MECÁNICA CUÁNTICA

 límite de Bargmann , llamado así por Valentine Bargmann , proporciona un límite superior sobre el número N _l de estados ligados en un sistema. Toma la forma

{\ displaystyle N_ {l} \ leq {\ frac {1} {2l + 1}} {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} r | V (r) | _ {V <0 dr="" font="">

Tenga en cuenta que el potencial de la función delta de Dirac alcanza este límite.

 la ecuación Belavkin , también conocida como la ecuación Belavkin-Schrödinger , ecuación de filtrado cuántica , ecuación maestra estocástico , es una ecuación diferencial estocástica cuántica que describe la dinámica de un sistema cuántico de someterse a observación en tiempo continuo. Fue derivado y en adelante estudiado por Viacheslav Belavkin en 1988. 

Descripción general [ editar ]

A diferencia de la ecuación de Schrödinger , que describe la evolución determinista de la función de onda $${\ displaystyle \ psi (t)}de un sistema cerrado (sin interacción), la ecuación de Belavkin describe la evolución estocástica de una función de onda aleatoria $${\ displaystyle \ psi (t, \ omega)}de un sistema cuántico abierto interactuando con un observador:

$${\ displaystyle d \ psi = - \ left ({\ frac {1} {2}} L ^ {\ ast} L + {\ frac {i} {\ hbar}} H \ right) \ psi dt + L \ psi dy}

Aquí, $${\ displaystyle L} es un operador autoadjunto (o un vector de columna de operadores) del sistema acoplado al campo externo, $${\ displaystyle H} es el hamiltoniano, $${\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}}} es la unidad imaginaria, $${\ displaystyle \ hbar} es la constante de Planck, y $${\ displaystyle y (t) = \ int _ {0} ^ {t} dy (r)}es un proceso estocástico que representa el ruido de medición que es una martingala con incrementos independientes con respecto a la medida de probabilidad de entrada$${\ displaystyle P (0, d \ omega) = \ | \ psi (0, \ omega) \ | ^ {2} \ mu (d \ omega)}. Tenga en cuenta que este ruido tiene incrementos dependientes con respecto a la medida de probabilidad de salida$${\ displaystyle P (t, d \ omega) = \ | \ psi (t, \ omega) \ | ^ {2} \ mu (d \ omega)}Representando el proceso de innovación de salida (la observación). por$${\ displaystyle L = 0}, la ecuación se convierte en la ecuación de Schrödinger estándar .

El proceso estocástico. $${\ displaystyle y (t)}puede ser una mezcla de dos tipos básicos: el tipo Poisson (o salto )$${\ displaystyle y (t) \ simeq n (t) -t}, dónde $${\ displaystyle n (t)}es un proceso de Poisson correspondiente a la observación de conteo, y el tipo Brownian (o difusión )$${\ displaystyle y (t) \ simeq w (t)}, dónde $${\ displaystyle w (t)}Es el proceso estándar de Wiener correspondiente a la observación continua. Las ecuaciones del tipo de difusión se pueden derivar como el límite central de las ecuaciones del tipo de salto con la tasa esperada de los saltos aumentando hasta el infinito.

