Ingeniería mecánica

Coeficiente de amortiguamiento Se define, para sistemas con amortiguamiento viscoso, como el cociente de proporcionalidad, c, entre la fuerza de amortiguamiento y la velocidad relativa entre los extremos del elemento amortiguador:       Vibraciones libres con amortiguamiento.- Los movimientos oscilatorios tienden a disminuir con el tiempo hasta desaparecer. Esto se debe al amortiguamiento que se presenta, el cual hace que parte de la energ�a se disipe. Las causas de este amortiguamiento est�n asociadas con diferentes fen�menos dentro de los cuales se puede contar la fricci�n de la masa sobre la superficie de apoyo, el efecto del aire que rodea la masa, el cual tiende a impedir que ocurra el movimiento, la no linealidad del material del resorte, entre otros. Existen numerosas maneras de describir matem�ticamente el efecto de fricci�n. Dentro de estos modelos, uno de los m�s utilizados es el que se conoce como amortiguamiento viscoso. La ecuaci�n diferencial para este tipo de movimiento ser�: [5.3.2.0.0.1] Siendo: El par�metro  indica la intensidad del rozamiento y  es la frecuencia que tendr�a el oscilador si no hubiera rozamiento y recibe el nombre de frecuencia natural. Soluci�n de la ecuaci�n diferencial. La ecuaci�n que determina el movimiento de la masa es la del oscilador arm�nico con un t�rmino a�adido proporcional a la velocidad, que representa el rozamiento al que est� sometida la masa. Es una ecuaci�n diferencial de coeficientes constantes. La t�cnica para resolver este tipo de ecuaciones es buscar soluciones de la forma: [5.3.2.0.0.2] La idea es que al derivar esta funci�n; el resultado es ella misma multiplicada por el par�metro r. Donde, A es una constante arbitraria y "r" es un par�metro o ra�z caracter�stica. Derivando dos veces 5.3.2.0.0.2 respecto al tiempo, se tiene: [5.3.2.0.0.3] Sustituyendo 5.3.2.0.0.2 y 5.3.2.0.0.3 en 5.3.2.0.0.1:  (Ecuaci�n caracter�stica) Resolviendo la ecuaci�n caracter�stica [5.3.2.0.0.4] a).- Para el caso en que , las ra�ces son distintas y si llamamos r1 y r2, la soluci�n general de 5.3.2.0.0.1 ser�: [5.3.2.0.0.5] b).- Para el caso en que , hay solo una ra�z repetida r y la sustituci�n directa mostrar�, que hay una soluci�n de la ecuaci�n 5.3.2.0.0.1: [5.3.2.0.0.6] 5.3.2.1.- Movimiento cr�ticamente amortiguado (amortiguamiento cr�tico).- Se da cuando el discriminante se anula, haciendo que la constante C reciba el nombre de coeficiente de amortiguamiento cr�tico . [5.3.2.1.0.1] El coeficiente de amortiguamiento real "C" y el cr�tico "CC" est�n relacionados por el factor de amortiguamiento relativo (raz�n de amortiguamiento o factor amplificador o �ndice de amortiguamiento) " " (eta) o "" (zeta), de la siguiente manera: [5.3.2.1.0.2] 5.3.2.1.0.1 en 5.3.2.1.0.2: [5.3.2.1.0.3] 5.3.2.1.0.3 en 5.3.2.0.0.4: [5.3.2.1.0.4] Para el movimiento cr�ticamente amortiguado , que no pertenece a un movimiento vibratorio. Para este caso, el sistema retorna a su posici�n de equilibrio sin vibrar en el menor tiempo posible Para este caso la soluci�n de 5.3.2.0.0.1 est� dada por 5.3.2.0.0.6: [5.3.2.1.0.5] Representaci�n gr�fica de los distintos movimientos: Figura F5-3.2.1 5.3.2.2.- Movimiento sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercr�tico).- Se da cuando el discriminante tiene un valor real, luego  y la soluci�n de 5.3.2.1.0.1 est� dado por 5.3.2.0.0.5 [5.3.2.2.0.1] El sistema retorna a su posici�n de equilibrio sin vibrar en un tiempo mayor, que el que, se produce cuando el amortiguamiento es cr�tico. 5.3.2.3.- Movimiento subamortiguado o movimiento vibratorio amortiguado (amortiguamiento d�bil o sub cr�tico).