MECÁNICA CUÁNTICA

La acción de retroceso ( cuántica ) se refiere (en el régimen de sistemas cuánticos ) al efecto de un detectoren la medición en sí misma, como si el detector no solo realiza la medición, sino que también afecta el sistema medido u observado bajo un efecto perturbador . ^[1] [2] La acción de retroceso tiene consecuencias importantes en el proceso de medición y es un factor importante en las mediciones cercanas al límite cuántico , como las mediciones que se aproximan al Límite Cuántico Estándar (SQL).

La acción de retorno es un área de interés activamente buscada. Se han realizado experimentos en los últimos tiempos, con sistemas nanomecánicos , donde se evadió la acción inversa al realizar mediciones, por ejemplo, en pulgadas .

Los nanotubos de carbono de pared simple tienen la capacidad de conducir electricidad. Esta conducción puede ser balística , difusiva o basada en la dispersión. Cuando la conductancia de naturaleza balística se puede tratar como si los electrones no experimentaran dispersión.

Cuantización de la conductancia y fórmula de Landauer [ editar ]

Figura 1: a) Diagrama de contorno de energía de la estructura de la banda electrónica en CNTs .; b) Dependencia lineal de la energía electrónica en el vector de onda en los CNT; c) Relación de dispersión cerca de la energía de Fermi para una CNT semiconductora; d) Relación de dispersión cerca de la energía de Fermi para una CNT metálica.

La conducción en nanotubos de carbono depared simple se cuantifica debido a su unidimensionalidad y el número de estados electrónicos permitidos es limitado, si se compara con el grafito en masa. Por consiguiente, los nanotubos se comportan a medida que los cables cuánticos y los portadores de carga se transmiten a través de canales de conducción discretos. Este mecanismo de conducción puede ser de naturaleza balística o difusa, o basarse en túneles. Cuando se realizan de forma balística, los electrones viajan a través del canal de los nanotubos sin experimentar dispersión.Debido a las impurezas, defectos locales o vibraciones de la red. Como resultado, los electrones no encuentran resistencia y no se produce disipación de energía en el canal de conducción. Para estimar la corriente en el canal de nanotubos de carbono, se puede aplicar la fórmula de Landauer, que considera un canal unidimensional, conectado a dos contactos: fuente y drenaje.

Suponiendo que no hay dispersión y contactos ideales (transparentes), la conductancia del sistema unidimensional está dada por G = G ₀ NT, donde T es la probabilidad de que un electrón se transmita a lo largo del canal, N es el número de canales disponibles para el transporte, y G ₀ es la cantidad de conductancia 2e ² / h = (12.9kΩ) ⁻¹ . Los contactos perfectos, con reflexión R = 0, y sin dispersión hacia atrás a lo largo del canal dan como resultado una probabilidad de transmisión T = 1 y la conductancia del sistema se convierte en G = (2e ² / h) N. Así, cada canal contribuye 2G ₀ a la conductancia total . ^[1] Para nanotubos de sillón metálico., hay dos subbandas, que cruzan el nivel de Fermi , y para los nanotubos semiconductores - bandas que no cruzan el nivel de Fermi. Por lo tanto, hay dos canales conductores y cada banda tiene capacidad para dos electrones de espín opuesto. Por lo tanto, el valor de la conductancia es G = 2G ₀ = (6.45 kΩ) ⁻¹ . ^[2]

En un sistema no ideal, T en la fórmula de Landauer se reemplaza por la suma de las probabilidades de transmisión para cada canal de conducción. Cuando el valor de la conductancia para el ejemplo anterior se acerca al valor ideal de 2G ₀ , se dice que la conducción a lo largo del canal es balística. Esto sucede cuando la longitud de dispersión en el nanotubo es mucho mayor que la distancia entre los contactos. Si un nanotubo de carbono es un conductor balístico, pero los contactos no son transparentes, la probabilidad de transmisión, T, se reduce mediante la dispersión de los contactos. Si los contactos son perfectos, la T reducida se debe a la dispersión de retorno a lo largo del nanotubo solamente. Cuando la resistencia medida en los contactos es alta, se puede inferir la presencia de bloqueo de Coulomb y líquido de Luttinger.Comportamiento para diferentes temperaturas. La baja resistencia de contacto es un requisito previo para investigar los fenómenos de conducción en las CNT en el régimen de alta transmisión.

