Estadística descriptiva

MEDIANA

Si el conjunto de datos no está ordenado, la mediana es el valor del conjunto tal que el 50% de los elementos son menores o iguales y el otro 50% mayores o iguales.

Cálculo de la mediana

Sea (X₁,X₂,…,X_N) un conjunto de datos ordenado. El cálculo de la mediana depende de si el número de elementos N es par o impar.

• Si N es impar, la mediana es el valor que está al medio, es decir:
  
  
• Si N es par, la mediana es la media de los dos valores del centro, N/2 y N/2+1:
  
  

Ejemplo

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Suponemos que tenemos una muestra con las edades de los once jugadores de un equipo de fútbol.

Para calcular la mediana necesitaríamos ordenar los elementos de menor a mayor y ver cual es el elemento que deja a izquierda y derecha el mismo número de elementos.

Como el número de elementos del conjunto es impar, la mediana es el sujeto número 6, que se encuentra en el medio del conjunto. Por lo tanto Mediana(X)=26.

Para calcular la mediana, ordena los números que te han dado según su valor y encuentra el que queda en el medio.

Mira estos números:

3, 13, 7, 5, 21, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29

Si los ordenamos queda:

3, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 23, 23, 23, 23, 29, 39, 40, 56

Hay quince números. El del medio es el octavo número:

3, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 23, 23, 23, 23, 29, 39, 40, 56

La mediana de este conjunto de valores es 23.

(Fíjate en que no importan mucho los otros números de la lista)

---

PERO si hay una cantidad par de números la cosa cambia un poco.

En ese caso tenemos que encontrar el par central de números, y después calcular su valor medio. Esto se hace simplemente sumándolos y dividiendo entre dos.

Lo vemos mejor con un ejemplo:

3, 13, 7, 5, 21, 23, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29

Si ordenamos los números nos queda:

3, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 23, 23, 23, 23, 29, 40, 56

Ahora hay catorce números así que no tenemos sólo uno en el medio, sino un par:

3, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 23, 23, 23, 23, 29, 40, 56

En este ejemplo los números intermedios son 21 y 23.

Para calcular el valor en medio de ellos, sumamos y dividimos entre 2:

21 + 23 = 44
44 ÷ 2 = 22

Así que la mediana en este ejemplo es 22. 

En el ámbito de la estadística, la mediana (del latín mediānus 'del medio'¹ ) representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

Visualización geométrica de la moda, la mediana y de la media de una función arbitraria de densidad de probabilidad.

Cálculo

Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:

1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.

A continuación veamos cada una de ellas:

Datos sin agrupar

Sean ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n}}$ los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como ${\displaystyle M_{e}}$, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición ${\displaystyle (n+1)/2}$ una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: ${\displaystyle M_{e}=x_{(n+1)/2}}$.

Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: ${\displaystyle x_{1}=3}$, ${\displaystyle x_{2}=6}$, ${\displaystyle x_{3}=7}$, ${\displaystyle x_{4}=8}$, ${\displaystyle x_{5}=9}$ => El valor central es el tercero: ${\displaystyle x_{(5+1)/2}=x_{3}=7}$. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$) y otros dos por encima de él (${\displaystyle x_{4}}$, ${\displaystyle x_{5}}$).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando ${\displaystyle n}$ es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones ${\displaystyle n/2}$ y ${\displaystyle n/2+1}$. Es decir: ${\displaystyle M_{e}=(x_{\frac {n}{2}}+x_{{\frac {n}{2}}+1})/2}$.

Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: ${\displaystyle x_{1}=3}$, ${\displaystyle x_{2}=6}$, ${\displaystyle x_{3}=7}$, ${\displaystyle x_{4}=8}$, ${\displaystyle x_{5}=9}$, ${\displaystyle x_{6}=10}$. Aquí dos valores que están por debajo del ${\displaystyle x_{\frac {6}{2}}=x_{3}=7}$ y otros dos que quedan por encima del siguiente dato ${\displaystyle x_{{\frac {6}{2}}+1}=x_{4}=8}$. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: ${\displaystyle M_{e}={\frac {x_{3}+x_{4}}{2}}={\frac {7+8}{2}}=7,5}$.

