sábado, 14 de noviembre de 2015

Electromagnetísmo

Electrodinámica

campo electromagnético es un campo físico, de tipo tensorial, producido por aquellos elementos cargados eléctricamente, que afecta a partículas con carga eléctrica.
Convencionalmente, dado un sistema de referencia, el campo electromagnético se divide en una "parte eléctrica" y en una "parte magnética". Sin embargo, esta distinción no puede ser universal sino dependiente del observador. Así un observador en movimiento relativo respecto al sistema de referencia medirá efectos eléctricos y magnéticos diferentes, que un observador en reposo respecto a dicho sistema. Esto ilustra la relatividad de lo que se denomina "parte eléctrica" y "parte magnética" del campo electromagnético. Como consecuencia de lo anterior tenemos que ni el "vector" campo eléctrico ni el "vector" de inducción magnética se comportan genuinamente como magnitudes físicas de tipo vectorial, sino que juntos constituyen un tensor para el que sí existen leyes de transformación físicamente esperables.

Campo electromagnético en teoría de la relatividad

En electrodinámica clásica y sobre todo en teoría de la relatividad el campo electromagnético se representa por un tensor 2-covariante y antisimétrico, cuyas componentes son las componentes de lo que en cada sistema de referencia se reflejan como parte eléctrica y parte magnética del campo:
\mathbf{F} = \begin{pmatrix} F_{00} & F_{01} & F_{02} & F_{03} \\ F_{10} & F_{11} & F_{12} & F_{13} \\ F_{20} & F_{21} & F_{22} & F_{23} \\ F_{30} & F_{31} & F_{32} & F_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Fuerza de Lorentz

La fuerza de Lorentz puede escribirse de forma mucho más sencilla gracias al tensor de campo electromagnético que en su escritura vectorial clásica:
\mathbf{f} = e(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) (expresión vectorial)
f_{\alpha} = \sum_{\beta} e \ F_{\alpha \beta} \ u^{\beta} \, (expresión tensorial relativista)

Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell también toman formas muy sencillas en términos del tensor de campo electromagnético:
F^{\alpha \beta}_{,\gamma} + F^{\beta \gamma}_{,\alpha} + F^{\gamma \alpha}_{,\beta} = \frac{\partial F^{\alpha \beta}}{\partial x^\gamma} + \frac{\partial F^{\beta \gamma}}{\partial x^\alpha} + \frac{\partial F^{\gamma \alpha}}{\partial x^\beta} = 0
F^{\alpha \beta}_{,\beta} = \frac{\partial F^{\alpha \beta}}{\partial x^\beta} = \mu_0 J^\alpha
Donde en la última expresión se ha usado el convenio de sumación de Einstein y donde la magnitud Jα es el cuadrivector de corriente que viene dado por:
J^\alpha = \begin{pmatrix} c \rho & J_x & J_y & J_z \end{pmatrix}

Potencial vector

La forma de las ecuaciones de Maxwell permite que sobre un dominio simplemente conexo (estrellado) el campo electromagnético puede expresarse como la derivada exterior de un potencial vector, lo cual facilita enormemente la resolución de dichas ecuaciones. Usando el convenio de sumación de Einstein tenemos:
\mathbf{F} = \mathrm{d}\mathbf{A} = \mathrm{d}(A_{\alpha} \mathrm{d}x^\alpha) = \mathrm{d}(A_{\alpha}) \wedge \mathrm{d}x^\alpha = \left(\frac{\partial A_{\alpha}}{\partial x^\beta}\right) \ \mathrm{d}x^\beta \wedge \mathrm{d}x^\alpha
Relación que escrita más explícitamente en componentes es:
\mathbf{F} = \frac{1}{2!} F_{\alpha\beta} \mathrm{d}x^\alpha\land \mathrm{d}x^\beta \Rightarrow F_{\alpha\beta} = \frac{\partial A_\beta}{\partial x^\alpha}-\frac{\partial A_\alpha}{\partial x^\beta}

