Análisis matemático

Análisis armónico

análisis armónico o análisis de Fourier estudia la representación de funciones o señales como superposición de ondas "básicas" o armónicos.

Investiga y generaliza las nociones de series de Fourier y transformadas de Fourier. A lo largo de los siglos XIX y XX se ha convertido en una materia enorme con aplicaciones en campos diversos como el procesamiento de señales, la mecánica cuántica o la neurociencia.

Serie de Fourier

Las series de Fourier se utilizan para descomponer una función, señal u onda periódica como suma infinita o finita de funciones, señales u ondas armónicas osinusoidales; es decir, una serie de Fourier es un tipo de serie trigonométrica.

Transformada de Fourier

La transformada clásica de Fourier en Rⁿ aún es un área de investigación activa, sobre todo en la transformación de Fourier sobre objetos más generales, como lasdistribuciones temperadas. Por ejemplo, si imponemos algunos requerimientos sobre una distribución f, podemos intentar trasladarlos a términos de su transformada de Fourier. El Teorema de Paley-Wiener es un ejemplo de ello, que implica inmediatamente que si f es una distribución de soporte compacto (lo que incluye a las funciones de soporte compacto), entonces su transformada de Fourier no tiene nunca el soporte compacto. Esto es un tipo muy elemental de un principio de incertidumbre en términos del análisis armónico.

Las series de Fourier pueden ser estudiadas convenientemente en el contexto de los espacios de Hilbert, lo que nos da una conexión entre el análisis armónico y elanálisis funcional.

Análisis armónico abstracto

Una de las ramas más modernas del análisis armónico, que tiene sus raíces a mediados del siglo XX, es el análisis sobre grupos topológicos. El ideal central que lo motiva es la de las varias transformadas de Fourier, que pueden ser generalizadas a una transformación de funciones definidas sobre grupos localmente compactos.

La teoría para los grupos localmente compactos abelianos se llama dualidad de Pontryagin, que se considera una proposición muy satisfactoria ya que explica las características envueltas en el análisis armónico. En su página se encuentra desarrollada en detalle.

El análisis armónico estudia las propiedades de tal dualidad y la transformada de Fourier; y pretende extender tales características a otros marcos, por ejemplo en el del caso de los grupos de Lie no abelianos.

Para grupos generales no abelianos localmente compactos, el análisis armónico está muy relacionado con la teoría unitaria de representación de grupos unitarios. Para grupos compactos, el Teorema de Peter-Weyl explica cómo se pueden conseguir armónicos extrayendo una representación irreducible de cada clase de equivalencia de representaciones. Esta elección de armónicos goza de algunas de las propiedades útiles de la transformada de Fourier clásica de forma que lleva convoluciones a productos escalares, o por otra parte mostrando cierta comprensión sobre la estructura de grupo subyacente.

Utilidad del análisis de Fourier

• El análisis de Fourier [1] es una herramienta matemática que permite expresar una función f(t)$f\left(t\right)$ en relación a un conjunto de funciones ortogonales gi(t)$g_i\left(t\right)$, mediante una combinación lineal de éstas. Es decir,
  f(t)=∑iaigi(t).$$f\left(t\right)=\sum _i{a}_i{g}_i\left(t\right).$$
• Eligiendo convenientemente el conjunto de funciones ortogonales podemos realizar un análisis de f(t)$f\left(t\right)$ en función de las características o propiedades de las funciones gi(t)$g_i\left(t\right)$.
• Una de las aplicaciones prácticas más frecuentes del análisis de Fourier es la representación de señales en función de sus componentes de frecuencia. Esto se consigue porque las funciones base en el Análisis de Fourier son sinusoides.

