Catenaria
Este es un caso particular de hilo sometido a un campo de fuerzas paralelas a una dirección fija. En dicho caso (ver entrada equilibrio de un cable) se sabe que la curva de equilibrio que adopta el hilo es plana.
El campo de fuerzas al que está sometido el hilo es su propio peso por unidad de longitud del hilo.
La ecuación de la curva de equilibrio la obtendremos a partir de la ecuación diferencial de equilibrio del cable plano (ver entrada equilibrio de un cable plano):
En este caso, tendremos:
siendo p el peso por unidad de longitud del cable. Por lo que la ecuación diferencial de equilibrio podemos escribirla de la siguiente forma:
Para integrar esta ecuación, recordemos que:
De este modo, la ecuación diferencial de equilibrio queda como sigue:
Si se integra esta última expresión, desde el punto x = x0 en el que se cumple que y' es nula, obtenemos:
Donde a es el parámetro de la catenaria, que tiene unidades de longitud y se define de la siguiente forma:
Volviendo a integrar, se obtiene la ecuación de la curva de equilibrio (catenaria):
A continuación, se recuerda la definición de las funciones hiperbólicas seno y coseno:
A partir de estas definiciones, se deducen las siguientes relaciones entre las funciones hiperbólicas. Estas relaciones pueden ser útiles en la resolución de problemas de catenarias:
A continuación, se verá la interpretación geométrica de las componentes de la ecuación de la curva de equilibrio (catenaria):
En la figura se puede observar que en el punto donde se alcanza el mínimo de la curva, x = x0, la altura de la curva de equilibrio es y = y0 + a
Si se toma como sistema de referencia al formado por los ejes x1 e y1 (denominados ejes canónicos o reducidos), puede observarse que el eje x1 pasará a una distancia igual a a (parámetro de la catenaria) por debajo del punto más bajo de la curva de equilibrio. A este eje también se le denomina base de la catenaria. Pues bien, en estos ejes, la ecuación de la catenaria queda de la siguiente forma:
Dado que el coseno hiperbólico es una función par, en el caso particular de que los dos puntos de amarre se encuentren a la misma altura, sabremos que el eje y1 pasará por el punto medio de la horizontal que une a dichos puntos.
MODELADO DE LOS CABLES SUSTENTADOR E HILO DE CONTACTO
La línea aérea de contacto o catenaria se instala considerando una serie de vanos, normalmente 15 ó 20, constituyendo cada serie un sistema independiente denominado cantón de seccionamiento. Los vanos suelen presentar una longitud aproximada de 60 m. En los ferrocarriles europeos se pueden considerar básicamente dos tipos de montajes: el sistema de péndola normal y el sistema de péndola en Y.
En la Figura 1 se muestra un vano con el sistema de péndola normal en el que se pueden distinguir tres tipos de cables: el sustentador, las péndolas y el hilo de contacto. Tanto el sustentador como el hilo de contacto están tensados por poleas y contrapesos independientes, situados en los extremos de cada cantón de seccionamiento.
Para modelar los cables del sustentador e hilo de contacto, se considera la ecuación diferencial de Euler-Bernouilli para un cable flexible y pretensado en movimiento:
 (1)
En la ecuación (1) p representa el peso lineal del cable, Tx la componente horizontal de la tensión mecánica del cable, E el módulo elástico del material, g la aceleración de la gravedad, y la posición del cable, e I el momento de inercia diametral de la sección del cable. Esta ecuación permite efectuar la discretización mediante el MEF, empleando bien el método de Ritz o el método de los residuos ponderados de Galerkin (Cook et al. 1989). Despreciando los efectos dinámicos del cable, es posible obtener la ecuación de equilibrio estático para un segmento de cable, en la forma general:
K. q = r (2)
En este caso cada nodo presenta dos coordenadas generalizadas, la posición dada por la coordenada yi y el ángulo de giro θi, teniendo para los vectores término independiente y coordenadas generalizadas:
 (3)
Y para la matriz de rigidez del elemento:
 (4)
La ecuación (4) corresponde a lo que se denomina modelo de viga pretensada. Si se desprecia la rigidez a flexión, la ecuación diferencial del cable se simplifica, obteniendo los siguientes términos:
 (5)
En este caso existe una única coordenada generalizada asociada al nodo, relativa a su posición vertical. La ecuación (5) corresponde al modelo de cuerda pretensada, que equivale a considerar el cable como una serie de elementos rígidos o varillas unidos mediante articulaciones sin rigidez a flexión.
