Ingeniería mecánica

Cable El tema de cables o hilos, siempre me ha resultado especial. Primero porque incluye una importante carga matemática y segundo porque al ser una palabra demasiado genérica, no es fácil encontrar información sobre este tema en internet, así que he realizado muchas más búsquedas relativas al tema de cables que de ningún otro tipo de estructura. En este post, voy a simplificar y voy a exponer cuáles son los principales tipos de problemas que podemos encontrar. Para ello me volveré a servir del material docente que me enviaron al comprar el libro de Beer and Johnson. Creo que sobran presentaciones y definiciones, pues todos sabemos lo que es un cable, así que vamos a estudiar directamente los 4 casos más comunes que existen, en función del tipo de carga que le haya sido aplicada. Tenemos que recordar que para el estudio de cables, al menos a este nivel, consideramos que son inextensibles y que estos trabajan exclusivamente a tracción. En muchos manuales también se indica que la longitud es bastante más grande que la sección pero creo que esto resulta bastante obvio. Tipo 1: Cable sujeto a fuerzas puntuales: Los cables sujetos a cargas puntuales toman una configuración tipo polígono tal y como se puede ver en la figura que se muestra más abajo. En este tipo de ejercicios podremos utilizar las tres ecuaciones de la estática más una adicional, como resultado de considerar que un cable es un modelo de viga con un número infinito de rótulas. Esto nos permite tener una condición adicional que consiste en igualar a cero el sumatorio de los momentos para una mitad del cable (ver como se procede en el punto D de las siguientes figuras). Esto resulta de vital importancia pues normalmente tenemos dos soportes fijos con cuatro reacciones, por lo que se necesitan otras 4 ecuaciones. Además, se pueden utilizar otra condición común, general para todos los cables, y es la condición de tensión máxima en los apoyos (cuando se encuentren en el punto con mayor cota) que se puede obtener de forma vectorial en función de x e y utilizando el teorema de Pitágoras. Un esbozo de este tipo de problema es el siguiente: Para el análisis de este tipo de cables además hemos considerar que: Las cargas son verticales. El peso del cable se puede despreciar. Los tramos de cable entre dos puntos se pueden tratar prácticamente como si fueran rígidos. La configuración de fuerzas aplicadas se puede ver más claramente en la figura siguiente, en la que tenemos un cable apoyado en dos soportes A, B y sometido a tres fuerzas puntuales verticales descendentes P1 , P2 y P3. Por otra parte, la cuarta ecuación que hemos mencionado antes se puede obtener separando el cable en el punto D y tomando momentos en la mitad del cable, de manera similar a como hemos hecho ya en vigas: Tipo 2: Cable sujeto a cargas distribuidas: En este tipo de ejercicios, la fuerza soportada por el cable se encuentra distribuida a lo largo de este, pero la densidad de carga no será constante como en el problema tipo 3 de cables parabólicos. No es el problema más común puesto que en general, la carga suele seguir una distribución constante. Para este tipo de cables, al igual que para los que vienen a continuación, se les puede aplicar una condición adicional, y es que en caso de ser simétricos la carga se puede distribuir de igual manera en ambos soportes (teniendo en cuenta también la distribución de la carga). Además, hay que tener en cuenta (también válido para catenarias y cables parabólicos) que la tensión horizontal será constante y que el punto de mayor tensión será el que se encuentre más arriba. Ahora si aislamos una parte del cable, aparecen las siguientes tensiones que son calculadas como se muestra en la figura. Tipo 3: Cable parabólico. Es un caso particular del anterior, en el que la densidad de carga es constante. Podemos ver muchos ejemplos de este tipo de cables en la vida real (puentes y otras estructuras). Su configuración es la siguiente: Ahora, teniendo en cuenta que la distribución w es constante, podemos particularizar las ecuaciones que rigen el comportamiento de este cable a partir del caso 2, obteniendo así la altura es función del cuadrado de x, es decir, sigue una curva tipo parábola, y de ahí su nombre. Tipo 4: Catenaria. El modelo de cable por excelencia, ya que aparece en una infinidad de casos en la naturaleza. Por ejemplo los tendidos eléctricos, una cadena, o una tela de araña son ejemplos de catenaria. En este caso, el cable solo está sujeto a su propio peso. El concepto parece sencillo, sin embargo es el que contiene una mayor carga matemática. Para determinar completamente la catenaria es necesario conocer su longitud. Para este fin se pueden considerar las tensiones verticales y horizontales siguiendo el siguiente esquema:   Por último, hay que saber determinar la altura en cualquier punto del cable, lo que además es necesario para calcular la tensión vectorial en