Campo electromagnético cuántico

Matemáticamente el campo electromagnético en el contexto cuántica se trata de un campo de Yang-Mills cuyo grupo de gauge es el grupo abeliano U(1). Esto añadido a las pecualiaridades de la teoría cuántica de campos llevan a representar el campo electromagnético mediante una aplicación que asigna a cada región del espacio-tiempo un operador autoadjunto (que se transformará de forma apropiada bajo transformaciones de gauge). El campo electromagnético promedio de una región se modeliza por un operador autoadjunto, así cada una de las componentes del potencial vector:
\mathbf{A}_\Omega^\mu|\phi\rangle = \int_{\Omega\subset \R^4} \tilde{\mathbf{A}}^\mu(\phi)\ d^4\mathbf{x}
El valor del campo en un punto no está necesariamente definido. Si se considera un punto del espacio tiempo y se considera una región arbitrariamente pequeña en torno a él, puede calcularse el límite de la expresión anterior a medida que la región tiende a cero. Si el límite existe puede identificarse el operador con el campo electromagnético en dicho punto, sin embargo, para muchas formas del campo el límite no puede existir. Esto se corresponde con el hecho de que en general debido alprincipio de incertidumbre no es posible determinar el valor del campo en un único punto, sino sólo su promedio en una pequeña región.
Cuando dos regiones del espacio-tiempo A y B están desconectadas causalmente, es decir, ninguna pertence al futuro causal de la otra, entonces sus respectivos operadores de campo electromagnético conmutan:
B \cap J^+(A) = B \cap J^-(A) = \varnothing \Rightarrow \qquad [\mathbf{A}_A^\mu,\mathbf{A}_B^\nu] = 0



¿Qué es un campo electromagnético?

Un Campo Electromagnético o radiación electromagnética es una combinación de ondas que se propagan a través del espacio transportando diminutos paquetes de energía (fotones) de un lugar a otro.
Por tanto, se trata de ondas con un campo eléctrico y un campo magnético que provocan determinados efectos eléctricos y magnéticos de atracción y repulsión en un espacio.
Estos paquetes de energía son emitidos por fuentes naturales y artificiales.
Veamos ahora las principales características de los dos tipos de campo que generan la radiación electromagnética.
Los campos eléctricos se producen por cargas eléctricas que crean un voltaje o tensión, de manera que su magnitud crece cuando el voltaje aumenta. Podemos estar hablando de una simple lámpara apagada conectada a la corriente. Las unidades del campo eléctrico son voltios por metro.
Los campos magnéticos son el resultado del flujo de corriente a través de los conductores o los dispositivos eléctricos y es directamente proporcional a esa corriente; a más corriente más campo magnético. Las unidades del campo magnético son Gauss (G) o Tesla (T).
Un dispositivo eléctrico que se enchufa, es decir que se conecta a una fuente de electricidad tiene uncampo eléctrico aún cuando el aparato este apagado. Para producir un campo magnético, el aparato debe estar enchufado y encendido de forma que fluya por él una corriente eléctrica.
Los campos eléctricos se ven apantallados o debilitados por los materiales que conducen la electricidad, aún cuando esos materiales conduzcan muy pobremente la electricidad, como por ejemplo los árboles, los edificios, y la piel humana.
Los campos magnéticos, sin embargo, atraviesan la mayoría de los materiales y es por consiguiente más difícil apantallarlo. Ambos, los campos eléctrico y magnético disminuyen rápidamente cuando la distancia a la fuente aumenta.
Aunque los equipos eléctricos, los aparatos y las líneas de alta o media tensión producen campos eléctricos y magnéticos, las más recientes investigaciones han enfocado un potencial efecto sobre la salud debido a la exposición sólo a campos magnéticos. Esto es porque algunos estudiosepidemiológicos han informado sobre el aumento del riesgo de cáncer asociado con las estimaciones de la exposición a campos magnéticos. Ninguna asociación similar se ha encontrado para los campos eléctricos; la mayoría de los estudios realizados no han encontrado efectos biológicos debidos al campo eléctrico.
Sin embargo, no todas las radiaciones electromagnéticas son iguales y, por tanto, no todas producen los mismos efectos.
Veamos a continuación qué tipos de radicaciones electromagnéticas existen:
Para poder identificar y diferencias las radiaciones electromagnéticas introduciremos tres conceptos algo más técnicos, estos son la longitud de onda, su frecuencia y su amplitud (que viene a determinar su intensidad o potencia).
La longitud de onda describe la distancia entre una cresta en la onda y la próxima cresta de la misma polaridad, es decir, marca la longitud que recorre la onda durante un tiempo igual a un período. La electricidad en Europa es alternante de 50 ciclos por segundo, es decir, 50 Hz. En EEUU la frecuencia del campo eléctrico es 60 Hz.
Las Ondas Electromagnéticas pueden hacer más o menos oscilaciones en un segundo, y al número de oscilaciones que hacen lo llamamos “su frecuencia”, cuya unidad de medida es el Hertzio.
Estas Ondas Electromagnéticas viajan a la velocidad de la luz (300.000 Km/s), y se clasifican en función del número de ciclos u oscilaciones que hacen en un segundo (es decir, al recorrer 300.000 Km).
• Si hacen pocas oscilaciones decimos que son de Baja Frecuencia (por ejemplo, una onda que hace una sola oscilación en un segundo, decimos que tiene una frecuencia = 1 Hz y recorre con una sola oscilación 300.000 Km)
• Si hacen muchas oscilaciones decimos que son de Alta Frecuencia (por ejemplo, si una ondea hace 1.000.000.000 oscilaciones en un segundo, decimos que tiene 1.000.000.000 Hz = 1 GHz, y recorre 0,0003 Km o 30 cm en cada oscilación de onda.












El campo eléctrico es un campo físico que es representado mediante un modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica.1 Se describe como un campo vectorial en el cual unacarga eléctrica puntual de valor q sufre los efectos de una fuerza eléctrica \vec F dada por la siguiente ecuación:
(1)\vec F = q \vec E
En los modelos relativistas actuales, el campo eléctrico se incorpora, junto con el campo magnético, en campo tensorial cuadridimensional, denominado campo electromagnético Fμν.2
Los campos eléctricos pueden tener su origen tanto en cargas eléctricas como en campos magnéticos variables. Las primeras descripciones de los fenómenos eléctricos, como la ley de Coulomb, solo tenían en cuenta las cargas eléctricas, pero las investigaciones de Michael Faraday y los estudios posteriores de James Clerk Maxwellpermitieron establecer las leyes completas en las que también se tiene en cuenta la variación del campo magnético.
Esta definición general indica que el campo no es directamente medible, sino que lo que es observable es su efecto sobre alguna carga colocada en su seno. La idea de campo eléctrico fue propuesta por Faraday al demostrar el principio de inducción electromagnética en el año 1832.
La unidad del campo eléctrico en el SI es Newton por Culombio (N/C), Voltio por metro (V/m) o, en unidades básicas, kg·m·s−3·A−1 y la ecuación dimensional es MLT-3I-1.
Campo eléctrico producido por un conjunto de cargas puntuales. Se muestra en rosa la suma vectorial de los campos de las cargas individuales; \vec E =\vec E_1 +\vec E_2 + \vec E_3 .