Interferencia cuántica [ editar ]

Cuando el tamaño del dispositivo CNT aumenta con la longitud de coherencia del electrón, lo importante en el régimen de conducción balística en los CNT se convierte en el patrón de interferencia que surge al medir la conductancia diferencial $${\ displaystyle dI / dV}En función de la tensión de la compuerta. ^[3] Este patrón se debe a la interferencia cuántica de múltiples electrones reflejados en el canal CNT. Efectivamente, esto corresponde a un resonador Fabry-Perot, donde el nanotubo actúa como una guía de onda coherente y la cavidad resonante se forma entre las dos interfaces del electrodo CNT. El transporte de fase coherente, la interferencia de electrones y los estados localizados se han observado en forma de fluctuaciones en la conductancia en función de la energía de Fermi.

Los electrones de fase coherente dan lugar al efecto de interferencia observado a bajas temperaturas. La coherencia corresponde entonces a una disminución en los números de ocupación de los modos de fonón y una tasa reducida de dispersión inelástica. En consecuencia, se informa de un aumento de la conducción para bajas temperaturas.

Conducción balística en los transistores de efecto de campo de la CNT [ editar ]

CNT FETs exhiben cuatro regímenes de transporte de carga:

• balmica de contacto ohmico
• ohmico contacto difusivo
• Barrera balística schottky
• Schottky barrera difusiva

Los contactos óhmicos no requieren dispersión ya que los portadores de carga se transportan a través del canal, es decir, la longitud de la CNT debe ser mucho más pequeña que la ruta libre media (L << l _m ). Lo contrario es válido para el transporte difusivo. En los CNT semiconductores a temperatura ambiente y para bajas energías, la trayectoria libre media se determina mediante la dispersión de electrones de los fonones acústicos, lo que da como resultado 1 _m 0.5μm. Para satisfacer las condiciones del transporte balístico, uno tiene que cuidar la longitud del canal y las propiedades de los contactos, mientras que la geometría del dispositivo podría ser cualquier FT CNT dopado con puerta superior .

El transporte balístico en un CNT FET tiene lugar cuando la longitud del canal conductor es mucho menor que la trayectoria libre media del portador de carga, 1 _m .

Conducción balística en FET de contacto óhmico [ editar ]

Ohmic, es decir, los contactos transparentes son los más favorables para un flujo de corriente optimizado en un FET. Para derivar las características de voltaje-corriente (IV) de un FT balístico CNT, se puede comenzar con el postulado de Planck, que relaciona la energía del i-ésimo estado con su frecuencia:
$${\ displaystyle E_ {i} = h \ nu _ {i} = {\ frac {h} {2e}} {\ frac {2e} {T_ {i}}} = {\ frac {h} {2e}} Yo_ {i}}

La corriente total para un sistema de muchos estados es entonces la suma sobre la energía de cada estado multiplicada por la función de probabilidad de ocupación, en este caso las estadísticas de Fermi-Dirac :

$${\ displaystyle I_ {i} = {\ frac {2e} {h}} \ sum _ {i} E_ {i} {\ frac {1} {1 + e ^ {\ frac {E-E_ {f}} {k_ {B} T}}}}}

Para un sistema con estados densos, la suma discreta se puede aproximar mediante una integral:

$${\ displaystyle I_ {i} = {\ frac {2e} {h}} \ int {\ frac {1} {1 + e ^ {\ frac {E-E_ {f}} {k_ {B} T}} }}Delaware}

En los FET de CNT, los portadores de carga se mueven hacia la izquierda (velocidad negativa) o hacia la derecha (velocidad positiva) y la corriente neta resultante se llama corriente de drenaje. El potencial de la fuente controla el movimiento hacia la derecha y el potencial de drenaje: los portadores que se mueven a la izquierda y si el potencial de la fuente se establece en cero, la energía de Fermi en el drenaje disminuye posteriormente para producir un voltaje de drenaje positivo. La corriente de drenaje total se calcula como una suma de todas las subbandas contribuyentes en la CNT del semiconductor, pero dados los bajos voltajes utilizados con la electrónica de nanoescala, las subbandas más altas pueden ignorarse de manera efectiva y la corriente de drenaje se da solo por la contribución de la primera subbanda:

$${\ displaystyle I_ {d} = I_ {0} \ left \ {\ ln \ left [1 + e ^ {2e \ phi _ {s} - {\ frac {E_ {g}} {2kT}}} \ right ] - \ ln \ left [1 + e ^ {2e \ phi _ {s} -2eV_ {d} - {\ frac {E_ {g}} {2kT}}} \ right] \ right \}} dónde $${\ displaystyle I_ {0} = {\ frac {4e} {h}} kT = {\ frac {kT} {eR_ {0}}}}
y $${\ displaystyle R_ {0}} Es la resistencia cuántica.