Datos agrupados

Al tratar con datos agrupados, si ${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$ coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

${\displaystyle {\frac {N_{i}-N_{i-1}}{a_{i}-a_{i-1}}}={\frac {{\frac {n}{2}}-N_{i-1}}{p}}\Rightarrow p={\frac {{\frac {n}{2}}-N_{i-1}}{N_{i}-N_{i-1}}}(a_{i}-a_{i-1})}$

Donde ${\displaystyle N_{i}}$ y ${\displaystyle N_{i-1}}$ son las frecuencias absolutas acumuladas tales que ${\displaystyle N_{i-1}<{\frac {n}{2}}$, ${\displaystyle a_{i-1}}$ y ${\displaystyle a_{i}}$ son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y ${\displaystyle M_{e}=a_{i-1}+p}$ es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que ${\displaystyle a_{i}-a_{i-1}}$ es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

Ejemplos para datos sin agrupar

Ejemplo 1: cantidad (N) impar de datos

xi	fi	Ni
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	8	21 > 19.5
6	9	30
7	3	33
8	4	37
9	2	39

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	8	9	3	4	2

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas ${\displaystyle N_{i}}$. Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n impar, se obtiene ${\displaystyle X(39+1)/2=X20}$.

• Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

Ejemplo 2: cantidad (N) par de datos

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	6	9	4	4	2

xi	fi	Ni+w
1	2	2
2	2	4
3	4	8
4	5	13
5	6	19 = 19
6	9	28
7	4	32
8	4	36
9	2	38

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas ${\displaystyle N_{i}}$. Así, aplicando la fórmula asociada a la mediana para n par, se obtiene la siguiente fórmula: ${\displaystyle X=n/2==>X=(38/2)=>X=19}$ (Donde n= 38 alumnos divididos entre dos).

• Ni-1< n/2 < Ni = N18 < 19 < N19

Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar. En el ejemplo el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6 con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o más.

Ejemplo para datos agrupados

Entre 1,50 y 1,60 hay 2 estudiantes.
Entre 1,60 y 1,70 hay 5 estudiantes.

${\displaystyle Mediana=1.60+\left({\frac {(7/2)-2}{5}}\right)0.1=1.63}$

Método de cálculo general

xi	fi	Ni
[x11-x12]	f1	N1
.	.	.
.	.	.
.	.	N(i-2)
[x(i-1)1-x(i-1)2]	f(i-1)	f(i-1)-N(i-2)=${\displaystyle N_{i-1}}$
[xi1-xi2]	${\displaystyle f_{i}}$	fi-Ni-1=Ni
[x(i+1)1-x(i+1)2]	f(i+1)	f(i+1)-Ni=N(i+1)
.	.	.
.	.	.
.	.	.
[xM1-xM2]	fM	fM-N(M-1)=NM

Consideramos:

- x₁₁ valor mínimo< Entonces:

${\displaystyle Mediana=x_{i1}+\left({\cfrac {(N_{M}/2)-N_{i-1}}{f_{i}}}\right).(x_{i2}-x_{i1})}$

donde:

${\displaystyle x_{i1}}$ = es el límite inferior de la clase de la mediana.

${\displaystyle ({\cfrac {N_{M}}{2}})}$ = es la posición de la mediana.

${\displaystyle N_{i-1}}$ = es la frecuencia acumulada de la clase premediana.

${\displaystyle f_{i}}$ = es la frecuencia absoluta de la clase de la mediana.

${\displaystyle (x_{i2}-x_{i1})}$ = ${\displaystyle A_{i}}$ = Amplitud del intervalo de la clase de la mediana.