resultado el desarrollo de la electrodinámica cuántica (QED) y la teoría cuántica de campos en general. ^[4] Por lo tanto, por convención, la forma original de la mecánica cuántica de partículas se denota como primera cuantización , mientras que la teoría cuántica de campos se formula en el lenguaje de la segunda cuantización .

Primera cuantización [ editar ]

Artículo principal: Primera cuantización.

Sistemas de partículas individuales [ editar ]

La siguiente exposición se basa en el tratado de Dirac sobre la mecánica cuántica. ^[2] En la mecánica clásica de una partícula, hay variables dinámicas que se llaman coordenadas ( x ) y momento ( p ). Estos especifican el estado de un sistema clásico. La estructura canónica (también conocida como estructura simpléctica ) de la mecánica clásica consiste en corchetes de Poisson entre estas variables, como { x , p } = 1. Todas las transformaciones de variables que conservan estos corchetes se permiten comoTransformaciones canónicas en la mecánica clásica. El movimiento mismo es una transformación tan canónica.

Por el contrario, en la mecánica cuántica , todas las características significativas de una partícula están contenidas en un estado $${\ displaystyle | \ psi \ rangle}, llamado estado cuántico . Los observables están representados por operadores que actúan en un espacio de Hilbert de tales estados cuánticos .

El valor (propio) de un operador que actúa sobre uno de sus estados propios representa el valor de una medición en la partícula representada de este modo. Por ejemplo, la energía es leída por el operador hamiltoniano .$${\ displaystyle {\ hat {H}}}actuando en un estado $${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}cediendo

$${\ displaystyle {\ hat {H}} | \ psi _ {n} \ rangle = E_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle},

donde E _n es la energía característica asociada a este$${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle} estado propio .

Cualquier estado podría representarse como una combinación lineal de estados propios de energía; por ejemplo,

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle},

donde a _n son coeficientes constantes.

Al igual que en la mecánica clásica, todos los operadores dinámicos pueden representarse por las funciones de posición y momento, $${\ displaystyle {\ hat {X}}} y $${\ displaystyle {\ hat {P}}}, respectivamente. La conexión entre esta representación y la representación de la función de onda más usual viene dada por el estado propio del operador de posición X̂ que representa una partícula en la posición x , que se denota por un elemento$${\ displaystyle | x \ rangle} en el espacio de Hilbert, y que satisface $${\ displaystyle {\ hat {X}} | x \ rangle = x | x \ rangle}. Entonces,$${\ displaystyle \ psi (x) = \ langle x | \ psi \ rangle}.

Asimismo, los estados propios. $${\ displaystyle | p \ rangle} del operador de impulso $${\ displaystyle {\ hat {P}}}Especifique la representación del momento :$${\ displaystyle \ psi (p) = \ langle p | \ psi \ rangle}.

La relación central entre estos operadores es un análogo cuántico del soporte de Poisson anterior de la mecánica clásica, la relación de conmutación canónica ,

$${\ displaystyle [{\ hat {X}}, {\ hat {P}}] = {\ hat {X}} {\ hat {P}} - {\ hat {P}} {\ hat {X}} = i \ hbar}.

Esta relación codifica (y conduce formalmente a) el principio de incertidumbre , en la forma Δ x Δ p ≥ ħ / 2 . Esta estructura algebraica puede ser considerada como el análogo cuántico de la estructura canónica de la mecánica clásica.