2 La serie trigonométrica de Fourier

• Permite representar una función como una suma de funciones sinusoidales.
• Sea f(t)$f\left(t\right)$ una función definida en el intervalo (t0,t0+2πω0)$\left(t_0,t_0+\frac{2\pi }{{\omega }_0}\right)$. La serie trigonométrica de Fourier permite representar f(t)$f\left(t\right)$ en términos del conjunto ortogonal completo de funciones senoidales [2]

  {1;cos(ω0t),cos(2ω0t),⋯,cos(nω0t),⋯;sin(ω0t),sin(2ω0t),⋯,sin(nω0t),⋯}$$\begin{array}{cc}\{1;\hfill & cos\left({\omega }_{0}t\right),cos\left(2{\omega }_{0}t\right),\cdots ,cos\left(n{\omega }_{0}t\right),\cdots ;\hfill \\ \hfill & sin\left({\omega }_{0}t\right),sin\left(2{\omega }_{0}t\right),\cdots ,sin\left(n{\omega }_{0}t\right),\cdots \}\hfill \end{array}$$

  mediante la combinación lineal (stf)

  f(t)=a0+∑n=1∞(ancos(nω0t)+bnsin(nω0t)),$$f\left(t\right)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\right.a_{n}cos\left(n{\omega }_{0}t\right)+b_{n}sin\left(n{\omega }_{0}t\right)\left)\right.,$$

  (stf)

  donde
  t0<t<t0+2πw0,$$t_0<t<t_0+\frac{2\pi }{w_0},$$
  ω0${\omega }_0$ es la componente de frecuencia fundamental expresada en radianes por segundo y a0$a_0$, an$a_n$ y bn$b_n$ son los coeficientes la serie trigonométrica de Fourier.
• Nótese que dicha sumatoria sólo puede reproducir el comportamiento de una función (o una señal) en un intervalo (de tiempo) igual a
  2πω0.$$\frac{2\pi }{{\omega }_0}.$$
  Tal y como se acaba de definir, dicho intervalo es igual al periodo de la componente de frecuencia más baja que existe en la señal.

Los coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier

• Los coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier expresan la cantidad de cada una de las “señales sinusoidales puras” que deben sumarse entre sí para obtener la señal analizada.
• Matemáticamente, se calculan como la proporción que existe entre la energía de la correlación de la señal con la respectiva función sinusoidal (an) y la energía de esa función sinusoidal (bn), es decir

  an=∫t0+Tt0f(t)cos(nω0t)dt∫t0+Tt0cos2(nω0t)dt$$a_n=\frac{{\int }_{t_0}^{t_0+T}f\left(t\right)cos\left(n{\omega }_{0}t\right)dt}{{\int }_{t_0}^{t_0+T}{cos}^2\left(n{\omega }_{0}t\right)dt}$$

  (an)

  bn=∫t0+Tt0f(t)sin(nω0t)dt∫t0+Tt0sin2(nω0t)dt$$b_n=\frac{{\int }_{t_0}^{t_0+T}f\left(t\right)sin\left(n{\omega }_{0}t\right)dt}{{\int }_{t_0}^{t_0+T}{sin}^2\left(n{\omega }_{0}t\right)dt}$$

  (bn)

  siendo
  T=2πω0.$$T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}.$$
• Para n=0$n=0$

  a0=1T∫t0+Tt0f(t)dt,$$a_0=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f\left(t\right)dt,$$

  que como podemos apreciar es el valor medio de f(t)$f\left(t\right)$ en el intervalo (t0,t0+T)$\left(t_0,t_0+T\right)$. Se dice que a0$a_0$ es la componente de corriente directa o DC (Direct Current) de f(t)$f\left(t\right)$ en dicho intervalo.
• Por otra parte, sabiendo que
  ∫t0+Tt0cos2(nω0t)dt=∫t0+Tt0sin2(nω0t)dt=T2,$${\int }_{t_0}^{t_0+T}{cos}^2\left(n{\omega }_{0}t\right)dt={\int }_{t_0}^{t_0+T}{sin}^2\left(n{\omega }_{0}t\right)dt=\frac{T}{2},$$
  las Ecuaciones an y bn también se pueden reescribir de la forma (anOK)

  an=2T∫t0+Tt0f(t)cos(nω0t)dt$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f\left(t\right)cos\left(n{\omega }_{0}t\right)dt$$

  (anOK)

  y (bnOK)

  bn=2T∫t0+Tt0f(t)sin(nω0t)dt,$$b_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f\left(t\right)sin\left(n{\omega }_{0}t\right)dt,$$

  (bnOK)

  que suele ser la más común en la bibliografía [1, 2].

