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Cálculo resistente a fatiga de resortes helicoidales de tracción-compresión

Para el cálculo resistente a fatiga se consideran datos de ensayos específicos sobre muelles. Estos ensayos son de tensión pulsatoria, y dichas tensiones serán del mismo tipo que en el caso estático pero variables con el tiempo:

Del ensayo se obtiene la tensión cortante máxima antes de rotura para N ciclos o vida infinita que denominamos:

De este modo, para definir el criterio de fallo se pueden utilizar el criterio de Goodman o el de Soderberg:

Tomando el criterio de Soderberg:

donde:

Cálculo resistente de chavetas

La chaveta debe permitir la transmisión de potencia entre los elementos unidos. Ello implicará dos posibles mecanismos de fallo de dicho elemento: fallo por cizallamiento, y fallo por aplastamiento. El procedimiento de dimensionado es la selección de la sección de la chaveta a partir del diámetro del eje, entrando en las tablas que proporciona la norma (ver chaveta). Lo que resta por dimensionar es la longitud de la chaveta necesaria para que no se produzca el fallo. En la siguiente figura se esquematiza una unión con una chaveta de dimensiones b x h, y longitud l.

Fallo por cizallamiento:

La fuerza de corte F sobre la chaveta, debida al momento M que se transmite será:

con lo que las tensiones en la sección de corte:

Si se utiliza el criterio de Tresca para su dimensionado, la longitud l necesaria para que no se produzca el fallo, con un coeficiente de seguridad ns será:

Fallo por aplastamiento:

La tensión de compresión sobre las caras laterales de la chaveta será:

Esta tensión de aplastamiento no debería superar la tensión admisible a compresión, por lo que para que no se produzca el fallo con un coeficiente de seguridad n_s la longitud requerida será:

Finalmente, se escogerá la longitud más desfavorable obtenida de las dos comprobaciones anteriores. Se puede comprobar que ambos criterios dan lugar a la misma longitud para chavetas cuadradas (b=h).
Un coeficiente de seguridad adecuado para la mayoría de aplicaciones industriales es n_s = 3. Si la longitud calculada excediera el espacio disponible para la chaveta, se aumentará el número de chavetas, distribuyéndolas siempre uniformemente en la periferia. Si el número de chavetas necesario es superior o igual a 3, es recomendable utilizar ejes acanalados en su lugar.

Cálculo resistente de ejes y árboles de transmisión

El caso más general de diseño corresponde al de un árbol con momento flector y momento torsor variables cíclicamente. Se puede demostrar fácilmente que la relación a la que se llega para el cálculo del diámetro mínimo de un árbol de sección circular maciza es, empleando el criterio de Goodman para el fallo a fatiga:

Nomenclatura

Una expresión similar, para el criterio de Soderberg, se obtiene sustituyendo S_ut por S_y, lo que resulta más conservador, siendo más habitual.

A partir de este caso general se puede particularizar a los siguientes casos particulares:

Árbol con momento torsor y flector constantes:

Eje rotatorio con flexión constante (sin torsión):

Eje fijo con flexión constante (sin torsión):

Eje fijo con flexión variable (sin torsión):

CÁLCULO DE EJES
El diseño de ejes consiste básicamente en la determinación del diámetro adecuado del eje para asegurar la rigidez y resistencia satisfactoria cuando el eje transmite potencia en diferentes condiciones de carga y operación.
Los ejes normalmente tienen sección transversal circular: macizos – huecos
Para el diseño de ejes, cuando están hechos de aceros dúctiles, se analizan por la teoría del esfuerzo cortante máximo.
Los materiales frágiles deben diseñarse por la teoría del esfuerzo normal máximo.
El código ASME define una tensión de corte de proyectos o permisible que es la más pequeña de los valores siguientes:

(Ec4.5) Ó

(Ec 4.6)
Si hay concentración de tensiones debido a un acuerdo o un chavetero, la norma dice que hay que disminuir en un 25% la tensión de corte permisible.
La tensión de corte en un eje sometido a flexión y torsión viene dado por:

(Ec 4.7)
EL ESFUERZO DE TORSIÓN:

Para ejes macizos (Ec 4.8)

Para ejes huecos (Ec 4.9)
EL ESFUERZO DE FLEXIÓN:

Para ejes macizos (Ec 4.10)

Para ejes huecos (Ec 4.11)
ESFUERZOS AXIALES (COMPRESIÓN – TRACCIÓN):

Para ejes macizos (Ec 4.12)

Para ejes huecos (Ec 4.13)
El código ASME da una ecuación para el cálculo de un eje hueco que combina torsión, flexión y carga axial, aplicando la ecuación del esfuerzo cortante máximo modificada mediante la introducción de factores de choque, fatiga y columna.

(Ec 4.14)
Para un eje macizo con carga axial pequeña o nula.

(Ec 4.15)
Donde:

xy       =        Esfuerzo cortante de torsión, psi.                         de = Diámetro exterior, pulg.
M       =        Momento flector, lb-pulg.                           di   = Diámetro interior, pulg.
T        =        Momento torsor, lb-pulg.                            F = Carga axial, lb.
K        =        di/de

= Tensión de corte máxima, psi.

       =         tensión de flexión
Cf       =        Factor de choque y fatiga, aplicado al momento flector.
Ct       =        Factor de choque y fatiga, aplicado al momento de torsión.

f = Esfuerzo de flexión, psi.

e = Esfuerzo axial (Tensión – Compresión), psi.

Tabla 4.2.- Valores de Cm y Ct
                                                                Cm                           Ct
Para ejes estacionarios:
Carga aplicada gradualmente                    1.0                          1.0
Carga aplicada repentinamente             1.5 a 2.0                 1.5 a 2.00
Eje en rotación:
Carga aplicada gradual o corriente             1.5                                 1.0
Carga repentina (choques ligeros)         1.5 a 2.0                1.0 a 1.5
Carga repentina (choques fuertes)        2.0 a 3.0                1.5 a 3.0

El código ASME indica que para ejes con especificaciones técnicas definidas el esfuerzo permisible

es el 30% del límite elástico, sin sobrepasar el 18% del esfuerzo último en tracción, para ejes sin chaveteros.
Estos valores deben reducirse en 25% si existiesen chaveteros en los ejes.
α = Factor de columna, para cargas a tracción vale igual a la unidad para compresión, se aplica:

para L/K < 115 (Ec 4.16)

para L/K > 115 (Ec 4.17)
n = 1 para extremos articulados
n = 2.25 para extremos fijos
n = 1.6 para extremos restringidos parcialmente, como el caso de los cojinetes
k = Radio de giro

, pulg.
I = Momento de inercia, pulg4
A = Área de la sección transversal, pulg2
Sy = Esfuerzo a la fluencia, psi.

4.4.- CÁLCULO DE EJES POR RIGIDEZ
El valor permisible de giro varía desde 0.026° por centímetro para máquinas de precisión hasta 0.33° por centímetro para ejes de transmisión.