La funcion de onda aleatoria $${\ displaystyle \ psi (t, \ omega)} Se normaliza solo en el sentido cuadrático medio. $${\ displaystyle \ int \ | \ psi (t, \ omega) \ | ^ {2} \ mu (d \ omega) = \ | \ psi _ {0} \ | = 1}pero en general $${\ displaystyle \ psi (t, \ omega)} no se puede normalizar para cada $${\ displaystyle \ omega}. La normalización de$${\ displaystyle \ psi (t, \ omega)} para cada $${\ displaystyle \ omega}da el vector de estado posterior aleatorio $${\ displaystyle \ varphi (t, \ omega) = \ psi (t, \ omega) / \ | \ psi (t, \ omega) \ |}, cuya evolución se describe mediante la ecuación de Belavkin posterior, que no es lineal, porque los operadores $${\ displaystyle L} y $${\ displaystyle H} depender de $${\ displaystyle \ varphi}Debido a la normalización. El proceso estocástico.$${\ displaystyle y (t)} en la ecuación posterior tiene incrementos independientes con respecto a la medida de probabilidad de salida $${\ displaystyle P (t, d \ omega) = \ | \ psi (t, \ omega) \ | ^ {2} \ mu (d \ omega)}, pero no con respecto a la medida de entrada. Belavkin también derivó la ecuación lineal para el operador de densidad no normalizado$${\ displaystyle \ varrho (t, \ omega) = \ psi (t, \ omega) \ psi ^ {\ ast} (t, \ omega)} y la ecuación no lineal correspondiente para el operador de densidad posterior aleatorio normalizado $${\ displaystyle \ rho (t, \ omega) = \ varphi (t, \ omega) \ varphi ^ {\ ast} (t, \ omega)}. Para dos tipos de ruido de medición, esto da ocho ecuaciones diferenciales estocásticas cuánticas básicas. Las formas generales de las ecuaciones incluyen todos los tipos de ruido y sus representaciones en el espacio Fock . ^[4] [5]

La ecuación no lineal que describe la observación de la posición de una partícula libre, que es un caso especial de la ecuación de Belavkin posterior del tipo de difusión, también fue obtenida por Diosi ^[6] y apareció en los trabajos de Gisin, ^[7] Ghirardi, Pearle y Rimini, ^[8] aunque con una motivación o interpretación bastante diferente. Se postularon ecuaciones no lineales similares para operadores de densidad posterior (aunque sin derivación) en la óptica cuántica y en la teoría de las trayectorias cuánticas, ^[9], donde se denominan ecuaciones maestras estocásticas . El promedio de las ecuaciones para los operadores de densidad aleatoria.$${\ displaystyle \ rho (t, \ omega)} sobre todas las trayectorias aleatorias $${\ displaystyle \ omega}conduce a la ecuación de Lindblad , ^[10] que es determinista.

Las ecuaciones no lineales de Belavkin para los estados posteriores desempeñan el mismo papel que la ecuación de Stratonovich- Kushner en probabilidad clásica, mientras que las ecuaciones lineales corresponden a la ecuación de Zakai . ^[11] Las ecuaciones de Belavkin describen la decoherencia en tiempo continuo del estado inicialmente puro$${\ displaystyle \ rho (0) = \ psi _ {0} \ psi _ {0} ^ {\ ast}} en un estado posterior mixto $${\ displaystyle \ rho (t) = \ int \ varphi (t, \ omega) \ varphi ^ {\ ast} (t, \ omega) P (t, d \ omega)}dando una descripción rigurosa de la dinámica del colapso de la función de onda debido a una observación o medición. ^{[12][13] [14]}

Medición sin demolición y filtrado cuántico [ editar ]

