Estadística descriptiva

MEDIA GEOMÉTRICA

La media geométrica (MG) de un conjunto de números estrictamente positivos (X₁, X₂,…,X_N) es la raíz N-ésima del producto de los N elementos.

Todos los elementos del conjunto tienen que ser mayores que cero. Si algún elemento fuese cero (X_i=0), entonces la MG sería 0 aunque todos los demás valores estuviesen alejados del cero.

La media geométrica es útil para calcular medias de porcentajes, tantos por uno, puntuaciones o índices. Tiene la ventaja de que no es tan sensible como la media a los valores extremos.

Ejemplo

ANUNCIOS

En una empresa quieren saber la proporción media de mujeres en los diferentes departamentos. Para ello, se recoge el porcentaje de mujeres en los cinco principales departamentos.

Como es la media de porcentajes, calculamos la media geométrica que es más representativa.

Relación entre medias

Existe una relación de orden entre cuatro tipos de media. En esta relación se excluye la media ponderada porque depende de los pesos. Sean:

• H la media armónica
• MG la media geométrica
• x la media aritmética
• RMS la media cuadrática

Entonces:

En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números, es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.

${\displaystyle {\bar {x}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}}$

Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es

${\displaystyle {\sqrt[{2}]{2\cdot 18}}={\sqrt[{2}]{36}}=6}$

Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1\cdot 3\cdot 9}}={\sqrt[{3}]{27}}=3}$

Construcción geométrica para hallar las medias aritmética (A), cuadrática (Q), geométrica (G) y armónica (H) de dos números a y b.

Propiedades

• El logaritmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable.
• La media geométrica de un conjunto de números positivos es siempre menor o igual que la media aritmética:

${\displaystyle (x_{1}x_{2}\dots x_{n})^{\frac {1}{n}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}}{n}}}$

La igualdad sólo se alcanza si ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}}$.

Ventajas

• Considera todos los valores de la distribución
• Es menos sensible que la media aritmética a los valores extremos.

Desventajas

• Es de significado estadístico menos intuitivo que la media aritmética.
• Su cálculo es más difícil.
• Si un valor ${\displaystyle x_{i}=0\,}$ entonces la media geométrica se anula o no queda determinada.

Solo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos. Como hemos visto, si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0. Si hubiera un número negativo (o una cantidad impar de ellos) entonces la media geométrica sería o bien negativa, o bien inexistente en los números reales.

En muchas ocasiones se utiliza su trasformación en el manejo estadístico de variables con distribución no normal.

La media geométrica es relevante cuando varias cantidades son multiplicadas para producir un total.

Media geométrica ponderada

Al igual que en una media aritmética pueden introducirse pesos como valores multiplicativos para cada uno de los valores con el fin de ponderar o hacer pesar más en el resultado final ciertos valores, en la media geométrica pueden introducirse pesos como exponentes:

${\displaystyle {\bar {x}}=\left({\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}^{\alpha _{i}}}\right)^{\frac {1}{\sum _{i}{\alpha _{i}}}}=\left({x_{1}}^{\alpha _{1}}{x_{2}}^{\alpha _{2}}\dots {x_{n}}^{\alpha _{n}}\right)^{\frac {1}{\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n}}}}$

Donde las ${\displaystyle \alpha _{i}\,}$ son los «pesos».

Caso ilustrativo

Una cadena de expendedores de gasolina el año pasado aumentó sus ingresos respecto al año anterior en 21%; y han proyectado que este año van a llegar a un aumento de 28% con respecto al año pasado. ¿Cuánto es el promedio anual del aumento porcentual?

Definitivamente no es (21% + 28%):2 = 24,5%.

El monto de la producción, al final de dos años, es 100(1,21)(1,28)= 154,88. Si en cada año se tuviera una tasa anual de aumento de i% resulta

100 → 100(1+i) → 100(1 +i)².

Entonces

100(1 +i)² = 154,88

(1 +i)² = 1,5488

1 + i = ${\displaystyle {\sqrt {1,5488}}}$ =1,244507

i = 0,244507 = 24,451%¹

Dónde aparece

Geometría

• la altura de un triángulo rectángulo cumple ${\displaystyle h={\sqrt {mn}}}$, siendo m y n las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
• un cateto b cumple ${\displaystyle b={\sqrt {ma}}}$ m su proyección y a la hipotenusa.
• la tangente t a una circunferencia ${\displaystyle t={\sqrt {sk}}}$ , s es secante y k la parte interna.
• el lado de un cuadrado equivalente a un rectángulo es la media geométrica de los lados de este; el radio de un círculo equivalente a una elipse es la media geométrica de los semiejes de esta. Lo mismo el caso de la esfera con la elipsoide
• el lado (arista) d de un cubo equivalente a un ortoedro de lados a, b, c es ${\displaystyle d={\sqrt[{3}]{abc}}}$²

Pesas

El peso w de una sustancia que tiene pesos hallados por dos balanzas u y v , resulta ${\displaystyle w={\sqrt {uv}}}$³

MEDIA ARMÓNICA

La media armónica (H) de un conjunto de elementos no nulos (X₁, X₂,…,X_N) es el recíproco de la suma de los recíprocos (donde 1/X_i es el recíproco de X_i)) multiplicado por el número de elementos del conjunto (N).