Sin embargo, mediante una sencilla modificación en las ecuaciones anteriores, se puede también tener en cuenta el efecto de la rigidez a flexión, manteniendo una coordenada generalizada por nodo. Para ello se introduce un resorte torsional de rigidez kt en las articulaciones, tal como se muestra en la Figura 2. En este caso la matriz de rigidez del elemento quedará:
 (6)
Este modelo presenta la ventaja de considerar la rigidez a flexión manteniendo una única coordinada generalizada en el nodo.
MODELADO DE LAS PÉNDOLAS
Las péndolas se comportan como barras traccionadas, con una coordenada generalizada por nodo, correspondiente a la ordenada o desplazamiento vertical, deformándose a partir de una longitud inicial. Se puede demostrar que la matriz de rigidez y el término independiente son:
 (7)
Donde A es el área de la sección recta de la péndola, l la longitud de montaje, lo su longitud inicial (ligeramente diferente a la longitud de montaje) y P su peso propio. Existe una relación entre la longitud de montaje l, la longitud inicial lo y la precarga de montaje F, que viene dada por la siguiente expresión:
 (8)
De manera que el término independiente de la ecuación de equilibrio del elemento se puede expresar como:
 (9)
El valor de la precarga F se determina mediante análisis estático y es fundamental para el cálculo de la longitud de las péndolas l, dependiendo del peso propio de la péndolas y del peso de hilo de contacto que soporta la péndola. La determinación de la longitud de montaje de las péndolas es pues un problema
básico para la correcta instalación y montaje de la catenaria.
Finalmente se debe tener en cuenta que las péndolas no pueden trabajar a compresión y que en la interacción dinámica pantógrafo-catenaria la longitud de la péndola varía a partir
de la longitud de montaje, resultando lo que se podría denominar como longitud de trabajo de la péndola, la cual vendría dada por la diferencia de ordenadas en los nodos extremos. Si la longitud de trabajo definida de esta manera, es inferior a la longitud inicial lo, la péndola no trabajará y por tanto no habrá de tenerse en cuenta su efecto al ensamblar la matriz de rigidez del sistema. La condición para incluir el efecto de conexión de las péndolas en la matriz de rigidez, será pues:
 (10)
EFECTO DEL BRAZO ATIRANTADO
La línea aérea de contacto no está alineada según la línea media de la vía sino que forma un zig-zag, con objeto de que el desgaste del pantógrafo no se concentre en un punto y se distribuya uniformemente según la pletina de contacto, tal como se muestra en la Figura 3.
Para conseguir esto, el hilo de contacto se fija en los apoyos mediante el brazo de atirantado, que es en esencia una barra articulada situada debajo del apoyo del sustentador que es un apoyo rígido. El brazo está unido a la estructura de sustentación a través del extremo articulado, y sujeta al hilo de contacto por el otro extremo.
Con objeto de instalar correctamente el brazo de atirantado, hay que especificar la altura de montaje Hm, la cual depende de las fuerzas que actúan sobre el brazo, tal como se muestra en la Figura 4. En el extremo de agarre del brazo sobre el hilo de contacto, se puede considerar que aparece una fuerza horizontal Rh y una fuerza vertical Rv.
La fuerza horizontal Rh depende de la tensión de montaje del cable T y de la disposición en zig-zag del hilo de contacto, aunque su cálculo se puede complicar cuando la trayectoria de la vía es una curva, ya que en este caso la catenaria describe una poligonal.
La fuerza vertical sobre el extremo del hilo de contacto Rv depende del peso del segmento de cable que soporta, el cual es un valor pre-establecido. Normalmente se considera que el brazo soporta la mitad del peso del hilo de contacto comprendido entre las péndolas contiguas de los vanos situados a ambos lados del brazo, si bien este valor puede alterarse a voluntad.
Una vez especificados los esfuerzos horizontal Rh y vertical Rv, en el extremo del brazo, así como el peso P, del mismo y admitiendo que el brazo tiene la forma de barra alargada homogénea, es fácil determinar la altura de montaje Hm, o distancia vertical entre la articulación y el agarre del hilo de contacto, sin mas que considerar la ecuación de equilibrio de momentos de las fuerzas respecto de la articulación O (ecuación 11), de acuerdo con el diagrama de la Figura 4.
 (11)
En donde Rveq representa la carga vertical equivalente en el extremo del brazo y tiene en cuenta la carga debida al peso del hilo de contacto que soporta el brazo más el peso equivalente del brazo, suponiendo éste aplicado en el extremo, siendo pues:
 (12)
La altura de montaje del brazo, al igual que las longitudes de las péndolas, son parámetros fundamentales en el montaje de la catenaria.
