Estadística descriptiva

ASIMETRÍA Y CURTOSIS

La asimetría y curtosis informan sobre la forma de la distribución de una variable. Estas medidas permiten saber las características de su asimetría y homgeneidad sin necesidad de representarlos gráficamente.

Asimetría

La asimetría es la medida que indica la simetría de la distribución de una variable respecto a la media aritmética, sin necesidad de hacer la representación gráfica. Los coeficientes de asimetría indican si hay el mismo número de elementos a izquierda y derecha de la media.

Existen tres tipos de curva de distribución según su asimetría:

• Asimetría negativa: la cola de la distribución se alarga para valores inferiores a la media.
• Simétrica: hay el mismo número de elementos a izquierda y derecha de la media. En este caso, coinciden la media, la mediana y la moda. La distribución se adapta a la forma de la campana de Gauss, o distribución normal.
• Asimetría positiva: la cola de la distribución se alarga para valores superiores a la media.

Existen tres coeficientes de asimetría:

Coeficiente de asimetría de Fisher

ANUNCIOS

El coeficiente de asimetría de Fisher CA_F evalúa la proximidad de los datos a su media x. Cuanto mayor sea la suma ∑(x_i–x)³, mayor será la asimetría. Sea el conjunto X=(x₁, x₂,…, x_N), entonces la fórmula de la asimetría de Fisher es:

• Si CA_F<0 span="">: la distribución tiene una asimetría negativa y se alarga a valores menores que la media.
• Si CA_F=0: la distribución es simétrica.
• Si CA_F>0: la distribución tiene una asimetría positiva y se alarga a valores mayores que la media.

Existen tres coeficientes de asimetría:

Coeficiente de asimetría de Pearson

El coeficiente de asimetría de Pearson CA_P mide la diferencia entre la media y la moda respecto a la dispersión del conjunto X=(x₁, x₂,…, x_N).

Este procedimiento, menos usado, lo emplearemos solamente en distribuciones unimodales y poco asimétricas.

• Si CA_P<0 span="">: la distribución tiene una asimetría negativa, puesto que la media es menor que la moda.
• Si CA_P=0: la distribución es simétrica.
• Si CA_P>0: la distribución tiene una asimetría positiva, ya que la media es mayor que la moda.

Coeficiente de asimetría de Bowley

El coeficiente de asimetría de Bowley CA_B toma como referencia los cuartiles para determinar si la distribución es simétrica o no. Para aplicar este coeficiente, se supone que el comportamiento de la distribución en los extremos es similar. Sea el conjunto X=(x₁, x₂,…, x_N), la asimetría de Bowley es:

Esta fórmula viene de:

Recordemos que la mediana (Me) es lo mismo que el segundo cuartil (Q₂).

• Si CA_B<0 span="">: la distribución tiene una asimetría negativa, puesto que la distancia de la mediana al primer cuartil es menor que al tercero.
• Si CA_B=0: la distribución es simétrica, ya que el primer y tercer cuartil están a la misma distancia de la mediana.
• Si CA_B>0: la distribución tiene una asimetría positiva, ya que la distancia de la mediana al tercer cuartil es mayor que al primero.

Curtosis

La curtosis (o apuntamiento) es una medida de forma que mide cuán escarpada o achatada está una curva o distribución.

Este coeficiente indica la cantidad de datos que hay cercanos a la media, de manera que a mayor grado de curtosis, más escarpada (o apuntada) será la forma de la curva.

La curtosis se mide promediando la cuarta potencia de la diferencia entre cada elemento del conjunto y la media, dividido entre la desviación típica elevado también a la cuarta potencia. Sea el conjunto X=(x₁, x₂,…, x_N), entonces el coeficiente de curtosis será:

http://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/asimetria-curtosis/

Hasta ahora se han estudiado los parámetros de centralización y de dispersión que son las medidas más frecuentes que se calculan en cualquier estudio estadístico. Sin embargo existe también medidas que indican de la simetría o asimetría de la distribución y del achatamiento o no de la misma. Empezando con la simetría, es lógico pensar que si la distribución tiene una única moda y es simétrica, entonces las tres medidas de centralización coinciden. Si no es simétrica, suele suceder que la mediana esté comprendida entre la moda y la media. Medidas de simetría o asimetría. Miden la mayor o menor simetría de la distribución. Existen dos medidas de este tipo: Índice de simetría de Pearson:

Índice de simetría de Fisher:

Si la distribución es simétrica, ambos índices son iguales a 0; si es asimétrica a la derecha, ambos son positivos; y si es asimétrica a la izquierda, ambos índices son negativos. Medidas de curtosis. Miden la mayor o menor concentración de datos alrededor de la media. Se suele medir con el coeficiente de curtosis:

Si este coeficiente es nulo, la distribución se dice normal (similar a la distribución normal de Gauss) y recibe el nombre de mesocúrtica. Si el coeficiente es positivo, la distribución se llama leptocúrtica, más puntiaguda que la anterior. Hay una mayor concentración de los datos en torno a la media. Si el coeficiente es negativo, la distribución se llama platicúrtica y hay una menor concentración de datos en torno a la media. sería más achatada que la primera.