La no conmutatividad presenta un desafío importante para la interpretación probabilística de las ecuaciones diferenciales estocásticas cuánticas debido a la no existencia de expectativas condicionales para pares generales de observables cuánticos. Belavkin resolvió este problema descubriendo la relación de incertidumbre error-perturbación y formulando el principio de no demolición de la medición cuántica. ^[13] [15] En particular, si el proceso estocástico$${\ displaystyle dy (t)} corresponde al error $${\ displaystyle e (t) dt = dw} (ruido blanco en el caso difusivo) de una observación ruidosa $${\ displaystyle Y (t) = X (t) + e (t)} de operador $${\ displaystyle X (t) = \ lambda [L (t) + L ^ {\ ast} (t)]} con el coeficiente de exactitud {\ displaystyle \ lambda> 0}, luego la observación indirecta perturba la dinámica del sistema por una fuerza estocástica. $${\ displaystyle f (t)}, llamada la fuerza de Langevin , que es otro ruido blanco de intensidad.$${\ displaystyle (\ hbar \ lambda) ^ {2}} Eso no conmuta con el error. $${\ displaystyle e (t)}. El resultado de tal perturbación es que el proceso de salida$${\ displaystyle Y (t)} es conmutativo $${\ displaystyle [Y (s), Y (t)] = 0}, y por lo tanto $${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} Y (r) dr} corresponde a una observación clásica, mientras que los operadores del sistema $${\ displaystyle X} satisfacer la condición de no demolición: todos los observables futuros deben conmutar con las observaciones pasadas (pero no con las observaciones futuras): $${\ displaystyle [X (s), Y (t)] = 0} para todos $${\ displaystyle s \ geq t} (pero no {\ displaystyle s ). Tenga en cuenta que la conmutación de$${\ displaystyle X (s)} con $${\ displaystyle Y (t)} y otro operador $${\ displaystyle Z (s)} con $${\ displaystyle Y (t)} no implica la acumulación de $${\ displaystyle X (s)} con $${\ displaystyle Z (s)}, por lo que el álgebra de futuros observables sigue siendo no conmutativo. La condición de no demolición es necesaria y suficiente para la existencia de expectativas condicionales.$${\ displaystyle \ mathbb {E} \ {X (s) \ mid Y (t) \}}, lo que hace posible el filtrado cuántico. ^[dieciséis]

Ecuaciones de estado posterior [ editar ]

Contando la observación [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle n (t)}Ser un proceso de Poisson con incrementos hacia adelante.$${\ displaystyle dn (t) = 0} casi en todas partes y $${\ displaystyle dn (t) = 1} de lo contrario y teniendo la propiedad $${\ displaystyle (dn) ^ {2} = dn}. El número esperado de eventos es$${\ displaystyle \ mathbb {E} \ {n (t) \} = \ nu t}, dónde $${\ displaystyle \ nu}Es la tasa esperada de saltos. Entonces sustituyendo$${\ displaystyle m (t) = {\ frac {n (t) - \ nu t} {\ sqrt {\ nu}}}} para el proceso estocástico $${\ displaystyle y (t)} da la ecuación de Belavkin lineal para la función de onda aleatoria no normalizada $${\ displaystyle \ psi (t, \ omega)}experimentando la observación de conteo. Sustituyendo$${\ displaystyle L = {\ sqrt {\ nu}} (CI)}, dónde $${\ displaystyle C} es el operador de colapso, y $${\ displaystyle H = E + i \ hbar {\ frac {\ nu} {2}} (CC ^ {\ ast})}, dónde $${\ displaystyle E} es el operador de energía, esta ecuación se puede escribir en la siguiente forma

$${\ displaystyle d \ psi = - \ left ({\ frac {\ nu} {2}} (C ^ {\ ast} CI) + {\ frac {i} {\ hbar}} E \ right) \ psi dt + (CI) \ psi dn}

Función de onda normalizada $${\ displaystyle \ varphi (t, \ omega) = \ psi (t, \ omega) / \ | \ psi (t, \ omega) \ |}se denomina vector de estado posterior , cuya evolución se describe mediante la siguiente ecuación no lineal

$${\ displaystyle d \ varphi = - \ left ({\ frac {\ nu} {2}} (C ^ {\ ast} C- \ | C \ varphi \ | ^ {2}) + {\ frac {i} {\ hbar}} E \ right) \ varphi dt + \ left ({\ frac {C} {\ | C \ varphi \ |}} - I \ right) \ varphi d {\ tilde {n}}}

dónde $${\ displaystyle {\ tilde {n}} (t)} tiene expectativa $${\ displaystyle \ mathbb {E} \ {{\ tilde {n}} (t) \} = \ nu \ | C \ varphi \ | ^ {2} t}. La ecuación posterior se puede escribir en la forma estándar.

$${\ displaystyle d \ varphi = - \ left ({\ frac {1} {2}} {\ tilde {L}} ^ {\ ast} {\ tilde {L}} + {\ frac {i} {\ hbar }} {\ tilde {H}} \ right) \ varphi dt + {\ tilde {L}} \ varphi d {\ tilde {m}}}

con $${\ displaystyle {\ tilde {L}} = {\ sqrt {\ nu}} (C- \ | C \ varphi \ |)}, $${\ displaystyle {\ tilde {H}} = E + i \ hbar {\ frac {\ nu} {2}} (CC ^ {\ ast}) \ | C \ varphi \ |}y $${\ displaystyle {\ tilde {m}} (t) = {\ frac {{\ tilde {n}} (t) - \ nu \ | C \ varphi \ | ^ {2} t} {{\ sqrt {\ nu}} \ | C \ varphi \ |}}}. Las ecuaciones correspondientes para el operador de densidad aleatoria no normalizado.$${\ displaystyle \ varrho (t, \ omega) = \ psi (t, \ omega) \ psi ^ {\ ast} (t, \ omega)} y para el operador de densidad posterior aleatorio normalizado. $${\ displaystyle \ rho (t, \ omega) = \ varphi (t, \ omega) \ varphi ^ {\ ast} (t, \ omega)} son como sigue

{\ displaystyle {\ begin {alineado} d \ varrho & = - [G \ varrho + \ varrho G ^ {\ ast} - \ nu \ varrho] dt + [C \ varrho C ^ {\ ast} - \ varrho] dn \\ d \ rho & = - [G \ rho + \ rho G ^ {\ ast} - \ nu \ rho \ mathrm {Tr} \ left \ {C \ rho C ^ {\ ast} \ right \}] dt + \ left ({\ frac {C \ rho C ^ {\ ast}} {\ mathrm {Tr} \ left \ {C \ rho C ^ {\ ast} \ right \}}} - \ rho \ right) d { \ tilde {n}} \ end {alineado}}}

dónde $${\ displaystyle G = {\ frac {\ nu} {2}} C ^ {\ ast} C + {\ frac {i} {\ hbar}} E}. Tenga en cuenta que la última ecuación es no lineal.

Observación continua [ editar ]

Proceso estocástico $${\ displaystyle m (t)}, definido en la sección anterior, tiene incrementos hacia adelante $${\ displaystyle (dm) ^ {2} = \ nu ^ {- 1/2} dm + dt}, que tienden a $${\ displaystyle dt} como $${\ displaystyle \ nu \ to \ infty}. Por lo tanto,$${\ displaystyle m (t)}se convierte en el proceso de Wiener estándar con respecto a la medida de probabilidad de entrada. Sustituyendo$${\ displaystyle w (t)} para $${\ displaystyle y (t)} da la ecuación de Belavkin lineal para la función de onda aleatoria no normalizada $${\ displaystyle \ psi (t, \ omega)}en continua observación. El proceso de salida$${\ displaystyle {\ tilde {m}} (t)} Se convierte en el proceso de innovación de difusión. $${\ displaystyle {\ tilde {w}} (t)} con incrementos $${\ displaystyle d {\ tilde {w}} (t, \ omega) = dw (t, \ omega) -2 \ mathrm {Re} \ langle \ varphi (t, \ omega) \ mid L \ varphi (t, \ omega) \ rangle dt}. La ecuación de Belavkin no lineal del tipo de difusión para el vector de estado posterior$${\ displaystyle \ varphi (t, \ omega) = \ psi (t, \ omega) / \ | \ psi (t, \ omega) \ |} es

$${\ displaystyle d \ varphi = - \ left ({\ frac {1} {2}} {\ tilde {L}} ^ {\ ast} {\ tilde {L}} + {\ frac {i} {\ hbar }} {\ tilde {H}} \ right) \ varphi dt + {\ tilde {L}} \ varphi d {\ tilde {w}}}

con $${\ displaystyle {\ tilde {L}} = L- \ mathrm {Re} \ langle \ varphi \ mid L \ varphi \ rangle} y $${\ displaystyle {\ tilde {H}} = H + i \ hbar {\ frac {1} {2}} (LL ^ {\ ast}) \ mathrm {Re} \ langle \ varphi \ mid L \ varphi \ rangle }. Las ecuaciones correspondientes para el operador de densidad aleatoria no normalizado.$${\ displaystyle \ varrho (t, \ omega) = \ psi (t, \ omega) \ psi ^ {\ ast} (t, \ omega)} y para el operador de densidad posterior aleatorio normalizado. $${\ displaystyle \ rho (t, \ omega) = \ varphi (t, \ omega) \ varphi ^ {\ ast} (t, \ omega)} son como sigue