Obviamente en ausencia de perturbaciones externas, la altura de montaje y la carga vertical equivalente en el extremo del brazo permanecen constantes. Sin embargo, cuando el pantógrafo está circulando a gran velocidad e interactuando sobre la línea, estos dos valores pueden modificarse; sean Hd y Rvd los nuevos valores dinámicos de la altura de montaje y de la carga vertical equivalente. La fuerza horizontal, Rh, se supone que permanece siempre constante y la ecuación (11) se seguirá cumpliendo, para los nuevos valores dinámicos, pudiéndose despejar Rvd:
 (13)
El efecto del brazo sobre la línea equivale pues a una fuerza puntual ascendente de valor Rvd, que varía en función la altura Hd. Es posible obtener una relación lineal aproximada entre estos dos parámetros aplicando la fórmula de Taylor a la expresión anterior:
 (14)
Rvd(Hm) es en realidad la carga vertical equivalente que soporta el brazo en el momento de efectuar el montaje, cuyo valor viene dado por la ecuación (12), mientras que la diferencia de alturas dinámica y estática del brazo, se puede expresar:
 (15)
En donde yO representa la ordenada de la articulación O del brazo, que es un valor conocido, yAm es la ordenada o altura estática de montaje del agarre del brazo sobre el hilo de contacto, que es también un valor conocido, definido por la altura nominal del hilo de contacto, e yA representa la altura dinámica del extremo del brazo, que es una variable desconocida. Al término:
 (16)
se denomina rigidez aparente del brazo, de manera que el efecto del brazo sobre la catenaria equivale a una fuerza puntual ascendente Rvd, de valor:
 (17)
La fuerza ascendente del brazo, equivale a considerar a éste como si fuera un resorte cuya rigidez es la rigidez aparente kb y que ejerce una fuerza inicial sobre la línea, igual a la carga vertical equivalente correspondiente a la altura estática de montaje y una fuerza adicional, igual al producto de la rigidez aparente por la elevación del punto de agarre por encima de la altura estática de montaje.
El efecto del brazo, modelado de esta forma, es fácilmente ensamblado en la matriz de rigidez del sistema, con objeto de establecer las ecuaciones de equilibrio estático y dinámico.
PROBLEMA ESTÁTICO. ESQUEMA GENERAL DE LOS DIFERENTES PROBLEMAS
Una vez ensamblada la matriz de rigidez K y el vector término independiente del sistema R, se obtiene la ecuación de equilibrio estático, que tendrá la forma:
K.q = R (18)
En principio la matriz de rigidez es singular y el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución. Para poder resolver el sistema y determinar las coordenadas generalizadas q correspondientes a la posición de equilibrio de la catenaria, es necesario introducir las condiciones de contorno correspondientes a las posiciones de los apoyos, para ello se efectúa una partición en el vector de coordenadas, considerando el vector q1, correspondiente a las posiciones de los nodos libres y el vector q2 correspondiente a las condiciones de contorno, que son las posiciones conocidas de los apoyos, quedando la ecuación de equilibrio:
 (19)
En donde la matriz K11 es no singular, pudiendo resolverse el sistema correspondiente a la primera serie de ecuaciones para las variables q1:
 (20)
Esta ecuación permite conocer la configuración de equilibrio de la catenaria, que viene dada por el vector de las coordenadas generalizadas q1. En cuanto al vector q2 correspondiente a las posiciones de los apoyos, si se trabaja con el modelo de viga pretensada, se puede considerar que el apoyo se comporta como un empotramiento perfecto. En ese caso, la ordenada yiserá la altura del apoyo y el ángulo qi se tomará igual a cero. Si se trabaja con el modelo de cuerda pretensada, los apoyos se pueden considerar que se comportan como articulaciones, siendo en este caso la ordenada yi la altura del apoyo. También existe la posibilidad de trabajar con el modelo de viga pretensada y considerar el apoyo como una articulación, en este caso el ángulo de giro del nodo en el apoyo qi es una variable.
En cuanto a las posiciones de los apoyos, de acuerdo con la Figura 1, en lo que respecta al sustentador, éstos estarán en los extremos de cada vano, mientras que en lo que respecta al hilo de contacto los apoyos estarán situados en los extremos del cantón.