cada punto. Esta es proporcional a su altura (T = cy). Cable parabólico Cuando un hilo está sometido a una carga uniforme por unidad de proyección horizontal, dicho hilo adquiere la forma de una parábola si se desprecia su peso propio respecto al de la carga que debe soportar. Este caso se presenta, en la práctica, en el cálculo de puentes colgantes, en los que el peso del tablero es mucho mayor que el del cable que lo sustenta. El tablero, o base del puente colgante, lo podemos representar por una carga vertical, p (N/m), uniformemente distribuida a lo largo de la proyección horizontal del cable. La transmisión de carga del tablero al cable se realiza mediante unos cables verticales denominados tirantes, también de peso despreciable frente al del tablero. Al estar sometido el cable a una carga que es constantemente paralela a una dirección fija, la curva de equilibrio del cable será una curva plana (ver entrada equilibrio de un cable). Por otro lado, dicha carga sólo tiene componente vertical, por lo que las ecuaciones escalares obtenidas para el equilibrio de un cable serán, en este caso: Donde se ha tenido en cuenta que la fuerza resultante actuante sobre un elemento diferencial de cable lo es según la horizontal. De la primera ecuación obtenemos que la componente horizontal de la tensión, Nx, en cada sección del cable es constante y su valor será igual al de la tensión en el punto más bajo de la curva, N0 : Este valor puede introducirse en el primer miembro de la segunda ecuación multiplicando y dividiendo, al interior del paréntesis, por dx: La integración de esta última ecuación da lugar a: donde C1 (y, por lo tanto, k1) es una constante y se ha definido, análogamente al caso de la obtención de la ecuación para la catenaria, un parámetro a de la parábola que tiene unidades de longitud: Por último, integrando la última ecuación obtenida, se llega a la ecuación de la curva de equilibrio, que podemos ver que, efectivamente, se corresponde con la ecuación de una parábola: Si se trabaja con un sistema de ejes de referencia en cuyo origen la pendiente a la parábola sea nula, la ecuación de la curva de equilibrio quedará como sigue: Esta es la ecuación de la parábola en los ejes reducidos (x1 e y1) CABLES Por su simplicidad, versatilidad, resistencia y economía, los cables se han convertido en un elemento imprescindible en muchas obras de ingeniería.  Pensemos en los puentes colgantes, no solo los grandes sino también los pequeños construidos para comunicar veredas en zonas rurales, las garruchas, los sistemas de transporte de productos agrícolas en los cultivos, los sistemas de interconexión eléctrica, los cables para postensado en una obra de hormigón, los tensores o contravientos para luminarias y postes, pagodas o techos, etc. Por su flexibilidad, los cables solo aguantan fuerzas de tracción, se comportan de forma inversa a los arcos, en los cuales, debido a su curvatura, los esfuerzos cortantes y de flexión se pueden hacer nulos y los esfuerzos de compresión se convierten en el soporte de la estructura. En el caso de un cable, la geometría que él adquiere al aplicar las cargas, es tal, que asegura el cumplimiento de las leyes de equilibrio con el solo trabajo a tracción del elemento. El tipo de geometría que adquiere un cable depende del tipo de cargas actuantes. Para cables sometidos a cargas uniformes en la proyección horizontal, adquieren una forma parabólica siguiendo la forma del diagrama de momentos de una viga simple; cables sometidos a cargas puntuales adquieren una forma discontinua en cada punto de aplicación de las cargas y cables sometidos a su propio peso (en este caso no es una carga uniforme) forman una curva llamada catenaria. Un ejemplo de este último caso es el de las redes de energía. En el caso de que la flecha del cable (distancia vertical desde los extremos hasta el punto mas bajo) no sea muy grande, esta catenaria se puede aproximar a una parábola. Para el análisis se consideran totalmente flexibles e inextensibles de tal manera que en toda su longitud los esfuerzos solo serán axiales de tracción y siempre tangenciales a la curva del cable. La forma de la catenaria se puede suponer  parabólica siempre y cuando  sea pequeña. (¿Qué tan pequeña?, se justifica hacer un estudio de la flecha en función de la longitud cuando un cable está sometido a carga uniforme en proyección horizontal y compararla con la flecha para peso propio para poder sacar un límite en esta relación). 1. Cables sometidos a cargas puntuales Los cables sometidos a cargas puntuales adquieren una geometría tal que en cada punto de aplicación de una carga se forma un cambio de curvatura del cable. La forma final del cable dependerá de la magnitud de las cargas puntuales y de su punto de aplicación.   ¿Por qué se colocan como apoyos articulaciones o empotramientos cuando se trabaja con cables? Siempre la reacción será contraria a la acción ejercida por el cable, ley de acción y reacción, por lo tanto solo se ejercerán fuerzas, no momentos, en la misma dirección del último tramo de los cables. Con la articulación como apoyo se asegura que la reacción tenga dos componentes por hallar, la magnitud de la fuerza y su dirección. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio al cable tendríamos un sistema de tres ecuaciones independientes y cuatro incógnitas. Note que la dirección de las reacciones depende de la geometría del cable y que esta a su vez depende de las cargas aplicadas. Si en el cable analizado, sus dos apoyos están al mismo nivel, se puede solucionar el análisis vertical, esto es, las componentes verticales de las reacciones o tensiones del cable. Para las componentes horizontales se requiere de otra ecuación que resulta de la geometría del cable. Si se  conoce al menos una flecha del cable en cualquier tramo, se podría determinar la dirección de una de las reacciones y así la componente horizontal. Para este caso especial la cuarta ecuación sería:  y en ese caso las componentes de las fuerzas de reacción se expresan en función de θ. Comprobamos que la fuerza horizontal es constante en toda la longitud del cable e inversamente proporcional a la flecha. En el caso de tener varias cargas aplicadas, se hace necesario conocer al menos una de las flechas del cable. Asumiendo que la flecha conocida sea central, se puede analizar el cable aplicando el método de los nudos, considerando cada punto de aplicación de carga como un nudo de cercha sometido a tracciones y cargas externas o el método de las secciones, cortando el cable por un punto donde se involucre la flecha conocida y tomando momentos con respecto al punto de corte. De esta manera se despeja la componente horizontal de la reacción. Tenga en cuenta que para apoyos alineados horizontalmente, las componentes verticales de las reacciones se determinan por el equilibrio externo. A continuación se muestra el diagrama de cuerpo libre cuando se utiliza el método de los nudos. En cada nudo se plantean dos ecuaciones de equilibrio, por cada tramo de cable resulta una incógnita por averiguar que corresponde a la tracción de este. Se deja al lector efectuar este cálculo por nudos. Para cables con apoyos no lineados horizontalmente, se puede plantear encontrando las reacciones en función de la distancia vertical entre el cable y la línea que une los dos puntos de apoyo, esta distancia se llama flecha:   Este valor es constante en toda la longitud del cable ya que no depende de P.      (Ecuación 1) Cortando por m y realizando equilibrio en la sección izquierda: Donde  representa los momentos de las cargas externas con respecto al punto m. Despejando Ay*X      (Ecuación 2) Igualando la ecuación 1 por X con la ecuación 2: Donde B se considera el extremo derecho del cable y m un punto medido desde el extremo izquierdo del cable. Note que en esta ecuación no están involucradas las reacciones verticales, solo las cargas externas. Esta ecuación relaciona la componente horizontal de la tensión, la flecha del cable en un punto determinado y las cargas actuantes, se conoce como el teorema del cable: ·”En un punto cualquiera de un cable sometido a cargas verticales, el producto de la componente horizontal de la tensión por la flecha en ese punto, es igual al momento flector que actúa en esa sección si se considera el cable como una viga simplemente apoyada”. En el caso de que el apoyo en B esté por encima del apoyo A, la ecuación se conserva.  (Realice equilibrio y despeje) Para despejar H o Ym de esta relación se necesita conocer al menos una de las dos. En el diseño de estructuras con cables, el diseñador tiene la opción de fijar la flecha deseada o fijar la componente horizontal de la tensión, la cual permanece constante en toda la longitud. EJERCICIO (Ejercicio 5-9 del libro de Hibbeler). Determine la fuerza P necesaria para mantener el cable en la posición mostrada. Calcule también la flecha YB y la tensión máxima del cable. Debido a que la componente horizontal siempre es constante, las tensiones máximas serán aquellas cuya componente vertical sea máxima, esta se presentará siempre en los apoyos. Como una de las incógnitas es una carga aplicada, el teorema del cable no nos ayuda a solucionar la componente horizontal. Aplicando el método de los nudos podemos despejar Ay : Equilibrio en el nudo B por equilibrio en A, TBAy=Ay=4kN si tomamos momentos en C podemos expresar Ax en función de Ay conocida: Haciendo equilibrio vertical podemos encontrar P: Conocida P podemos aplicar el teorema del cable para encontrar la componente horizontal: Semejando una viga simplemente apoyada y partiendo por E: Aplicando de nuevo la ecuación del cable en el punto B podemos encontrar la flecha en ese punto: La tensión máxima siempre es en los apoyos, en este caso el apoyo E tendrá mayor reacción que el apoyo A, ¿por qué? 2. Cables sometidos a cargas uniformemente distribuidas