Sistemas de muchas partículas [ editar ]

Al pasar a los sistemas de N-partículas, es decir, los sistemas que contienen N partículas idénticas (partículas caracterizadas por los mismos números cuánticos , como masa , carga y espín ), es necesario extender la función de estado de partícula única.$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r})} a la función de estado de N-partícula $${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, ..., \ mathbf {r} _ {N})}. Una diferencia fundamental entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica se refiere al concepto de indistinguibilidad de partículas idénticas. Solo dos especies de partículas son posibles en la física cuántica, los llamados bosones y fermiones que obedecen las reglas:

$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} _ {1}, ..., \ mathbf {r} _ {j}, ..., \ mathbf {r} _ {k}, ..., \ mathbf {r_ {N}}) = + \ psi (\ mathbf {r} _ {1}, ..., \ mathbf {r} _ {k}, ..., \ mathbf {r} _ {j}, ..., \ mathbf {r} _ {N})} (bosones),

$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} _ {1}, ..., \ mathbf {r} _ {j}, ..., \ mathbf {r} _ {k}, ..., \ mathbf {r_ {N}}) = - \ psi (\ mathbf {r} _ {1}, ..., \ mathbf {r} _ {k}, ..., \ mathbf {r} _ {j}, ..., \ mathbf {r} _ {N})} (fermiones).

Donde hemos intercambiado dos coordenadas. $${\ displaystyle (\ mathbf {r} _ {j}, \ mathbf {r} _ {k})}de la función estatal. La función de onda habitual se obtiene utilizando el determinante de Slater y la teoría de las partículas idénticas . Usando esta base, es posible resolver varios problemas de muchas partículas.

Problemas y limitaciones [ editar ]

Corchetes clásicos y cuánticos [ editar ]

El libro de Dirac ^[2] detalla su popular regla de suplantación de los soportes de Poisson por los conmutadores :

$${\ displaystyle \ {A, B \} \ longmapsto {\ tfrac {1} {i \ hbar}} [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] ~.}

Uno podría interpretar esta propuesta diciendo que debemos buscar un "mapa de cuantificación" $${\ displaystyle Q} mapeando una función $${\ displaystyle f} en el espacio de fase clásica a un operador $${\ displaystyle Q_ {f}} en el espacio cuántico de Hilbert tal que

$${\ displaystyle Q _ {\ {f, g \}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} [Q_ {f}, Q_ {g}]}

Ahora se sabe que no existe un mapa de cuantización razonable que satisfaga la identidad anterior exactamente para todas las funciones $${\ displaystyle f} y $${\ displaystyle g}.

El teorema de groenewold [ editar ]

Una versión concreta de la afirmación de imposibilidad anterior es el teorema de Groenewold (después del físico teórico holandés Hilbrand J. Groenewold ), que describimos para un sistema con un grado de libertad para simplificar. Aceptemos las siguientes "reglas básicas" para el mapa$${\ displaystyle Q}. Primero,$${\ displaystyle Q}Debe enviar la función constante 1 al operador de identidad. Segundo,$${\ displaystyle Q} deben tomar $${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle p} a los operadores de posición y impulso habituales $${\ displaystyle X} y $${\ displaystyle P}. Tercero,$${\ displaystyle Q} debe tomar un polinomio en $${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle p} a un "polinomio" en $${\ displaystyle X} y $${\ displaystyle P}, es decir, una combinación lineal finita de productos de $${\ displaystyle X} y $${\ displaystyle P}, que se puede tomar en cualquier orden deseado. En su forma más simple, el teorema de Groenewold dice que no hay un mapa que satisfaga las reglas básicas anteriores y también la condición de corchete

$${\ displaystyle Q _ {\ {f, g \}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} [Q_ {f}, Q_ {g}]}

para todos los polinomios $${\ displaystyle f} y $${\ displaystyle g}.

En realidad, la inexistencia de tal mapa ya ocurre cuando llegamos a los polinomios de grado cuatro. Tenga en cuenta que el soporte de Poisson de dos polinomios de grado cuatro tiene grado seis, por lo que no tiene sentido requerir un mapa en los polinomios de grado cuatro para respetar la condición del soporte. Nosotros podemos , sin embargo, requieren que la condición se cumple cuando el soporte$${\ displaystyle f} y $${\ displaystyle g}tener grado tres. El teorema de Groenewold ^[5] se puede expresar de la siguiente manera:

Teorema : No hay un mapa de cuantización.$${\ displaystyle Q} (siguiendo las reglas básicas anteriores) en polinomios de grado menor o igual a cuatro que satisfagan

$${\ displaystyle \ quad Q _ {\ {f, g \}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} [Q_ {f}, Q_ {g}]}

cuando $${\ displaystyle f} y $${\ displaystyle g}tener un grado menor o igual a tres. (Tenga en cuenta que en este caso,$${\ displaystyle \ {f, g \}} tiene un grado menor o igual a cuatro.