La expresion para $${\ displaystyle I_ {d}} proporciona la dependencia de la corriente balística en el voltaje en un FT CNT con contactos ideales.

Conducción balística con dispersión óptica de fonones [ editar ]

Idealmente, el transporte balístico en los FET de CNT no requiere la dispersión de los fonones ópticos o acústicos , sin embargo, el modelo analítico produce solo una concordancia parcial con los datos experimentales. Por lo tanto, es necesario considerar un mecanismo que mejoraría el acuerdo y recalibraría la definición de conducción balística en las CNT. El transporte parcialmente balístico está modelado para implicar la dispersión óptica de fonones. La dispersión de electrones por fonones ópticos en canales de nanotubos de carbono tiene dos requisitos:

• La longitud recorrida en el canal de conducción entre la fuente y el drenaje debe ser mayor que la ruta libre media del fonón óptico
• La energía electrónica tiene que ser mayor que la energía crítica de emisión de fonones ópticos.

Barrera de Schottky Conducción balística [ editar ]

Figura 2: Ejemplo de la estructura de la banda de un FET balístico CNT. a) La corriente neta a través del canal es la diferencia entre los electrones que hacen un túnel desde la fuente y los agujeros que hacen un túnel desde el drenaje. b) ON-state: la corriente es producida por los electrones de la fuente; c) Estado de apagado: corriente de fuga del orificio inducida por los orificios de drenaje.

Los FET de CNT con contactos Schottky son más fáciles de fabricar que aquellos con contactos óhmicos. En estos transistores, el voltaje de la compuerta controla el grosor de la barrera, y el voltaje de drenaje puede disminuir la altura de la barrera en el electrodo de drenaje. La tunelización cuántica de los electrones a través de la barrera también debe tenerse en cuenta aquí. Para comprender la conducción de carga en los FET de CNT de barrera de Schottky, debemos estudiar los esquemas de banda en diferentes condiciones de sesgo ^[4] (Fig. 2):

• La corriente neta es el resultado de los electrones que se canalizan desde la fuente y los orificios de la red de drenaje.
• ON-state: electrones tunelizando desde la fuente
• OFF-state: agujeros de túnel del drenaje

Por lo tanto, la barrera Schottky CNT FET es efectivamente un transistor ambipolar, ya que la corriente electrónica ON se opone a una corriente de agujero OFF, que fluye a valores más pequeños que el valor de voltaje de puerta crítico.

De los diagramas de banda, uno puede deducir la $${\ displaystyle I_ {d} -V_ {g}}Características de los FET Schottky CNT. Comenzando en el estado APAGADO, hay una corriente de agujero, que disminuye gradualmente a medida que aumenta el voltaje de la compuerta hasta que se opone con la misma fuerza la corriente de electrones proveniente de la fuente. Por encima de la tensión de compuerta crítica en el estado ENCENDIDO, la corriente de electrones prevalece y alcanza un máximo en$${\ displaystyle V_ {g} = V_ {d}} y el $${\ displaystyle IV} La curva tendrá aproximadamente una forma de V.

 las ecuaciones de Bargmann-Wigner describen partículas libres de arbitraria espín j , un entero para bosones ( j = 1, 2, 3 ... ) o de medio entero por fermiones ( j = ¹ / ₂ , ³ / ₂ , ⁵ / ₂ ... ). Las soluciones a las ecuaciones son funciones de onda , matemáticamente en forma de campos de espín de múltiples componentes .

Se nombran después de Valentine Bargmann y Eugene Wigner .

Historia [ editar ]

Paul Dirac publicó por primera vez la ecuación de Dirac en 1928, y más tarde (1936) la extendió a partículas de cualquier giro de medio entero antes de que Fierz y Pauli encontraran las mismas ecuaciones en 1939, y aproximadamente una década antes de Bargman y Wigner. ^[1] Eugene Wigner escribió un artículo en 1937 sobre representaciones unitarias del grupo no homogéneo de Lorentz , o el grupo de Poincaré . ^{[2] Las} notas de Wigner Ettore Majorana y Dirac utilizaron operadores infinitesimales aplicados a las funciones. Wigner clasifica las representaciones como irreducibles, factoriales y unitarias.