en la proyección horizontal Se considera que el peso produce una carga uniformemente distribuida en la proyección horizontal, caso de cables cuya relación flecha/longitud es pequeña. La forma que adquiere el cable es el de una parábola cuyo vértice representa el punto mas bajo de este. Existen dos maneras de analizar el cable, considerar el origen de la parábola en el centro o considerarlo desde un extremo. Desde el centro   Se encuentra la componente horizontal de la tensión en función de las cargas y de un valor de la flecha Y en un punto determinado o se determina la coordenada Y de la forma de la curva del cable en función de la componente horizontal. Tomando momentos con respecto a D tenemos: Esta ecuación define la altura del cable medida desde el punto C en cualquier posición x, note que la ecuación corresponde a una parábola. Para encontrar el valor de la componente horizontal H debemos conocer el valor de la flecha en un punto. En el caso de conocer la flecha máxima en C y considerando la simetría tenemos: , en esta ecuación  podemos observar que el momento máximo ejercido por la componente horizontal de la tensión en uno de los apoyos corresponde al momento máximo de una viga simplemente apoyada. Para encontrar el valor de la tensión en un punto determinado aplicamos equilibrio a la sección indicada: El ángulo de inclinación del cable en cualquier punto es: La tensión máxima se ejerce en los apoyos cuando x=L/2: La tensión mínima se ejerce cuando X=0 y corresponde al valor de la componente horizontal de la tensión, H. b. Cables con apoyos no alineados horizontalmente: Tomando momentos con respecto a B y seccionando el cable por m y tomando momentos con respecto a m: Igualando Ay y despejando la H*ym Donde ym corresponde a la flecha medida desde la cuerda y x está medida desde el extremo izquierdo. Para xm=L/2  Que corresponde al valor del momento máximo desarrollado en una viga horizontal con la misma carga w. La ecuación que define la forma del cable es una parábola con origen en el extremo izquierdo: Para encontrar la abscisa del punto de tangencia cero, se expresa ym en función de H, se deriva e iguala a cero:  Constituye la tangente en cualquier punto del cable Para dy/dx=0  Punto de tangencia cero. Note que depende de H y a la vez H depende de la flecha, por lo tanto se debe asumir uno de los dos valores o H o ym. Longitud del cable necesaria: Expresando una longitud diferencial de cable en función de dx y dy tenemos: Dividiendo por dx2 y multiplicando por dx fuera del radical: Se conoce la expresión dy/dx Reemplazando: Integrando esta función se puede obtener la longitud del cable. En el caso de tener el centro de coordenadas en el punto de tangencia cero, el valor de dy/dx es: dx Haciendo una sustitución de variables: , donde X es el valor de la proyección horizontal de uno de los tramos de la cuerda medida desde el punto de tangencia cero. En el libro “Mecánica vectorial para ingenieros, estática” de Beer, Johnston y Eisenberg se plantea otra solución para esta integral expandiendo el radical por medio del teorema del binomio. Esta solución está en términos de la flecha máxima y la distancia X desde el punto de flecha máxima a uno de los apoyos. Ejemplo: Un cable de un puente colgante se somete a una carga uniforme de 50kN/m. Si la altura máxima de los pilones donde se ancla el cable con respecto al tablero del puente es de 30m y se cuenta con cables de acero con resistencia última a tracción de 1800N/mm2, determinar el diámetro del cable mínimo que puede ser usado. Despreciar el peso del cable. Jugando con la altura del cable con respecto al tablero podría determinar el menor volumen de acero de cable a usar. Exprese volumen como longitud por área transversal y grafique versus altura del pilón. En este caso se pide tener una geometría tal del cable que produzca la mínima tensión posible. Las componentes verticales son máximas en los apoyos e iguales a la mitad de la carga generada en toda la luz y no dependen de la geometría del cable. La componente horizontal de la tensión varía con la flecha, a mayor flecha menor componente horizontal, por lo tanto una tensión mínima se consigue con una flecha igual a la máxima posible, en este caso 30 metros. Reacciones verticales: Tomando momentos con respecto a uno de los apoyos en una sección de solo la mitad del cable se obtiene la componente horizontal de la tensión: Área de cable mínima: 3. Caso de cargas distribuidas a lo largo de la longitud del cable.     La tensión en cualquier punto de la cuerda es: Haciendo w/H=c, una constante Para obtener la forma del cable, se puede encontrar una ecuación que relacione la longitud S de un tramo de cable con su proyección horizontal x Integrando esta ecuación de 0 a S, se obtiene Y              Integrando la función de y se obtiene (ver desarrollo en el libro de Beer, Johnston, Eisenberg Que corresponde a la ecuación de una catenaria con eje vertical.