viernes, 27 de mayo de 2016

Análisis matemático

Una 1-forma o uno-forma o covector, intuitivamente es un objeto matemático definido sobre un cierto dominio \Omega \subset \R^n (o de una variedad diferenciable) que "operado" con un campo vectorial da lugar un campo escalar o función definida sobre el mismo dominio. Es decir:
T: \mbox{Vec}_n(\Omega) \to \R \qquad \mbox{Vec}_n(\Omega) = \mathcal{C}^{(k)} (\Omega,\R^n)
Donde \mbox{Vec}_n(\Omega) denota el conjunto de funciones vectoriales con derivadas parciales continuas hasta orden n definidas sobre \Omega, es decir, es un conjunto formado por campos vectoriales. Una 1-forma o forma uno es un caso particular de n-forma.

Ejemplos de 1-formas en física

  • En mecánica newtoniana diversas magnitudes funcionan como 1-formas. Por ejemplo, el "trabajo infinitesimal" puede ser formalizado adecuadamente como una 1-forma definida a lo largo de la trayectoria de una partícula:
\delta W = \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = F_x dx + F_y dy + F_z dz
Es una 1-forma, que aplicada a un vector velocidad da la potencia realizada por la fuerza:
\langle \delta W, \mathbf{v}\rangle = F_x v_x + F_y v_y + F_z v_z
La integral a lo largo del tiempo de la potencia, que es un escalar, da el trabajo finito realizado por la fuerza. Cuando la 1-forma trabajo infinitesimal debido a la naturaleza de las fuerzas es una diferencial exacta, se dice que el conjunto de fuerzas forma un campo conservativo.
  • En termodinámica el llamado impropiamente "calor infinitesimal" es otra 1-forma, normalmente no exacta, que es expresable en diferentes tipos de coordenadas:
\delta q = T(S,V)\ dS \qquad \delta q = C_V(V,T) dT \qquad \delta q = C_p(p,T) dT
Donde C_v, C_p son las capacidades caloríficas bajo volumen y bajo presión constantes respectivamente y dS, dT son 1-formas exactas asociadas a las variables de estado, entropía y temperatura respectivamente. Un factor integrante es una función multiplicativa que convierte a una 1-forma no exacta en exacta. Así un factor integrante para la magnitud "calor infinitesimal" es el inverso de la temperatura, en ese caso la 1-forma resultante puede derivarse de la variable de estado llamadaentropía.

Ejemplos de 1-formas en matemáticas

  • La diferencial total de una función de varias variables puede ser tratada rigurosamente como una 1-forma. Así si se tiene una función de varias variables f(x,y,z) diferenciable, su diferencial total es una 1-forma exacta:
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz
Por ser la anterior una 1-forma exacta, también es también una 1-forma cerrada, lo cual implica que:
\frac{\part^2 f}{\part x_i \part x_j} - \frac{\part^2 f}{\part x_j \part x_i} = 0

Integrabilidad de 1-formas: diferenciales exactas

Una 1-forma F, se dice exacta si existe una función g tal que:
\left[\mathbf{F} = \sum_i F_i\ dx^i \quad \mbox{exacta}\right] \quad \Longleftrightarrow \quad F_i = \frac{\partial g}{\partial x_i}
Se puede probar que una condición necesaria y suficiente para que una 1-forma sea exacta, alrededor de algún punto, de acuerdo con el teorema de Poincaré es que exista algún punto en el que se cumpla que:
\frac{\partial F_i}{\partial x_j} = \frac{\partial F_j}{\partial x_i}
Cuando la condición anterior se satisface en algún punto entonces la 1-forma es localmente exacta en ese punto, es decir, existe una pequeña región alrededor del punto en el que la 1-forma es exacta.

Diferenciales inexactas en física

Obviamente no toda 1-forma es exacta, un ejemplo físico interesante lo constituye el calor o el trabajo que aparecen en la forma diferencial de la energía interna tal como suele usarse para formular, el primer principio de la termodinámica:
dU = \delta Q + \delta W \qquad \delta Q := T(S,V)\ dS \qquad \delta W := -p(S,V)\ dV
Obviamente esta diferencial de la energía interna sí es una 1-forma exacta puesto que la energía interna es una variable de estado. Sin embargo, ni el calor, ni el trabajo son 1-formas exactas. Para el calor tenemos:
\delta Q = T(S,V)\ dS + 0\ dV \quad \land \quad \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S \ne 0 \quad \Rightarrow \quad \lnot \exists \bar{Q}(S,V): \left[ \left(\frac{\partial \bar{Q}}{\partial S}\right)_V= T \land \left(\frac{\partial \bar{Q}}{\partial V}\right)_S = 0 \right]
En la anterior ecuación si la derivada de la temperatura respecto al volumen fuera nula significaría que el cuerpo tiene una tasa de dilatación adiabática infinita, lo cual es absurdo. Para el trabajo tenemos que por las relaciones de Maxwell, el trabajo no es una 1-forma exacta a menos que el coeficiente de dilatación adiabática (αS) sea cero, ya que el trabajo sólo puede ser una diferencial exacta en un sistema termodinámico si y sólo si:
\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_V = -\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -\frac{1}{V\alpha_S}

El ejemplo no trivial más sencillo de una forma diferencial lo constituyen las 1-formas, también llamadas formas pfaffianas. Estas formas son la manera rigurosa de tratar los diferenciales de las funciones reales sobre una variedad (para funciones ordinarias la variedad es simplemente el espacio euclídeo, \mathbb{R}^n). Las 1-formas también aparecen en física, así por ejemplo las "diferenciales" de lasvariables de estado usadas en termodinámica son de hecho 1-formas (aunque el tratamiento informal de las mismas descuida ese hecho). En Geometría diferencial o estudio de las variedades diferenciables, las 1-formas actúan como funciones lineales reales definidas sobre el espacio vectorial tangente a la variedad diferenciable que se esté considerando. Así pues el conjunto de todas las 1-formas definidas en un punto de la variedad es isomorfo al espacio dual del espacio vectorial tangente en dicho punto.
Otro ejemplo, un tanto trivial son las funciones reales definidas sobre una variedad, que pueden ser tratadas formalmente como 0-formas. El nombre se justifica porque existe un operador denominado diferencial exterior, que aplica k-formas en k+1-formas, puesto que la diferencial exterior de una función real es una 1-forma, se conviene en llamar 0-formas a los objetos matemáticos, como las funciones reales, cuya diferencial es una 1-forma. Así por ejemplo las funciones de estado de la termodinámica, el lagrangiano de la mecánica lagrangiana o el hamiltoniano de la mecánica hamiltoniana son de hecho 0-formas definidas sobre los respectivos espacios de configuración o espacios de fases del sistema físico.
Finalmente y usando el mayor nivel de generalidad se definen las k-formas. Una forma de grado k o k-forma es una sección diferenciable de la k-ésima potencia exterior del fibrado cotangente de la variedad. En cualquier punto P en una variedad, una k-forma da una función multilineal desde la potencia cartesiana k-ésima del espacio tangente en P a ℝ.


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