En 1948, Valentine Bargmann y Wigner publicaron las ecuaciones que ahora llevan su nombre en un artículo sobre una discusión teórica grupal sobre las ecuaciones de onda relativistas. ^[3]

Declaración de las ecuaciones [ editar ]

Para una partícula libre de espín j sin carga eléctrica , las ecuaciones de BW son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales lineales acopladas de 2 j , cada una con una forma matemática similar a la ecuación de Dirac . El conjunto completo de ecuaciones es ^{[1] [4] [4] [5]}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & \ left (- \ gamma ^ {\ mu} {\ hat {P}} _ {\ mu} + mc \ right) _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ { 1} '} \ psi _ {\ alpha' _ {1} \ alpha _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha _ {2j}} = 0 \\ & \ left (- \ gamma ^ {\ mu} {\ hat {P}} _ {\ mu} + mc \ right) _ {\ alpha _ {2} \ alpha _ {2} '} \ psi _ {\ alpha _ {1} \ alpha' _ { 2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha _ {2j}} = 0 \\ & \ qquad \ vdots \\ & \ left (- \ gamma ^ {\ mu} {\ hat {P}} _ {\ mu} + mc \ right) _ {\ alpha _ {2j} \ alpha '_ {2j}} \ psi _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha' _ {2j}} = 0 \\\ end {alineado}}}

que siguen el patrón;

$${\ displaystyle \ left (- \ gamma ^ {\ mu} {\ hat {P}} _ {\ mu} + mc \ right) _ {\ alpha _ {r} \ alpha '_ {r}} \ psi _ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha '_ {r} \ cdots \ alpha _ {2j}} = 0}

( 1 )

para r = 1, 2, ... 2 j . (Algunos autores, por ejemplo, Loide y Saar ^[4], usan n = 2 j para eliminar factores de 2. También el número cuántico de espín generalmente se indica con s en mecánica cuántica, sin embargo, en este contexto, j es más típico en la literatura). Toda la función de onda ψ = ψ ( r , t ) tiene componentes

$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha _ {2j}} (\ mathbf {r}, t)}

y es un rango-2 j 4-componente de campo spinor . Cada índice toma los valores 1, 2, 3 o 4, por lo que hay 4 ^2 jcomponentes de todo el campo del rotor ψ , aunque una función de onda completamente simétrica reduce el número de componentes independientes a 2 (2 j + 1) . Además, γ ^μ = (γ ⁰ , γ ) son las matrices gamma , y

$${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ mu} = i \ hbar \ partial _ {\ mu}}

es el operador de 4 momentos .

El operador que constituye cada ecuación, (−γ ^μ P _μ + mc ) = (- iħ γ ^μ ∂ _μ + mc ) , es una matriz de 4 × 4 , debido a las matrices γ ^μ , y el término mc es escalar-multiplica el 4 Matriz de identidad × 4 (usualmente no escrita por simplicidad). Explícitamente, en la representación de Dirac de las matrices gamma : ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc&=-\gamma ^{0}{\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\gamma }}\cdot (-{\hat {\mathbf {p} }})+mc\\[6pt]&=-{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{pmatrix}}{\frac {\hat {E}}{c}}+{\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&I_{2}\\\end{pmatrix}}mc\\[8pt]&={\begin{pmatrix}-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0&{\hat {p}}_{z}&{\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y}\\0&-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&{\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y}&-{\hat {p}}_{z}\\-{\hat {p}}_{z}&-({\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y})&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0\\-({\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y})&{\hat {p}}_{z}&0&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$

donde σ = (σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ ) = (σ _x , σ _y , σ _z ) es un vector de las matrices de Pauli , E es el operador de energía, p = ( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) = ( p _x , p _y , p _z ) es el operador de 3 momentos , I ₂ denota la matriz de identidad 2 × 2 , los ceros (en la segunda línea) son en realidad 2 × 2 bloques de matrices cero .

El operador de la matriz anterior se contrae con un índice bispinor de ψ a la vez (vea la multiplicación de la matriz), por lo que algunas propiedades de la ecuación de Dirac también se aplican a las ecuaciones BW:

• las ecuaciones son covariantes de Lorentz,
• todos los componentes de las soluciones satisfy también satisfacen la ecuación de Klein-Gordon y, por lo tanto, cumplen la relación relativista de energía-momento ,

$${\ displaystyle E ^ {2} = (pc) ^ {2} + (mc ^ {2}) ^ {2}}

• Todavía es posible la segunda cuantización .