- Se da cuando el amortiguamiento es peque�o, haciendo que el discriminante tenga ra�ces complejas conjugadas, luego  (sub cr�tico):  (i = - 1 unidad imaginaria) En 5.2.2.2.0.5: [5.3.2.3.0.1] Considerando las relaciones de Euler: [5.3.2.3.0.2] Ver: Fasor Se anula las ra�ces de las cantidades imaginarias: 5.3.2.3.0.2 en 5.3.2.3.0.1: [5.3.2.3.0.3] En 5.3.2.3.0.1 llamamos  a la frecuencia angular del sistema (frecuencia de las oscilaciones amortiguadas o pulsaci�n propia amortiguada), definido por la siguiente relaci�n:  donde:  [5.3.2.3.0.4] El valor del coeficiente de amortiguamiento en estructuras reales es considerablemente menor que el coeficiente cr�tico de amortiguamiento; generalmente fluct�an entre el 2% y el 20% del valor cr�tico. Sustituyendo este valor m�ximo, = 0.20 en la ecuaci�n 5.3.2.3.0.4 da: De este resultado se puede observar que la frecuencia de vibraci�n de un sistema con un coeficiente de amortiguamiento alto como del 20% del amortiguamiento cr�tico, es pr�cticamente igual, a la frecuencia natural de un sistema sin amortiguamiento, Por esta raz�n, en la pr�ctica, la frecuencia natural de un sistema con amortiguamiento se considera igual a la frecuencia calculada en el sistema sin amortiguamiento. {Para  peque�os  (usado mucho en la ingenier�a)}. La ecuaci�n 5.3.2.3.0.3, tambi�n se pude expresar de la siguiente manera: [5.3.2.3.0.5] Donde : Con una amplitud decreciente limitada por las curvas , como se ve en la representaci�n gr�fica: Figura F5-3.2.2  (periodo amortiguado),  (frecuencia amortiguada) y  son constantes (independientes del tiempo), a�n cuando no lo sea la amplitud, ya que, la amplitud m�xima del movimiento disminuye con el tiempo debido al factor . Decremento logar�tmico (DL).- El amortiguamiento viscoso lineal no es un elemento f�sico real, en muchos sistemas f�sicos, sino un concepto matem�tico que se utiliza para explicar la disipaci�n de energ�a. Por esta y otras razones, suele ser necesario determinar experimentalmente el valor de  (raz�n de amortiguamiento). Esto se logra f�cilmente midiendo el desplazamiento en dos "picos" sucesivos del movimiento, por ejemplo, si se tiene  con  (la intersecci�n de las curvas no se dan en el mismo punto en sus valores m�ximos, al desvi� se le considera insignificante): [5.3.2.3.0.6] Tomando logaritmos neperianos de uno y otro miembro y llam�ndole decremento logar�tmico , que viene a ser la cantidad de amortiguamiento presente en un sistema que, consiste en medir la raz�n de ca�da: [5.3.2.3.0.7] Donde :  (Periodo de la vibraci�n libre amortiguada) Cuando el amortiguamiento del sistema es peque�o, los desplazamientos  ser�n casi iguales , con lo que  ser� muy peque�o, entonces, con lo que  o sea . Nota.- Si los valores de X1 y X2 son tan pr�ximos que es pr�cticamente imposible distinguirlos experimentalmente, las f�rmulas anteriores pueden modificarse para utilizarse con dos amplitudes separadas n ciclos. Ejemplo ilustrativo.- Una plataforma que pesa w = 20 kN est� soportada por cuatro columnas empotradas en los cimientos y en la plataforma. Se ha determinado, experimentalmente, que una fuerza est�tica horizontal, F = 5 kN, aplicada a la plataforma, produce un desplazamiento = 0.05 cm. Tambi�n se ha estimado que el coeficiente de amortiguamiento es del orden del 5% del amortiguamiento cr�tico. Determine para esta estructura lo siguiente: a) la frecuencia natural sin amortiguamiento, b) el coeficiente de amortiguamiento, c) el decremento logar�tmico, y d) el n�mero de ciclos y el tiempo requerido para que la amplitud del movimiento se reduzca desde un valor inicial de 0.3 cm a 0.03 cm. Soluci�n 1).- El modelo discretizado de la plataforma, es: 2).- D.C.L.: 3).- C�lculo del coeficiente de rigidez equivalente.- El coeficiente de rigidez que viene a ser la fuerza por unidad de desplazamiento, se obtiene de la siguiente manera: 4).- C�lculo de la frecuencia natural: 5).- C�lculo del coeficiente de amortiguamiento: Si:  Luego, el coeficiente de amortiguamiento es: 6).- C�lculo del decremento logar�tmico.- Es aproximadamente (el coeficiente de amortiguamiento es peque�o con respecto al cr�tico) a: y la raz�n de dos amplitudes consecutivas m�ximas, es: 7).- C�lculo del n�mero de ciclos y el tiempo correspondiente: Si, la raz�n entre la primera amplitud X0 y la amplitud Xk, despu�s de k ciclos, puede expresarse como: Tomando logaritmos naturales: La frecuencia con amortiguamiento, est� dado por: y el periodo T', por: Por lo tanto, el tiempo para 8 ciclos es: