Teorema de la máxima transferencia de energía
En cada entrega agregamos un poco de conocimiento teórico relacionado con la práctica que estamos realizando. En esta le llegó el momento a uno de los teoremas mas importantes de la electrónica. Como deben ser dos circuitos acoplados para que el circuito fuente le entregue la máxima energía al circuito de carga.
Todo circuito posee una resistencia o impedancia de salida. En muchos casos es claramente visible. En otros no, pero siempre se puede transformar el circuito mas complejo en uno elemental que posea un generador y una resistencia en serie. En la figura 1 podemos observar una simulación muy simple en donde conectamos una pila tipo AA a una carga resistiva.
Fig.1 Circuito para comprobar la máxima transferencia de energía
Como podemos observar a la izquierda representamos la pila con su circuito interno consistente en una pila ideal sin resistencia interna y un resistor en serie de 1,1 Ohms obtenido de las especificaciones de la misma, entregada por uno de sus fabricantes. Sobre el circuito de la pila colocamos una carga variable consistente en un potenciómetro conectado como reóstato. A la derecha tenemos el mismo circuito pero le agregamos un vatímetro que nos indica en todo momento cual es la potencia que se desarrolla sobre la carga. También agregamos una llave que desconecta la carga de la pila para poder medir la resistencia de R2 sin alterar las mediciones.
- Cierre la llave, encienda la simulación, y observe la indicación del vatímetro mientras va cambiando el valor del reóstato (no observe las indicaciones del tester predispuesto como óhmetro porque son indicaciones erróneas debidas al hecho de que para medir un resistor se debe desconectar primero la fuente).
- Elija el valor del reóstato que entregue máxima potencia a la carga. Seguramente será de 511 mW (es decir aproximadamente medio vatio).
- En ese momento abra la llave J1 y lea el valor del reóstato seguramente va a ser de 1,1 Ohms.
El teorema dice: un circuito transfiere a otro la máxima energía cuando la resistencia de entrada del circuito de carga es igual a la resistencia interna del circuito generador.
¿Por qué la palabra “energía” si en realidad nosotros medimos potencia? Porque la potencia es la capacidad de producir trabajo que tiene un circuito eléctrico y el trabajo en la unidad de tiempo es la energía. La energía se mide en un intervalo de tiempo determinado (por lo general horas) de modo que se puede calcular cuanto gastó realmente un dispositivo eléctrico. Por ejemplo una plancha de 500W conectada durante una hora gasta 0,5 KW/H (así está marcado en la factura de electricidad). Pero si la misma plancha se conecta solo por media hora su consumo indicado en la factura va a ser de 0,25 KW/H. Entonces por definición la potencia es la capacidad de consumir energía que tiene un dispositivo; si no se lo conecta, no consume nada, pero la capacidad de consumir la sigue teniendo.
En nuestro caso, si conectamos un resistor de 1,1 Ohms a la pila AA la misma se agotará mas rápidamente que con cualquier otro valor de resistencia (aunque hacemos notar que los generadores químicos presentan fenómenos particulares cuando se ponen en cortocircuito porque la generación de calor, produce gases que pueden producir explosiones peligrosas).
El teorema de la máxima transferencia de energía es absolutamente general y se cumple tanto con CC como con CA. En este último caso se habla de impedancia de salida e impedancia de carga en lugar de resistencia.
El circuito de antena
En la entrega anterior probamos nuestro amplificador sintonizado con un generador de señales aplicado a la base. Pero en el caso práctico debemos atacar la base con señales de radio. En nuestro primer receptor que llamamos cariñosamente “radio a galena” (aunque la Galena fue reemplazada con un diodo) construimos una bobina de grandes dimensiones para que ella misma sirviera de captor de señales de radio si necesidad de agregarle una antena exterior.
Si vuelve a observar el circuito utilizado verá que la bobina se sintonizaba con las dos secciones del tanden en paralelo. Pero nosotros necesitamos ahora una sección para el circuito de colector, así que deberemos construir una bobina distinta con mas vueltas que sintonice con la capacidad de una sola sección del tanden porque la otra se utilizará para sintonizar otro circuito.
En el receptor de un solo transistor elegimos trabajar de un modo mas convencional construyendo una bobina de antena con cazoleta y núcleo de ferrite que sea ajustable y que el mismo diseño sirva también como bobina de carga.
¿Y a que viene el haber incluido el teorema de la máxima transferencia de energía justo en esta entrega? Una antena es un generador de energía eléctrica y no se salva del teorema. Lo debe cumplir religiosamente. Pero cual es la resistencia interna del “generador antena”. Todo depende de sus dimensiones.
En la radio de AM comercial se utiliza polarización horizontal de las ondas. La antena irradiante suele ser una torre vertical de ¼ de longitud de onda. Recuerde que la longitud de onda se calcula como una función de la frecuencia transmitida de modo que a 1 MHz (centro de la banda de onda media) se puede decir que:
λc / F = 300.000.000 / 1.000.000 = 300 m
en donde c es una constate universal que representa a la velocidad de la luz con
c = 300.000.000 m/seg
ya que la frecuencia se mide en Hz o ciclos/seg. Operando con las unidades los seg se anulan entre si y la λ se mide en metros. Y un cuarto de λ es entonces
300/4 = 75 m
No vamos a demostrarlo pero una antena de un cuarto de lambda tiene una impedancia característica que es resistiva pura y de 50 Ohms.
Seguramente Ud. no va a poder hacer una antena de esas características y se tendrá que conformar tal ves con una antena de 15 m. En ese caso la antena al ser mas corta que lo debido se comporta como un capacitor con una reactancia que nosotros vamos a aproximar a 100 Ohms.
Ahora que definimos al generador vamos a diseñar la carga. La carga es un circuito sintonizado paralelo construido con una bobina y un capacitor variable de 260 pF (una sección de nuestro tanden). Como 1 MHz está aproximadamente en el centro de la banda de onda media que va de 520 a 1600 KHz se toma como capacidad a 130 pF. Lo primero es entonces determinar el inductor que sintoniza con esa capacidad en 1 MHz. Esto ya sabemos hacerlo mediante la formula de Thomson.
L = 1 / C (2ΠF)2
= 1 / 130.10-12(6,28.106)2
= 1 / 130 . 10-12 . 39,43 . 1012
= 1 / 130 . 39,43 = 1,95 . 10-4195 uHy aprox. 200 uHy
Si lo quiere confirmar utilice el laboratorio virtual excitando el circuito LC con un pequeño capacitor que no afecte la sintonía.
Fig. 2 Confirmación de cálculo correcto de la inductancia
El factor de mérito y la resistencia equivalente
¿Qué tan selectivo es el circuito resonante que acabamos de diseñar? El Workbench por defecto crea una bobina casi ideal. La intención es que el usuario la transforme en real agregando resistencia en serie con la bobina o en paralelo. Es decir agregando una perdida resistiva. ¿Pero cuanta resistencia agregar? Es imposible resolverlo a priori. Lo que podemos asegurar es que cuando mayor es el “factor de merito” o Q de la bobina, mayor será la señal que recoja y mejor será la selectividad (rechazo de emisoras de frecuencias cercanas). Es un problema de experiencia previa. Por lo general la bobinas de dimensiones normales que se logran construir tienen un Q de 100 a 150. Vamos a tomar 100 para facilitar los cálculos.
El Q de una bobina se calcula prácticamente por comparación de la reactancia inductiva de la bobina con la resistencia del alambre (hay otros factores que bajan el Q pero se los puede considerar despreciables). Es decir el Q nos indica que tan pura es una bobina. Por ejemplo en nuestro caso sabemos que nuestra bobina tiene 200 uHy y un Q de 100. Se puede decir entonces que
Q = Π.F.L / Rs
y que nosotros deseamos calcular el valor de
Rs. Rs = Π.F.L / Q = 1224 / 100 = 12,24 Ohms.
Ahora vamos a armar el circuito resonante paralelo considerando el valor de resistencia del alambre y agregando un generador para hacer mediciones de Q (Qmetro serie).
Fig.3 Disposición de Qmetro serie
Como se puede observar el generador introduce una tensión eficaz de 1V y sobre el capacitor se mide una tensión de 100V debido al efecto de resonancia. Es decir que la tensión se eleva Q veces. La selectividad también se relaciona con el Q de la bobina mediante la fórmula
Q = F / ΔF
en donde ΔF es la variación de la frecuencia que hace disminuir la tensión sobre el capacitor un 33%. En nuestro caso es
ΔF = F / Q = 1.000.000 / 100 = 10.000
Es decir que una emisora corrida 10 KHz generará una señal un 33% menor sobre el circuito resonante (seria una importante interferencia lo que nos indica que debemos hacer una bobina con un Q de por lo menos 200; sin embargo no debemos olvidarnos que la bobina de carga también tiene selectividad y colabora en tema).
¿Si tuviéramos que agregar el resistor en paralelo como lo podemos calcular? Se puede calcular por la formula
Q = Rp / Π.F.L
y que
Rp = Q . Π.F.L
que en nuestro caso es aproximadamente de 220Kohms.
Que importancia tiene el calculo de la resistencia en paralelo. Mucho; ella es la resistencia de carga que debería tener nuestro circuito para que halla una máxima transferencia de energía entre la bobina de antena y la base del transistor. Ya que la bobina de antena es el generador y el transistor es la carga.
¿Y que resistencia de entrada tiene nuestro circuito a transistor? Como el emisor está a masa la resistencia de entrada es igual a la resistencia intrínseca de emisor multiplicada por el beta. Aproximadamente del orden de 1.000 ohms.
Esto significa que no se puede conectar la base directamente sobre la bobina de antena porque reduciríamos el Q a valores muy bajos que se pueden calcular como
Q = 1.000 / 1224 = 0,81
indicando que no hay sobreelevación de la señal de antena y mucho menos selectividad. La bobina debe tener una derivación en donde colgar la base transfiriendo el máximo de energía desde la antena al total de la bobina y desde el total de la bobina a la derivación de base. Y como estamos en el baile seguiremos bailando para calcular como hacer esas derivaciones y la bobina definitiva.
Resistencia equivalente en derivaciones o secundarios
Ya sabemos que una bobina real se puede fabricar con una bobina ideal y un resistor en paralelo o en serie, que le baje el Q al valor real. No sabemos como se transforma un resistor en serie en otro equivalente en paralelo. Pero el lector ya debe imaginarse que se debe realizar igualando las formulas del Q con resistor en serie y con resistor en paralelo. En efecto el Q de una bobina se define como
Q = Π.F.L / Rs
pero también es
Q = Rp / Π.F.L
esto significa
Π.F.L / Rs = Rp / Π.F.L
y esto implica que:
Rp = (Π.F.L)2 / Rs
A su frecuencia de resonancia un circuito L C paralelo se comporta como su resistencia paralelo determinada por el Q de la bobina utilizada despreciando la perdida capacitiva que siempre es despreciable. Si se toman derivaciones de la bobina total esta resistencia máxima se puede reducir para cumplir con el teorema de la máxima transferencia de energía tanto cuando se utiliza la bobina como carga (antena por ejemplo) como cuando se la utiliza como generador (base de un transistor amplificador).
Con un poco mas de matemáticas podremos saber como se transmite la resistencia paralelo total a una derivación definiendo la llamada relación de transformación del autotransformador que se acaba de crear, porque acopla la CA del total de la bobina a la derivación.
Considere que uno de los extremos de la bobina (1) se pone a masa; desde ese punto hasta el tope se define a la cantidad de espiras como N1-3. A una determinada cantidad de espiras (2) se realiza una derivación que define la cantidad de espiras N1-2.
La relación de transformación se define como
n = N1-2 / N1-3
- Si se inyecta señal entre el terminal 3 y el 1 y se toma del terminal 2 es un autotransformador reductor.
- Si se conecta a la inversa es elevador.
- Si se conecta un resistor entre 1 y 3 entre 1 y 2 circulará una corriente equivalente a conectar un resistor igual al resistor sobre el total, reflejado en la derivación.
Vamos a calcular el valor del resistor reflejado en función del resistor conectado sobre el total y la relación de transformación n.
Una tensión V3-1 sobre el total se transmite a la derivación como
Una tensión V3-1 sobre el total se transmite a la derivación como
V2-1 = n . V3-1
menor y si por el total circula una corriente I 3-1 en la derivación circulará una corriente
I 2-1 = 1/n . I 3-2
mayor para cumplir con la ley de la conservación de la energía. La resistencia reflejada sobre el terminal 2 será entonces:
R2-1 = V2-1 / I2-1 = ( n . V3-1) / (1/n . I3-2) = n2 . V3-1 / I3-2= n2 . R3-1
Es decir que los valores de resistencia se transfieren según la relación cuadrática de n.
Ejercicio práctico
Un ejercicio práctico aplicada a nuestra radio nos permitirá fijar los conceptos teóricos vertidos aquí. Dijimos que nuestra antena práctica tendría una resistencia de 100 Ohms y debemos aplicarla a nuestra bobina práctica con un Q de 100. Ya calculamos que ese Q se debía a la resistencia del alambre que estimamos como de 12 Ohms. También calculamos que esa resistencia transformada como una resistencia paralelo era de 220 Kohms. Ahora debemos calcular a cuantas vueltas se debe realizar una derivación para que esa resistencia en paralelo con la bobina total se transforme en una resistencia de 100 Ohms. En realidad vamos a calcular la relación de espiras, la cantidad de vueltas la calcularemos después.
R2-1 = n2 . R3-1 es decir 100 = n2. 220.000 n = √ 100/220.000 = 0.021 al 2% del total.
Ahora debemos calcular la cantidad de espiras que debe tener nuestra bobina y hacerle una derivación al 2,1%. Pero tenemos oportunidad de hacer otra práctica porque la bobina de antena debe tener también un bobinado secundario para conectarle la base del transistor que estimamos en un valor de 1KOhms originalmente. Posteriormente una medición nos permitió ajustar este valor en aproximadamente 470 Ohms. La medición es muy simple y la indicamos en la figura siguiente.
Fig.4 Medición de la impedancia de entrada del amplificador de RF
Como podemos observar armamos solo medio receptor, a saber la sección de colector con el diodo detector y excitamos la base con un generador de RF conectado al resistor R2 encargado de excitar la base pero utilizando un resistor igual al que suponemos representa la impedancia de entrada del transistor Q1. Observe que además conectamos el osciloscopio antes y después del resistor agregado.
Si el resistor es igual a la resistencia de entrada del receptor el osciloscopio indicará que la tensión sobre la base es la mitad que la salida del generador. El generador se predispone en 1 MHz con una amplitud de 20 mV pap (nunca mas porque se puede saturar al transistor) y después del resistor de 330 Ohms obtenemos una señal de aproximadamente 10 mV. Es decir que nuestra estimación anterior no fue muy buena y para obtener una buena adaptación entre la bobina de antena y el transistor debemos crear un bobinado de base N4-5 con una resistencia de 330 Ohms. Usemos un procedimiento igual al anterior:
R4-5 = ns2 . R3-1 es decir 330 = ns2. 220.000 ns = √ 330/220.000 = 0.038
Es decir que debemos realizar un bobinado secundario con una relación de espiras del 4% aproximadamente es decir el doble del anterior.
El receptor de 1 transistor
Ya estamos en condiciones de presentar el nuevo circuito de nuestro receptor de radio que además de aprender a construir un amplificador de RF nos permitirá aprender mucho sobre la construcción de bobinas ya que vamos a construirlas a mano explicando como se calcula su número de espiras del bobinado principal.
En la figura 5 se puede observar el circuito completo. Por ahora seguiremos usando un parlante para PC hasta que en futuras entregas tratemos el tema de los amplificadores de audio incluyendo las ultimas versiones de amplificadores de audio digitales.