{\ displaystyle {\ begin {alineado} d \ varrho & = - [K \ varrho + \ varrho K ^ {\ ast} -L \ varrho L ^ {\ ast}] dt + [L \ varrho + \ varrho L ^ { \ ast}] dw \\ d \ rho & = - [K \ rho + \ rho K ^ {\ ast} -L \ rho L ^ {\ ast}] dt + [L \ rho + \ rho L ^ {\ ast } - \ rho \ mathrm {Tr} \ left \ {(L + L ^ {\ ast}) \ rho \ right \}] d {\ tilde {w}} \ end {alineado}}}

dónde $${\ displaystyle K = {\ frac {1} {2}} L ^ {\ ast} L + {\ frac {i} {\ hbar}} H}. La segunda ecuación es no lineal debido a la normalización. Porque$${\ displaystyle \ mathbb {E} \ {dw (t) \} = 0}, tomando el promedio de estas ecuaciones estocásticas sobre todas las $${\ displaystyle \ omega}conduce a la ecuación de Lindblad

$${\ displaystyle {\ frac {d \ rho} {dt}} = - [K \ rho + \ rho K ^ {\ ast}] + L \ rho L ^ {\ ast}}

Ejemplo: observación continua de la posición de una partícula libre [ editar ]

Considera una partícula de masa libre. $${\ displaystyle m}. La posición y el momento observable corresponden respectivamente a los operadores.$${\ displaystyle {\ hat {x}}} de multiplicación por $${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle {\ hat {p}} = (\ hbar / i) d / dx}. Haciendo las siguientes sustituciones en la ecuación de Belavkin

$${\ displaystyle L = {\ hat {x}}, \ qquad H = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}}}

La ecuación estocástica posterior se convierte en.

$${\ displaystyle d \ varphi = - \ left ({\ frac {1} {2}} ({\ hat {x}} - \ langle {\ hat {x}} \ rangle) ^ {2} + {\ frac {i} {\ hbar}} {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} \ right) \ varphi dt + {\ Bigl (} {\ hat {x}} - \ langle { \ hat {x}} \ rangle {\ Bigr)} \ varphi [dy-2 \ langle {\ hat {x}} \ rangle dt]}

dónde $${\ displaystyle \ langle {\ hat {x}} \ rangle (t) = \ mathrm {Tr} \ left \ {{\ hat {x}} \ rho (t) \ right \}} es la expectativa posterior de $${\ displaystyle {\ hat {x}}}. Motivado por la teoría del colapso espontáneo en lugar de la teoría del filtrado, esta ecuación también fue obtenida por Diosi, ^[17] que muestra que el ruido de medición$${\ displaystyle dy-2 \ langle {\ hat {x}} \ rangle dt} es el incremento $${\ displaystyle d \ xi}de un proceso estándar de Wiener . Hay soluciones de forma cerrada para esta ecuación, ^[18] , así como ecuaciones para una partícula en un potencial lineal o cuadrático. ^{[1] [3] [19]}Para un estado inicial gaussiano$${\ displaystyle \ psi _ {0}}estas soluciones corresponden al filtro lineal cuántico óptimo. ^{[15] Las}soluciones a la ecuación de Belavkin muestran que en el límite$${\ displaystyle t \ to \ infty}la función de onda tiene una dispersión finita, ^[20] por lo tanto, resuelve el efecto cuántico Zeno .