Estadística descriptiva

MEDIA

La media x (también llamada promedio o media aritmética) de un conjunto de datos (X₁,X₂,…,X_N) es una medida de posición central. La definimos como el valor característico de la serie de datos resultado de la suma de todas las observaciones dividido por el número total de datos.

Es decir:

Si se trata de los datos (X₁,X₂,…,X_N) de una muestra, estaremos en la media muestral. Si el conjunto de datos es toda la población, se llama media poblacional.

Visto desde un punto de vista más conceptual, la media aritmética es el centro de los datos en el sentido numérico, ya que intenta equilibrarlos por exceso y por defecto. Es decir, si sumamos todas las diferencias de los datos a la media es cero.

Ejemplo

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Tenemos las edades de los once jugadores de un equipo de fútbol y queremos calcular su media.

Para ello, sumamos todas las edades y las dividimos por el número total de elementos, o sea once jugadores.

Media a partir de las frecuencias relativas

En un conjunto de datos discretos, podemos calcular la media aritmética a partir de las frecuencias relativas de las observaciones distintas.

El sumatorio está extendido a las observaciones diferentes de los datos.

Otros tipos de media

La media aritmética es la más conocida. Existen otras medias como medida de posición central, que según el tipo de datos será una medida más centralizadora que la media aritmética.

• Media geométrica: se calcula sobre un conjunto de números estrictamente positivos. Es la raíz N-ésima del producto de los N elementos. Está indicada para calcular medias de porcentajes, tantos por uno, puntuaciones o índices. Tiene la ventaja de que no es tan sensible a los valores extremos.
• Media armónica: es el recíproco de la suma de los recíprocos (donde 1/X_i es el recíproco de X_i)) multiplicado por el número de elementos del conjunto. Suele utilizarse principalmente para calcular la media de velocidades, tiempos o en electrónica.
• Media cuadrática: se define como la raíz cuadrada del promedio de los elementos al cuadrado. La media cuadrática es muy útil para variables que toman valores negativos y positivos y su signo no es importante e interesa el valor absoluto del elemento. Por ejemplo, los errores de medida, el valor eficaz de un parámetro sinusoidal en electricidad, etc.
• Media ponderada: consiste en otorgar a cada observación del conjunto de datos unos pesos según la importancia de cada elemento. Tiene numerosas aplicaciones, como el cálculo del IPC (Índice de Precios de Consumo), calcular la nota media de una asignatura ponderando exámenes, trabajos, etc.

Relación entre medias

Existe una relación de orden entre cuatro tipos de media. En esta relación se excluye la media ponderada porque depende de los pesos. Sean:

• H la media armónica
• MG la media geométrica
• x la media aritmética
• RMS la media cuadrática

Entonces:

Media estadística

La media estadística se usa en estadística para dos conceptos diferentes aunque numéricamente similares:

• La media muestral, que es un estadístico que se calcula a partir de la media aritmética de un conjunto de valores de una variable aleatoria.
• La media poblacional, valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria.

En la práctica dada una muestra estadística suficientemente grande el valor de la media muestral de la misma es numéricamente muy cercano a la esperanza matemática de la variable aleatoria medida en esa muestra. Dicho valor esperado, sólo es calculable si se conoce con toda exactitud la distribución de probabilidad, cosa que raramente sucede en la realidad, por esa razón, a efectos prácticos la llamada media se refiere normalmente a la media muestral.

Media muestral

La media muestral es una variable aleatoria, ya que depende de la muestra, si bien es una variable aleatoria en general con una varianza menor que las variables originales usadas en su cálculo. Si la muestra es grande y está bien escogida, puede tratarse la media muestra como un valor numérico que aproxima con precisión la media poblacional, que caracteriza una propiedad objetiva de la población. Se define como sigue, si se tiene una muestra estadística de valores ${\displaystyle (X_{1},X_{2},...,X_{n})}$ de valores para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,θ) [donde θ es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima como:

${\displaystyle {\bar {X}}_{n}=T(X_{1},X_{2},...,X_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}={\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}}$

Media poblacional

La media poblacional técnicamente no es una media sino un parámetro fijo que coincide con la esperanza matemática de una variable aleatoria. El nombre "media poblacional" se usa para significar que valor numérico de una media muestral es numéricamente cercano al parámetro media poblacional, para una muestra adecuada y suficientemente grande.

Media Poblacional = µ = X
                                          N
 

 = sumatoria
µ = media
N = número de elementos
X = valores o datos

Esta fórmula se lee:

“mu es igual a la sumatoria de x dividido entre N”
 

                                        _
Media Muestral:      x  =  x
                                          n
 
 

Ejemplo:  Calcule la media de los siguientes  números:

 10 , 11 , 12 , 12 , 13
 

1. Sumar las cantidades       < 10 + 11 + 12 + 12 + 13 = 58>
2. Dividir la suma por la cantidad de elementos    < 58/5>
3. El resultado es la media    <11 .6="">
 

Por lo tanto, la media de los 5 números  es 11.6. Note que la media resulta un número que está entre el rango de elementos; en este caso, 11.6 está entre 10,11,12 y 13.