La serie exponencial de Fourier

• Es una representación más compacta de la Expresión stf, escrita en función de la exponencial compleja.
• Sean las definiciones (defs_Fes)

  a0=F0an=Fn+F−nbn=j(Fn−F−n),$$\begin{array}{c}{a}_0=F_0\hfill \\ a_n=F_n+F_{-n}\hfill \\ b_n=j\left(F_n-F_{-n}\right),\hfill \end{array}$$

  (defs_Fes)

  siendo j=−1−−−√$j=\sqrt{-1}$.
  Si sustituimos dichas definiciones en la Ecuación stf, obtenemos que
  f(t)=F0+∑n=1∞((Fn+F−n)cos(nω0t)+(j(Fn−F−n))sin(nω0t)).$$f\left(t\right)=F_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\right.\left(F_n+F_{-n}\right)cos\left(n{\omega }_{0}t\right)+\left(j\left(F_n-F_{-n}\right)\right)sin\left(n{\omega }_{0}t\right)\left)\right..$$
  Multiplicando llegamos a que
  f(t)=F0+∑∞n=1(Fncos(nω0t)+F−ncos(nω0t)+jFnsin(nω0t)−jF−nsin(nω0t)).$$\begin{array}{c}\hfill f\left(t\right)=F_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\right.F_{n}cos\left(n{\omega }_{0}t\right)+F_{-n}cos\left(n{\omega }_{0}t\right)+\\ \hfill j{F}_{n}sin\left(n{\omega }_{0}t\right)-j{F}_{-n}sin\left(n{\omega }_{0}t\right)\left)\right..\end{array}$$
  Operando
  f(t)=F0+∑∞n=1(Fn(cos(nω0t)+jsin(nω0t))+F−n(cos(nω0t)−jsin(nω0t))).$$\begin{array}{c}\hfill f\left(t\right)=F_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\right.F_n\left(\right.cos\left(n{\omega }_{0}t\right)+jsin\left(n{\omega }_{0}t\right)\left)\right.+\\ \hfill F_{-n}\left(\right.cos\left(n{\omega }_{0}t\right)-jsin\left(n{\omega }_{0}t\right)\left)\right.\left)\right..\end{array}$$
  Aplicando ahora los cambios trigonométricos (e_sin_cos)

  ejnω0t=cos(nω0t)+jsin(nω0t)e−jnω0t=cos(nω0t)−jsin(nω0t)$$\begin{array}{c}\hfill e^{jn{\omega }_{0}t}=cos\left(n{\omega }_{0}t\right)+jsin\left(n{\omega }_{0}t\right)\hfill \\ \hfill e^{-jn{\omega }_{0}t}=cos\left(n{\omega }_{0}t\right)-jsin\left(n{\omega }_{0}t\right)\hfill \end{array}$$

  (e_sin_cos)

  en la anterior expresión obtenemos que
  f(t)=F0+∑n=1∞(Fnejnω0t+F−ne−jnω0t).$$f\left(t\right)=F_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\right.F_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}+F_{-n}{e}^{-jn{\omega }_{0}t}\left)\right..$$
  Operando con el signo de la variable n$n$ y deshaciendo parcialmente la sumatoria llegamos a que
  f(t)==F0+∑∞n=1(Fnejnω0t+F−nej(−n)ω0t)F0+∑∞n=1Fnejnω0t+∑−∞n=−1Fnejnω0t.$$\begin{array}{ccc}\hfill f\left(t\right)& \hfill =\hfill & F_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\right.F_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}+F_{-n}{e}^{j\left(-n\right){\omega }_{0}t}\left)\right.\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & F_0+\sum _{n=1}^{\infty }{F}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}+\sum _{n=-1}^{-\infty }{F}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}.\hfill \end{array}$$
  Finalmente, juntando las dos sumatorias y el término que quedaba fuera nos queda que (Fes)

  f(t)=∑n=−∞∞Fnejnω0t.$$f\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}.$$

  (Fes)

• La Ecuación Fes es conocida como la serie exponencial de Fourier y a los Fn$F_n$ como los coeficientes de dicha serie.