A diferencia de la ecuación de Dirac, que puede incorporar el campo electromagnético a través de un acoplamiento mínimo , el formalismo B – W comprende contradicciones y dificultades intrínsecas cuando se incorpora la interacción del campo electromagnético. En otras palabras, no es posible realizar el cambio P _μ → P _μ - eA _μ , donde e es la carga eléctrica de la partícula y A _μ = ( A ₀ , A ) es el cuatro potencial electromagnético . ^[6] [7]Un enfoque indirecto para investigar las influencias electromagnéticas de la partícula es derivar las corrientes electromagnéticas de cuatro corrientes y los momentos multipolares de la partícula, en lugar de incluir las interacciones en las ecuaciones de onda en sí mismas. ^[8] [9]

Estructura de grupo de Lorentz [ editar ]

La representación del grupo de Lorentz para las ecuaciones de BW es ^[6]

$${\ displaystyle D ^ {\ mathrm {BW}} = \ bigotimes _ {r = 1} ^ {2j} \ left [D_ {r} ^ {(1 / 2,0)} \ oplus D_ {r} ^ { (0,1 / 2)} \ right] \ ,.}

donde cada D _r es una representación irreducible. Esta representación no tiene un giro definido a menos que jsea igual a 1/2 o 0. Uno puede realizar una descomposición de Clebsch-Gordan para encontrar los términos irreductibles ( A , B ) y, por lo tanto, el contenido del giro. Esta redundancia requiere que una partícula de espín definido j que se transforme bajo la representación D ^BW satisfaga las ecuaciones de campo.

Las representaciones D ^{( j , 0)} y D ^(0, j ) pueden representar cada una por separado partículas de espín j . Un estado o campo cuántico en tal representación no satisfaría ninguna ecuación de campo, excepto la ecuación de Klein-Gordon.

Formulación en espacio-tiempo curvado [ editar ]

Artículos principales: espacio-tiempo y formalismo cartaniano (física).

Siguiendo a M. Kenmoku, ^[10] en el espacio local de Minkowski, las matrices gamma satisfacen las relaciones anticomutación :

$${\ displaystyle [\ gamma ^ {i}, \ gamma ^ {j}] _ {+} = 2 \ eta ^ {ij} I_ {4}}

donde η ^ij = diag (−1, 1, 1, 1) es la métrica de Minkowski . Para los índices latinos aquí, i, j = 0, 1, 2, 3 . En el espacio-tiempo curvo son similares:

$${\ displaystyle [\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu}] _ {+} = 2g ^ {\ mu \ nu}}

donde las matrices de gamma espacial se contraen con la vierbein b _i ^μ para obtener γ ^μ = b _i ^μ γ ⁱ , yg ^μν = b ^i μ b _i ^ν es el tensor métrico . Para los índices griegos; μ, ν = 0, 1, 2, 3 .

Un derivado covariante para los espinores es dado por

$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} + \ Omega _ {\ mu}}

con la conexión Ω dada en términos de la conexión de giro ω por:

$${\ displaystyle \ Omega _ {\ mu} = {\ frac {1} {4}} \ parcial _ {\ mu} \ omega ^ {ij} (\ gamma _ {i} \ gamma _ {j} - \ gamma _ {j} \ gamma _ {i})}

La derivada covariante se transforma como ψ :

$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {\ mu} \ psi \ rightarrow D (\ Lambda) {\ mathcal {D}} _ {\ mu} \ psi}

Con esta configuración, la ecuación ( 1 ) se convierte en:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & (- i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} {\ mathcal {D}} _ {\ mu} + mc) _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {1 } '} \ psi _ {\ alpha' _ {1} \ alpha _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha _ {2j}} = 0 \\ & (- i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} {\ mathcal {D}} _ {\ mu} + mc) _ {\ alpha _ {2} \ alpha _ {2} '} \ psi _ {\ alpha _ {1} \ alpha' _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha _ {2j}} = 0 \\ & \ qquad \ vdots \\ & (- i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} {\ mathcal {D}} _ {\ mu } + mc) _ {\ alpha _ {2j} \ alpha '_ {2j}} \ psi _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha' _ {2j }} = 0 \,. \\\ end {alineado}}}