La prueba se puede resumir de la siguiente manera. ^[6] [7] Supongamos que primero intentamos encontrar un mapa de cuantificación en polinomios de grado menor o igual a tres que satisfagan la condición de corchete cuando$${\ displaystyle f} tiene un grado menor o igual a dos y $${\ displaystyle g}tiene un grado menor o igual a dos. Entonces hay precisamente uno de esos mapas, y es la cuantización de Weyl . El resultado de imposibilidad ahora se obtiene al escribir el mismo polinomio de grado cuatro como un corchete de Poisson de polinomios de grado tres de dos maneras diferentes . Específicamente, tenemos

$${\ displaystyle x ^ {2} p ^ {2} = {\ frac {1} {9}} \ {x ^ {3}, p ^ {3} \} = {\ frac {1} {3}} \ {x ^ {2} p, xp ^ {2} \}}

Por otro lado, ya hemos visto que si va a haber un mapa de cuantización en polinomios de grado tres, debe ser la cuantización de Weyl; es decir, ya hemos determinado la única cuantificación posible de todos los polinomios cúbicos anteriores.

El argumento se termina computando por fuerza bruta que

$${\ displaystyle {\ frac {1} {9}} [Q (x ^ {3}), Q (p ^ {3})]}

no coincide con

$${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} [Q (x ^ {2} p), Q (xp ^ {2})]}.

Por lo tanto, tenemos dos requisitos incompatibles para el valor de $${\ displaystyle Q (x ^ {2} p ^ {2})}.

Axiomas para la cuantización [ editar ]

Si Q representa el mapa de cuantización que actúa sobre las funciones f en el espacio de fase clásico, las siguientes propiedades generalmente se consideran deseables: ^[8]

1. $${\ displaystyle Q_ {x} \ psi = x \ psi} y $${\ displaystyle Q_ {p} \ psi = -i \ hbar \ partial _ {x} \ psi ~~}   (operadores elementales de posición / impulso)
2. $${\ displaystyle f \ longmapsto Q_ {f} ~~}   es un mapa lineal
3. $${\ displaystyle [Q_ {f}, Q_ {g}] = i \ hbar Q _ {\ {f, g \}} ~~}   (Soporte de Poisson)
4. $${\ displaystyle Q_ {g \ circ f} = g (Q_ {f}) ~~}   (Regla de von Neumann).

Sin embargo, no solo estas cuatro propiedades son mutuamente inconsistentes, ¡ cualquiera de las tres también es inconsistente! ^[9] Como resultado, los únicos pares de estas propiedades que conducen a soluciones no triviales autoconsistentes son 2 y 3, y posiblemente 1 y 3 o 1 y 4. Aceptando las propiedades 1 y 2, junto con una condición más débil que 3 sea verdadero solo asintóticamente en el límite ħ → 0 (ver corchete Moyal ), conduce a la cuantificación de la deformación , y se debe proporcionar alguna información extraña, como en las teorías estándar utilizadas en la mayoría de la física. Aceptar las propiedades 1 y 2 y 3, pero restringir el espacio de los observables cuantizables para excluir términos como los cúbicos en el ejemplo anterior equivale acuantización geométrica .

En segundo lugar cuantificación: la teoría de campo [ editar ]

Artículo principal: Segunda cuantización.

La mecánica cuántica tuvo éxito en la descripción de sistemas no relativistas con un número fijo de partículas, pero se necesitaba un nuevo marco para describir los sistemas en los que se pueden crear o destruir partículas, por ejemplo, el campo electromagnético, considerado como una colección de fotones. Con el tiempo se comprendió que la relatividad especial era inconsistente con la mecánica cuántica de una sola partícula, de modo que todas las partículas ahora se describen de manera relativista por campos cuánticos .

Cuando el procedimiento de cuantificación canónica se aplica a un campo, como el campo electromagnético, las variables de campo clásico se convierten en operadores cuánticos . Por lo tanto, los modos normales que comprenden la amplitud del campo se cuantifican y los cuantos se identifican con partículas individuales o excitaciones. Por ejemplo, los cuantos del campo electromagnético se identifican con fotones. A diferencia de la primera cuantización, la segunda cuantización convencional es completamente inequívoca, en efecto un funtor .

Históricamente, la cuantificación de la teoría clásica de una sola partícula dio lugar a una función de onda. Las ecuaciones clásicas de movimiento de un campo son típicamente idénticas en forma a las ecuaciones (cuánticas) para la función de onda de uno de sus cuantos . Por ejemplo, la ecuación de Klein-Gordon es la ecuación clásica de movimiento para un campo escalar libre, pero también la ecuación cuántica para una función de onda de partícula escalar. Esto significaba que la cuantificación de un campo parecía ser similar a la cuantificación de una teoría que ya estaba cuantificada, lo que condujo a la segunda cuantización del término fantasioso en la literatura antigua, que todavía se usa para describir la cuantificación de campos, aunque la interpretación moderna detallada es diferente.

Un inconveniente de la cuantificación canónica para un campo relativista es que al confiar en el Hamiltoniano para determinar la dependencia del tiempo, la invariancia relativista ya no es manifiesta. Por lo tanto, es necesario verificar que la invariancia relativista no se pierda. Alternativamente, el enfoque integral de Feynmanestá disponible para cuantificar campos relativistas, y es manifiestamente invariante. Para las teorías de campo no relativistas, como las que se utilizan en la física de la materia condensada , la invariancia de Lorentz no es un problema.

Operadores de campo [ editar ]

De forma mecánica, las variables de un campo (como la amplitud del campo en un punto dado) están representadas por operadores en un espacio de Hilbert . En general, todos los observables se construyen como operadores en el espacio de Hilbert, y la evolución temporal de los operadores se rige por el Hamiltoniano , que debe ser un operador positivo. Un estado$${\ displaystyle | 0 \ rangle}aniquilado por el hamiltoniano debe identificarse como el estado de vacío , que es la base para construir todos los demás estados. En una teoría de campo sin interacción (libre), el vacío se identifica normalmente como un estado que contiene cero partículas. En una teoría con partículas que interactúan, la identificación del vacío es más sutil, debido a la polarización del vacío , lo que implica que el vacío físico en la teoría cuántica de campos nunca está realmente vacío. Para más detalles, consulte los artículos sobre el vacío mecánico cuántico y el vacío de la cromodinámica cuántica . Los detalles de la cuantificación canónica dependen de la cuantización del campo y de si es libre o interactiva.

Campo escalar real [ editar ]

Una teoría del campo escalar proporciona un buen ejemplo del procedimiento de cuantización canónica. ^[10]Clásicamente, un campo escalar es una colección de una infinidad de modos normales de oscilador . Basta considerar un espacio-tiempo 1 + 1-dimensional ℝ × S ₁ , en el que la dirección espacial se compacta en un círculo de circunferencia 2 π , lo que hace que el momento sea discreto. 

La densidad lagrangiana clásica describe una infinidad de osciladores armónicos acoplados , marcados con xque ahora es una etiqueta, y no la variable dinámica de desplazamiento a cuantificar, indicada por el campo clásico φ ,

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ phi) = {\ frac {1} {2}} (\ parcial _ {t} \ phi) ^ {2} - {\ frac {1} {2}} (\ parcial _ {x} \ phi) ^ {2} - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ phi ^ {2} -V (\ phi),}

donde V ( φ ) es un término potencial, que a menudo se considera un polinomio o monomio de grado 3 o superior. La acción funcional es.

$${\ displaystyle S (\ phi) = \ int {\ mathcal {L}} (\ phi) dxdt = \ int L (\ phi, \ partial _ {t} \ phi) dt}.