Conviene además, aclarar que aunque estos apoyos se han supuesto como rígidos, es posible sin embargo suponer también una cierta elasticidad vertical correspondiente a la deformación elástica de la estructura, especialmente en los apoyos intermedios del sustentador, en este caso, el nodo asociado al apoyo es un nodo libre sometido a una fuerza ascendente vertical de valor:
 (21)
Siendo ka la rigidez de la estructura, yA la posición vertical del apoyo, que es un valor conocido e yi la altura del nodo asociado al apoyo que es una variable. La ecuación anterior ha de implementarse al configurar la matriz de rigidez de la catenaria K.
Al mismo tiempo, también hay que tener en cuenta que la estructura sobre la que están situados los apoyos puede girar sobre un eje vertical con objeto de absorber las dilataciones térmicas de los cables, manteniendo constante la tensión mecánica, de acuerdo con los contrapesos situados en las poleas de compensación situadas en los extremos del cantón. Esto significa que los apoyos y por tanto el conjunto de los cables pueden experimentar un cierto desplazamiento horizontal, si bien en el estudio realizado, dicho desplazamiento se ha supuesto despreciable y no se ha tenido en cuenta.
En el estudio del problema estático se puede suponer, bien que no existe ninguna fuerza exterior aplicada sobre la línea, en este caso el vector q corresponde a la posición de montaje de los cables, o bien podemos suponer que existe una carga puntual ascendente en algún lugar del hilo de contacto. El estudio de la posición de equilibrio para este último caso es conocido también como cálculo de la rigidez de la línea.
Se puede observar que para la formación de la matriz de rigidez K, se necesita conocer una serie de parámetros algunos de los cuales son en principio desconocidos: tensión horizontal en el sustentador, altura de montaje del brazo de atirantado, precarga, peso propio y longitud de las péndolas. La determinación de estos parámetros requiere un estudio en profundidad de las fuerzas estáticas en los cables, todo ello tiene que hacerse necesariamente mediante un programa informático, tal como se muestra en las referencias (Benet y Montesinos, 1998; Benet et al., 2000; Benet, 2002).
Así mismo, el cálculo de la longitud de las péndolas resulta fundamental para efectuar el montaje de la línea. En principio se pretende que el hilo de contacto presente una determinada configuración, bien paralela al plano del terreno, bien describiendo un arco de parábola con una flecha preestablecida en el centro, tal como se muestra en la Figura 1.
La función de la flecha es compensar la diferencia de rigidez del vano entre el centro y los apoyos: la línea es más rígida (o el hilo de contacto experimenta una menor modificación para una fuerza ascendente), a la altura de los apoyos o brazos de atirantado que en el centro del vano. Esta variación de la rigidez favorece las oscilaciones del pantógrafo, las cuales son un fenómeno indeseable y pueden atenuarse imponiendo una cierta flecha, aunque el valor óptimo de ésta hay que determinarlo a partir del estudio de los problemas estático y dinámico.
Una vez se dispone de un método para calcular la longitud de las péndolas, se puede suponer diferentes configuraciones variando la flecha, posicionamiento de las péndolas, etc., y evaluar o simular el comportamiento estático y dinámico de la línea, con objeto de obtener unos valores óptimos de montaje.
El desarrollo de un modelo matemático y del algoritmo informático correspondiente, que permita simular el comportamiento del sistema, y en especial conocer la fuerza de contacto pantógrafo-catenaria, será pues fundamental para evaluar el comportamiento de la línea.
En este punto es necesario además efectuar una reflexión: si con el cálculo de péndolas lo que se pretende es que el hilo de contacto tenga una determinada configuración de equilibrio y por otro lado, la ecuación (20) permite calcular la posición de equilibrio estático de la catenaria, es evidente que esta posición ha de coincidir con la configuración impuesta inicialmente al hilo de contacto, al efectuar el cálculo de péndolas previo. Esto es lo que en el esquema de la Figura 5 se ha denominado como condición de compatibilidad. La conformidad de estos resultados validará los procedimientos empleados en el estudio.
Conforme a lo comentado anteriormente, la matriz de rigidez K es una matriz de gran dimensión, esto es, puede contener un gran número de elementos; y de naturaleza dispersa, esto es, gran cantidad de dichos elementos son nulos.
En una matriz dispersa se puede tomar ventaja de ciertas técnicas especiales para almacenar sus elementos no nulos. Estas técnicas se basan principalmente en la idea de no almacenar aquellos elementos nulos de la matriz, ya que no aportan información; y almacenar en estructuras de datos más fáciles de manejar y más eficientes en cuanto al acceso de los datos que sí poseen información.
Por tanto, de cara a obtener una implementación eficiente de los algoritmos de resolución de los diferentes problemas matemáticos asociados al cálculo mecánico de tendidos eléctricos, es imprescindible almacenar correcta y eficientemente la matriz de rigidez conforme a su naturaleza dispersa.
