Ingeniería mecánica

Cálculo de la rigidez de resortes helicoidales de tracción-compresión Si sobre un muelle helicoidal de tracción-compresión aplicamos una carga axial F tal y como se muestra en la figura: En este caso, el desplazamiento longitudinal del muelle es consecuencia del giro de las secciones. El giro total que se produce debido a la aplicación de esfuerzos se puede expresar como:      donde N es el número de espiras activas y D el diámetro medio del muelle. Sustituyendo los valores de las variables en la ecuación anterior, el giro total se puede expresar como: Con lo que la deformación longitudinal del muelle será: Y por tanto, la rigidez del mismo se puede expresar como: Cálculo de las tensiones principales y las direcciones principales El cálculo de las tensiones principales y las direcciones principales en un punto de una pieza sometida a un estado tensional es un problema de valores y vectores propios (autovalores y autovectores) y equivale a la diagonalización del tensor de tensiones en dicho punto. Sea la siguiente matriz el tensor de tensiones en el punto analizado: Las tensiones principales (σ1, σ2 y σ3) se obtienen de las raíces de  la  ecuación de tercer grado en λ (ecuación característica): Los vectores que indican cada una de las direcciones principales se obtienen sustituyendo λi por la tensión principal correspondiente en la siguiente ecuación, y resolviendo las componentes del vector (uix,uiy, uiz): Hay que tener en cuenta que el sistema de ecuaciones anterior es indeterminado, por lo que hay que usar sólo dos de las tres ecuaciones y añadir la condición de que el vector (uix, uiy, uiz) sea unitario. En el tema de Tensión hay varios conceptos elementales que deben manejarse con soltura por separado para poder después aplicarlos a los problemas reales, en los que hay que aplicar todos esos conceptos a la vez. Seguidamente encontrarás una ilustración con problemas tipo de los más importantes.  Uno de los aspectos elementales es el Convenio de Signos para las componentes del tensor de tensiones. Aquí tienes dos problemas básicos al respecto: Problema tipo 01            Problema tipo 02 Otra habilidad básica es reconocer algunas implicaciones directas de las ecuaciones de equilibrio. Los siguientes problemas ilustran algunas implicaciones de la ecuación de equilibrio en el dominio. Problema tipo 03            Problema tipo 04 Interesante este último, ¿verdad?. Hay también algunas habilidades básicas relacionadas con la otra ecuación, la ecuación de equilibrio en el contorno. La primera de ellas es no confundir los criterios de signos del vector tensión y del tensor de tensiones, que son de distinta naturaleza. Esto es particularmente importante cuando hay que manejar ambas magnitudes, y expresar componentes del vector en función de las del tensor, o viceversa, como en el problema siguiente. Problema tipo 05 También en relación con la ecuación de equilibrio en el contorno, tenemos las operaciones básicas de encontrar el vector tensión en un plano dado (que puede ser del contorno o no), o encontrar los planos cuyo vector tensión cumple alguna condición dada. Todo ello conociendo como dato el tensor de tensiones en el punto. Los dos siguientes son problemas típicos de estos tipos, respectivamente. Problema tipo 06            Problema tipo 07 Avanzando en el tema de Tensión, nos encontramos con la curiosa e importante propiedad del tensor materializada en las "Tensiones Principales" y "Direcciones Principales" de tensión. Lo menos que se puede pedir al respecto es que, dado el tensor, sepamos calcular esas tensiones y direcciones principales. El problema siguiente trata de ello, y además ilustra el concepto de sistema de referencia en ejes principales: Problema tipo 08 Un último punto clave del tema de tensión es el manejo del diagrama de Mohr, al que se concede gran importancia en el curso, tanto en el caso plano como en el tridimensional. No obstante sus características lo hacen más apropiado para que lo trabajes personalmente con compás y regla, y con la teoría a la vista. Te proponemos el siguiente plan de trabajo: Ponte tú mismo unas componentes de tensión en un elemento tridimensional. Cualquiera de las de los "Problemas tipo" 6, 7 u 8 anteriores te pueden valer (una tensión principal es conocida, y eso ayuda). Calcula las tensiones y direcciones principales, y traza el diagrama de Mohr. Usando el diagrama, calcula las componentes intrínsecas del vector tensión en un plano particular. Comprueba analíticamente el cálculo. Toma un punto de la zona posible del diagrama, y calcula en qué planos ocurre esa combinación de tensión normal y tangencial. Comprueba analíticamente el cálculo. Repite el proceso para un caso bidimensional, esta vez usando la zona de tensión tangencial negativa. La figura muestra, en cierto sistema de unidades, las componentes de tensión en las caras de un elemento diferencial que contiene al punto "P" de un sólido. Sus aristas son paralelas a los ejes coordenados como se indica. Se pide que exprese las componentes del tensor de tensiones en el punto P. La cara izquierda del sólido rectangular de la figura, está sometida a la distribución de tensiones que se muestra. Se representan por separado las componentes normal, constante de valor 5, y tangencial, parabólica de valor máximo 4, si bien actúan ambas conjuntamente. Se pide que indique el valor de las componentes del tensor de tensiones correspondiente al punto C en el plano 1-2. Las figuras siguientes muestran un elemento diferencial de un sólido. En el interior de dicho elemento no actúan fuerzas puntuales concentradas, ni ninguna otra singularidad, aunque puede actuar una distribución de fuerzas de volumen. Indique cuáles de las figuras tienen dibujado un estado de tensión posible, en el sentido de no ser incompatible con el equilibrio del elemento. Las figuras muestran un sólido rectangular sometido a diversas distribuciones de tensiones en su contorno derecho. Indique cuáles de ellas son posibles, en el sentido de que no violen la posibilidad de equilibrio a nivel local (de cada elemento) en el sólido. La figura muestra un sólido rectangular sometido en su cara izquierda a una distribución constante de tensiones normales, de valor 5, y a una parabólica de tensiones tangenciales, de valor máximo 4. Indique el valor del vector tensión y del tensor de tensiones en los puntos A, B, y C de dicho contorno (ocúpese solamente de las componentes en el plano 1-2 del dibujo). La primera figura muestra las componentes de tensión en un punto de un sólido. Se pide que calcule el vector tensión en ese punto, según un plano cuya normal es paralela al plano bisector de los planos 1-3 y 2-3, y forma 30º con el plano 1-2, como muestra la segunda figura. Las componentes de tensión en un punto son las mostradas en la figura. Se pide que encuentre qué plano, identificado por su normal n, tiene un vector tensión cuya dirección coincida con la de otro vector dado b. Las componentes de tensión en un punto de un sólido respecto de los ejes xi, son las mostradas en la figura. Se pide calcular los valores principales de tensión, y las direcciones principales correspondientes. También se pide representar un sistema de ejes principales x1', x2', x3', tales que el primero tenga la mayor de las tensiones principales, y el tercero la menor.