El impulso canónico obtenido a través de la transformada de Legendre utilizando la acción L es$${\ displaystyle \ pi = \ parcial _ {t} \ phi}, y el hamiltoniano clásico se encuentra para ser

$${\ displaystyle H (\ phi, \ pi) = \ int dx \ left [{\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2} + {\ frac {1} {2}} (\ parcial _ { x} \ phi) ^ {2} + {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ phi ^ {2} + V (\ phi) \ right].}

La cuantización canónica trata las variables. $${\ displaystyle \ phi (x)} y $${\ displaystyle \ pi (x)}como operadores con relaciones de conmutación canónicas en el tiempo t = 0, dadas por

$${\ displaystyle [\ phi (x), \ phi (y)] = 0, \ \ [\ pi (x), \ pi (y)] = 0, \ \ [\ phi (x), \ pi (y )] = i \ hbar \ delta (xy).}

Operadores construidos a partir de $${\ displaystyle \ phi} y $${\ displaystyle \ pi} luego se puede definir formalmente en otros momentos a través de la evolución temporal generada por el hamiltoniano:

$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (t) = e ^ {itH} {\ mathcal {O}} e ^ {- itH}.}

Sin embargo, como φ y π ya no conmutan, esta expresión es ambigua en el nivel cuántico. El problema es construir una representación de los operadores relevantes.$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}en un espacio de Hilbert $${\ displaystyle {\ mathcal {H}}} y construir un operador H positivo como operador cuántico en este espacio de Hilbert de tal manera que proporcione esta evolución para los operadores.$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}} como se indica en la ecuación anterior, y para mostrar que $${\ displaystyle {\ mathcal {H}}} contiene un estado de vacío $${\ displaystyle | 0 \ rangle}en la que H tiene valor propio cero. En la práctica, esta construcción es un problema difícil para interactuar con las teorías de campo, y se ha resuelto completamente solo en unos pocos casos simples a través de los métodos de la teoría de campo cuántica constructiva . Muchos de estos problemas se pueden evitar usando la integral de Feynman como se describe para una V ( φ ) particular en el artículo sobre la teoría del campo escalar .

En el caso de un campo libre, con V ( φ ) = 0, el procedimiento de cuantificación es relativamente sencillo. Conviene que Fourier transforme los campos, para que

$${\ displaystyle \ phi _ {k} = \ int \ phi (x) e ^ {- ikx} dx, \ \ \ pi _ {k} = \ int \ pi (x) e ^ {- ikx} dx.}

La realidad de los campos implica que

$${\ displaystyle \ phi _ {- k} = \ phi _ {k} ^ {\ dagger}, ~~~ \ pi _ {- k} = \ pi _ {k} ^ {\ dagger}}.

El Hamiltoniano clásico se puede ampliar en los modos de Fourier como

$${\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ pi _ {k} \ pi _ {k} ^ {\ dagger} + \ omega _ {k} ^ {2} \ phi _ {k} \ phi _ {k} ^ {\ dagger} \ right],

dónde $${\ displaystyle \ omega _ {k} = {\ sqrt {k ^ {2} + m ^ {2}}}}.

Este Hamiltoniano es, por lo tanto, reconocible como una suma infinita de las excitaciones del oscilador en modo normal clásico φ _k , cada una de las cuales se cuantifica de manera estándar , por lo que el Hamiltoniano cuántico libre se ve idéntico. Son los φ _k s los que se han convertido en operadores que obedecen las relaciones de conmutación estándar, [ φ _k , π _k ^† ] = [ φ _k ^† , π _k ] = iħ , y todos los demás desaparecen. El espacio colectivo de Hilbert de todos estos osciladores se construye por medio de operadores de creación y aniquilación construidos a partir de estos modos.

$${\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ hbar \ omega _ {k}}}} \ left (\ omega _ {k} \ phi _ {k} + i \ pi _ {k} \ derecha), \ \ a_ {k} ^ {\ dagger} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ hbar \ omega _ {k}}}} \ left (\ omega _ {k} \ phi _ {k} ^ {\ dagger} -i \ pi _ {k} ^ {\ dagger} \ right),

para lo cual [ a _k , a _k ^† ] = 1 para todos los k , con todos los demás conmutadores desapareciendo.

El vacio $${\ displaystyle | 0 \ rangle}se toma para ser aniquilado por toda la una _k , y$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}es el espacio de Hilbert construido aplicando cualquier combinación de la colección infinita de operadores de creación a _k ^† a$${\ displaystyle | 0 \ rangle}. Este espacio de Hilbert se llama espacio de Fock . Para cada k , esta construcción es idéntica a un oscilador armónico cuántico . El campo cuántico es una matriz infinita de osciladores cuánticos. El Hamiltoniano cuántico asciende entonces a

$${\ displaystyle H = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ hbar \ omega _ {k} a_ {k} ^ {\ dagger} a_ {k} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ hbar \ omega _ {k} N_ {k}},

donde N _k puede interpretarse como el operador numérico que da el número de partículas en un estado con momento k .

Este hamiltoniano se diferencia de la expresión anterior por la resta de la energía de punto cero ħω _k / 2 de cada oscilador armónico. Esto satisface la condición de que H debe aniquilar el vacío, sin afectar la evolución temporal de los operadores a través de la operación de exponenciación anterior. Esta resta de la energía del punto cero puede considerarse como una resolución de la ambigüedad de pedidos del operador cuántico, ya que es equivalente a requerir que todos los operadores de creación aparezcan a la izquierda de los operadores de aniquilación en la expansión del Hamiltoniano. Este procedimiento se conoce como ordenamiento de mechas o ordenamiento normal . 

Otros campos [ editar ]

Todos los demás campos se pueden cuantificar mediante una generalización de este procedimiento. Los campos vectoriales o tensoriales simplemente tienen más componentes, y se deben introducir operadores independientes de creación y destrucción para cada componente independiente. Si un campo tiene alguna simetría interna , los operadores de creación y destrucción también deben introducirse para cada componente del campo relacionado con esta simetría. Si hay una simetría de calibre , entonces el número de componentes independientes del campo debe analizarse cuidadosamente para evitar el conteo excesivo de configuraciones equivalentes, y se puede aplicar una fijación de calibre si es necesario.

Resulta que las relaciones de conmutación son útiles solo para cuantificar bosones , para los cuales el número de ocupación de cualquier estado es ilimitado. Para cuantificar los fermiones , que satisfacen el principio de exclusión de Pauli , se necesitan anti-conmutadores. Estos están definidos por {A, B} = AB + BA .

Al cuantificar fermiones, los campos se expanden en los operadores de creación y aniquilación, θ _k ^† , θ _k , que satisfacen

$${\ displaystyle \ {\ theta _ {k}, \ theta _ {l} ^ {\ dagger} \} = \ delta _ {kl}, \ \ \ {\ theta _ {k}, \ theta _ {l} \} = 0, \ \ \ {\ theta _ {k} ^ {\ dagger}, \ theta _ {l} ^ {\ dagger} \} = 0.}

Los estados se construyen en un vacío aniquilado por la θ _k , y el espacio de Fock se construye aplicando todos los productos de los operadores de creación θ _k ^† a | 0>. El principio de exclusión de Pauli está satisfecho, porque$${\ displaystyle (\ theta _ {k} ^ {\ dagger}) ^ {2} | 0 \ rangle = 0}, en virtud de las relaciones anti-conmutación.

Condensados [ editar ]

La construcción de los estados del campo escalar anterior asumió que el potencial se minimizó en φ = 0, de modo que el vacío que minimiza el Hamiltoniano satisface 〈φ〉 = 0, lo que indica que el valor de expectativa de vacío (VEV) del campo es cero. En los casos que involucran la ruptura espontánea de la simetría , es posible tener un VEV diferente a cero, porque el potencial se minimiza para un valor φ = v . Esto ocurre, por ejemplo, si V (φ) = gφ ⁴ - 2m ² φ ² con g > 0 y m ²> 0, para los cuales la energía mínima se encuentra en v = ± m/ √ g . El valor de v en uno de estos vacíos se puede considerar como condensado del campo φ . La cuantificación canónica se puede realizar para el campo desplazado φ (x, t) −v , y los estados de las partículas con respecto al vacío desplazado se definen cuantificando el campo desplazado. Esta construcción se utiliza en el mecanismo de Higgs en el modelo estándar de física de partículas .

Cuantificación matemática [ editar ]

La deformación de cuantificación [ editar ]

La teoría clásica se describe utilizando una foliación espacial del espacio-tiempo, y el estado de cada corte lo describe un elemento de una multiplicidad simpléctica con la evolución temporal dada por el simplectomorfismogenerado por una función hamiltoniana sobre la multiplicidad simpléctica. El álgebra cuántica de "operadores" es un ħ - deformación de la álgebra de funciones suaves sobre el espacio simpléctico tal que el término principalen el desarrollo de Taylor sobre ħ del conmutador [ A , B ] expresado en la formulación del espacio de fase es iħ { A , B } . (Aquí, las llaves indican el corchete de Poisson . Los términos de sublonación están codificados en el corchete Moyal , la deformación cuántica adecuada del corchete de Poisson). En general, para las cantidades (observables) involucradas, y se proporcionan los argumentos de dichos corchetes. Las ħ -formaciones son altamente no únicas: la cuantización es un "arte" y está especificada por el contexto físico. (Dos sistemas cuánticos diferentes pueden representar dos deformaciones diferentes, desiguales, del mismo límite clásico , ħ → 0 ).

Ahora, uno busca representaciones unitarias de este álgebra cuántica. Con respecto a tal representación unitaria, un simplectomorfismo en la teoría clásica ahora se deformaría a una transformación unitaria (metapléctica) . En particular, el simplectomorfismo de la evolución del tiempo generado por el hamiltoniano clásico se deforma a una transformación unitaria generada por el hamiltoniano cuántico correspondiente.

Una generalización adicional es considerar un colector de Poisson en lugar de un espacio simpléctico para la teoría clásica y realizar una ħ -deformation de la correspondiente álgebra de Poisson o incluso Poisson supervariedades .

Cuantización geométrica [ editar ]

Artículo principal: Cuantización geométrica.

En contraste con la teoría de la cuantificación de deformación descrita anteriormente, la cuantificación geométrica busca construir un espacio de Hilbert real y operadores en él. Comenzando con una variedad simpléctica$${\ displaystyle M}, el primero construye un espacio de Hilbert pre-cuantioso que consiste en el espacio de secciones cuadradas integrables de un conjunto de líneas apropiado sobre $${\ displaystyle M}. En este espacio, se pueden asignar todoslos observables clásicos a los operadores en el espacio de Hilbert pre-cántico, con el conmutador correspondiente exactamente al soporte de Poisson. Sin embargo, el espacio previo a Hilbert es claramente demasiado grande para describir la cuantización de$${\ displaystyle M}.

Luego se procede al elegir una polarización, es decir (aproximadamente), una elección de $${\ displaystyle n} variables en el $${\ displaystyle 2n}Espacio de fase tridimensional. El espacio cuántico de Hilbert es entonces el espacio de secciones que dependen solo de la$${\ displaystyle n} variables elegidas, en el sentido de que son covariantes constantes en el otro $${\ displaystyle n}direcciones. Si las variables elegidas son reales, obtenemos algo como el espacio tradicional de Schrödinger Hilbert. Si las variables elegidas son complejas, obtenemos algo como el espacio Segal-Bargmann .