Una vez almacenada la matriz de rigidez de forma dispersa, para determinar la posición de equilibrio de la catenaria (problema estático), es necesario resolver el sistema de ecuaciones (20).
Hoy en día se disponen de diversas librerías de computación numérica estándares para tratar tanto el almacenamiento de la matriz de rigidez en forma dispersa como la resolución del sistema de ecuaciones (3). Una de las librerías más populares es SPARSKIT (Saad, 1994).
SPARSKIT permite almacenar los datos en diferentes formatos. Los formatos de almacenamiento disperso más utilizados son (Duff et al., 1986; Saad, 1996; Barret et al., 1994) Fila Comprimida (CSR), Columna Comprimida (CSC) y Coordenado (COO). Además, incluye diversos métodos iterativos para resolución de sistemas de ecuaciones lineales que permiten, a base de realizar una serie de aproximaciones a cada paso, obtener una solución adecuada para éstos. De entre los métodos iterativos previamente reseñados, caben destacar los métodos de Jacobi, Gauss-Seidel y SOR. De entre los métodos no estacionarios o de proyección destacan Gradiente Conjugado (CG), Mínimo Residuo (MINRES), Generalización del Mínimo Residuo (GMRES) y variaciones (DQGMRES y Quasi-GMRES), Gradiente Biconjugado (BiCG), etc.
Hay que destacar que con la utilización de este tipo de librería, se obtienen tres características deseables en toda implementación: portabilidad, eficiencia y robustez. La característica de portabilidad permite ejecutar el mismo código en diferentes plataformas, con mínimos o ningún cambio de éste. Se obtiene la característica de eficiencia, sacando el máximo partido al aprovechamiento de la memoria, utilizando representaciones eficientes para las matrices dispersas y operando sobre ellas mediante rutinas contenidas en dicha librería. Finalmente, la robustez se garantiza por el tipo de algoritmos implementados en estas librerías.
RESULTADOS Y APLICACIONES
Los procedimientos teóricos explicados en los apartados anteriores permiten ensamblar la matriz de rigidez de un cantón de catenaria y determinar la configuración de equilibrio del sistema; de acuerdo con esto, se ha desarrollado un programa informático en lenguaje Visual C, considerando diferentes modelos para el cable, que calcula la posición de equilibrio para una fuerza puntual ascendente sobre el hilo de contacto situada en diferentes posiciones. Para cada posición de la fuerza se ha resuelto el sistema de ecuaciones (20).
Se han realizado pruebas con los diferentes métodos que implementa SPARSKIT, obteniendo buenos resultados, en cuanto a precisión y número de iteraciones se refiere, mediante el método GMRES.
Como ejemplo, se ha tenido en cuenta el vano central de un cantón de tres vanos de 60 m y once péndolas por vano, inicialmente no se ha considerado flecha central. Se ha supuesto una fuerza puntual ascendente de 100 N aplicada sobre el hilo de contacto, situada a diferentes distancias del apoyo izquierdo del mencionado vano central.
En la figura 6, se representa el desplazamiento vertical del punto del cable donde se ha aplicado la fuerza, respecto de su posición inicial de montaje, en función de la distancia del punto de la fuerza al apoyo izquierdo del vano.
En la discretización de los cables, se han considerado elementos de tipo cuerda pretensada en donde la rigidez de flexión se ha modelizado mediante resortes de torsión en los nodos, existiendo una variable por nodo. Se han supuesto elementos de 0,5 m, resultando un total de 356 variables y una matriz de rigidez de 356x356 con una estructura dispersa, el peso de los cables es de 10 N/m, la tensión mecánica en el sustentador de 10 kN y en el hilo de contacto de 20 kN.
En la figura 6 se puede observar que la deformación es mucho mayor en el centro del vano, pudiendo llegar a 58 mm, mientras que en los extremos es mucho menor, siendo en este caso de unos 28 mm. Esta diferencia de valores define la flecha que sería necesario emplear en una nueva redefinición de los datos de montaje, que en este caso sería de unos 30 mm, con objeto de que el pantógrafo tuviese un movimiento lo más uniforme posible.
Para tener una información más en profundidad del problema es necesario efectuar el estudio dinámico. En este caso es necesario emplear elementos tipo viga pretensada para el hilo de contacto, con dos variables por nodo y de pocos centímetros de longitud, considerando además un cantón de 10 ó 15 vanos, siendo las exigencias de memoria y tiempo de computación mucho mayores.
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viernes, 27 de noviembre de 2015
Ingeniería mecánica
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