Vamos a analizar para que sirve cada componente comenzando por la entrada de antena. C6 y R1 no pertenecen realmente al circuito; forman lo que técnicamente se llama “Antena fantasma” es decir que reemplaza a la antena real para poder utilizar un generador de AM en lugar de una antena real. La antena real debe colocarse directamente sobre la derivación de la bobina y como ya dijimos procure que tenga un tramo vertical de por lo menos 15 metros. Una antena mas corta no garantiza un buen funcionamiento salvo que Ud. esté cerca de las emisoras.
Fig.5 Circuito de la radio con 1 transistor
La bobina T1 se encarga de seleccionar la emisora deseada mediante la resonancia del primario del transformador con una sección del tanden representado en este caso por C1 (se usó un capacitor fijo para sintonizar una supuesta emisora de 1 MHz). C2 es el trimer del mismo tandem que servirá para ajustar la radio en las frecuencias mas altas de la banda. Las frecuencias mas bajas se ajustarán mediante el núcleo de la bobina. Con este doble ajuste se compensa las diferencias que siempre pueden existir entre una sección del tandem y la otra que se encargara de sintonizar la bobina de carga.
En la realidad la derivación de antena se encuentra dispuesta sobre el primario pero el WB tiene la derivación sobre secundario así que lo dejamos así. La base del transistor se conecta en el tope superior del secundario y en el tope inferior se conecta el resistor de polarización de base. Observe que en este sencillo receptor utilizamos un método de polarización diferente a todo lo utilizado hasta aquí. El emisor esta directamente conectado a masa es decir que no existe el resistor de emisor que provee la estabilidad térmica del sistema. Es decir que la corriente de colector se va a modificar con la temperatura; pero como para la CC el colector está directamente conectado a fuente (la bobina de colector tiene una resistencia despreciable) la tensión continua de colector no puede variar y es siempre igual a 9V.
En nuestro caso podemos calcular que la corriente de base es de
(9 – 0,6) / 330K = 25 uA
y como usamos un transistor “C” cuyo beta es de 400 la corriente de colector será de
25 uA x 400 = 10 mA
que es un valor adecuado.
En el colector se conecta el circuito resonante de carga que también estará sintonizado en 1 MHz mediante otra bobina idéntica a la de base donde no se usa la derivación central. C5 es la otra sección del tandem y C4 y el núcleo de la bobina permiten realizar el ajuste en la parte alta (C4) y baja (núcleo) de la banda, para que los dos circuitos sintonizados tengan lo que se llama un adecuado “tracking” que significa que siempre estén ajustados a la misma frecuencia cualquiera sea la posición del tandem.
Por último en el secundario de T2 se ubica el diodo detector de AM con su correspondiente capacitor de filtro C7 y resistor de carga R3. El divisor R5 y R4 se encargar de prepolarizar el diodo detector de modo que pueda detectar las emisoras lejanas que no llegarían a producir suficiente señal para vencer su barrera. El capacitor C8 lleva el punto inferior de la bobina a masa para la CA.
Probando el receptor de 1 transistor
El WB posee un generador de AM que nos permite probar el receptor en las condiciones normales de funcionamiento. En principio vamos a analizar el funcionamiento solo como amplificador de RF con el osciloscopio conectado entre colector y el generador de AM ajustado para conseguir que el colector utilice toda la tensión posible de salida llegando prácticamente al punto de saturación (tensión de colectar a masa casi nula).
Fig.6 Señal de AM amplificada por nuestra radio de 1 transistor
En la figura 7 se puede observar los oscilogramas en la salida de audio luego del detector comparada con la señal de entrada.
Fig.7 Oscilograma de la señal de salida de audio comparada con la entrada de AM
Por último vamos a colocar como señal de entrada tres generadores a diferentes frecuencias de RF con diferentes señales de modulación y vamos a observar que la radio selecciona solo el generador a la cual se encuentra sintonizado.
Fig.8 Radio excitada con tres emisoras de diferentes frecuencias
http://electronicacompleta.com/lecciones/circuito-de-entrada-y-antena/
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