La media armónica es la recíproca de la media aritmética. Los elementos del conjunto deben ser necesariamente no nulos. Esta media es poco sensible a los valores grandes, pero muy sensible a los valores próximos a cero, ya que los recíprocos 1/X_i son muy altos.

La media armónica no tiene un uso muy extenso en el mundo científico. Suele utilizarse principalmente para calcular la media de velocidades, tiempos o en electrónica.

Ejemplo

ANUNCIOS

Un tren realiza un trayecto de 400km. La vía tiene en mal estado que no permitían correr. Los primeros 100 km los recorre a 120km/h, los siguientes 100km la vía está en mal estado y va a 20km/h, los terceros a 100km/h y los 100 últimos a 130km/h. Para calcular el promedio de velocidades, calculamos la media armónica.

La media armónica es de H=52,61km/h.

Relación entre medias

Existe una relación de orden entre cuatro tipos de media. En esta relación se excluye la media ponderada porque depende de los pesos. Sean:

• H la media armónica
• MG la media geométrica
• x la media aritmética
• RMS la media cuadrática

Entonces:

http://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/media-armonica/

La media armónica (designada usualmente mediante H) de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

Así, dados n números x₁, x₂, ... , x_n la media armónica será igual a:

${\displaystyle {H}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\cfrac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\cfrac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\cfrac {1}{x_{n}}}}}}$

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.

La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

Propiedades

1. La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable.
2. Siempre se puede pasar de una media armónica a una media aritmética transformando adecuadamente los datos.
3. La media armónica siempre es menor o igual que la media aritmética, ya que para cualquier número real positivo ${\displaystyle \scriptstyle x_{i}>0}$:

${\displaystyle {\frac {n}{{\cfrac {1}{x_{1}}}+\dots +{\cfrac {1}{x_{n}}}}}\leq {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$

Ventaja

• Considera todos los valores de la distribución y en ciertos casos, es más representativa que la media aritmética.

Desventajas

• La influencia de los valores pequeños y el hecho que no se puede determinar en las distribuciones con algunos valores iguales a cero; por eso no es aconsejable su empleo en distribuciones donde existan valores muy pequeños.

Se suele utilizar para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc.

Curiosidades

La media armónica surge de manera natural al calcular el índice de Paasche, uno de los números índice más comunes. Considérese una serie temporal ${\displaystyle p_{1,t}q_{1,t}+\cdots +p_{n,t}q_{n,t}}$ que resulta de agregar el valor nominal de la producción o el gasto ${\displaystyle p_{i,t}q_{i,t}}$ en ${\displaystyle n}$ mercancías. Para aislar cambios en cantidades de cambios en precios el índice de Laspeyres fija los precios del periodo anterior y compara el gasto hoy con los precios de ayer al gasto de ayer

${\displaystyle L_{t}={\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i,t-1}q_{i,t}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t-1}q_{i,t-1}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i,t}}{q_{i,t-1}}}{\frac {p_{i,t-1}q_{i,t-1}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t-1}q_{i,t-1}}}}$

Al dejar los precios fijos, se interpreta que ${\displaystyle L_{t}}$ sólo refleja cambios en cantidades o reales. También se puede observar que se trata de una media donde el cambio en la cantidad de la mercancía ${\displaystyle i}$ aparece ponderada por el peso del gasto en esta mercancía sobre el gasto total.

El índice de Paasche, al revés, procede a dejar fijos los precios de hoy: compara el gasto hoy con el gasto de ayer si hubieran prevalecido los precios de hoy.

${\displaystyle P_{t}={\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t-1}}}.}$

De esta definición no podemos obtener una media ponderada como antes. Sin embargo, si se considera la fómula invertida ocurre que

${\displaystyle {\frac {1}{P_{t}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t-1}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i,t-1}}{q_{i,t}}}{\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t}}}}$

pero entonces

${\displaystyle P_{t}=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\frac {q_{i,t}}{q_{i,t-1}}}}{\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t}}}\right)^{-1}.}$

Esto es, el índice de Paasche resulta ser la media armónica de los cambios en cantidades en cada una de las mercancías.