Definición

La presencia de carga eléctrica en una región del espacio modifica las características de dicho espacio dando lugar a un campo eléctrico. Así pues, podemos considerar un campo eléctrico como una región del espacio cuyas propiedades han sido modificadas por la presencia de una carga eléctrica, de tal modo que al introducir en dicho campo eléctrico una nueva carga eléctrica, esta experimentará una fuerza.
El campo eléctrico se representa matemáticamente mediante el vector campo eléctrico, definido como el cociente entre la fuerza eléctrica que experimenta una carga testigo y el valor de esa carga testigo (una carga testigo positiva).
La definición más intuitiva del campo eléctrico se la puede dar mediante la ley de Coulomb. Esta ley, una vez generalizada, permite expresar el campo entre distribuciones de carga en reposo relativo. Sin embargo, para cargas en movimiento se requiere una definición más formal y completa, se requiere el uso decuadrivectores y el principio de mínima acción. A continuación se describen ambas.
Debe tenerse presente de todas maneras que desde el punto de vista relativista, la definición de campo eléctrico es relativa y no absoluta, ya que observadores en movimiento relativo entre sí medirán campos eléctricos o "partes eléctricas" del campo electromagnético diferentes, por lo que el campo eléctrico medido dependerá del sistema de referencia escogido.

Definición mediante la ley de Coulomb

Campo eléctrico de una distribución lineal de carga. Una carga puntual P es sometida a una fuerza en dirección radial \vec u_r por una distribución de carga \lambda en forma de diferencial de línea (dL), lo que produce un campo eléctrico d\vec E.
Partiendo de la ley de Coulomb que expresa que la fuerza entre dos cargas en reposo relativo depende del cuadrado de la distancia, matemáticamente es igual a:1
\bold{F}_{12} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2_{12}} \hat{\bold{r}}_{12}
Donde:
\scriptstyle \epsilon_0 es la permitividad eléctrica del vacío, constante definida en el sistema internacional,
q_1,\ q_2 son las cargas que interactúan,
r = \|\bold{r}_{12}\| es la distancia entre ambas cargas,
\bold{r}_{12}, es el vector de posición relativa de la carga 2 respecto a la carga 1.
y \hat r es el unitario en la dirección \vec r. Nótese que en la fórmula se está usando \epsilon_0, esta es la permitividad en el vacío. Para calcular la interacción en otro medio es necesario cambiar la permitividad de dicho medio. ( \epsilon = \epsilon_r . \epsilon_0)
La ley anterior presuponía que la posición de una partícula en un instante dado, hace que su campo eléctrico afecte en el mismo instante a cualquier otra carga. Ese tipo de interacciones en las que el efecto sobre el resto de partículas parece depender solo de la posición de la partícula causante sin importar la distancia entre las partículas se denomina en física acción a distancia. Si bien la noción de acción a distancia fue aceptada inicialmente por el propio Newton, experimentos más cuidados a lo largo del siglo XIX llevaron a desechar dicha noción como no-realista. En ese contexto se pensó que el campo eléctrico no solo era un artificio matemático sino un ente físico que se propaga a una velocidad finita (la velocidad de la luz) hasta afectar a otras partículas. Esa idea conllevaba modificar la ley de Coulomb de acuerdo con los requerimientos de la teoría de la relatividad y dotar de entidad física al campo eléctrico.1 Así, el campo eléctrico es una distorsión electromagnética que sufre el espacio debido a la presencia de una carga. Considerando esto se puede obtener una expresión del campo eléctrico cuando este solo depende de la distancia entre las cargas:
\bold{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{\bold{r}}
Donde claramente se tiene que \scriptstyle \bold{F} = q \bold{E}, la que es una de las definiciones más conocidas acerca del campo eléctrico. Para una distribución continua de cargas el campo eléctrico viene dado por:
\bold{E}(\bold{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_V \frac{\rho(\bold{r}')}{\|\bold{r}-\bold{r}'\|^3}(\bold{r}-\bold{r}')d^3\bold{r}'

Definición formal

La definición más formal de campo eléctrico, válida también para cargas moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz, surge a partir de calcular la acción de una partícula cargada en movimiento a través de un campo electromagnético.2 Este campo forma parte de un único campo electromagnético tensorial F^{\mu\nu} definido por un potencial cuadrivectorial de la forma:1
(1)F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}\quad; \qquad A^i = \left( \frac{\phi}{c},\bold{A} \right)
donde  \phi  es el potencial escalar y \scriptstyle \bold A es el potencial vectorial tridimensional. Así, de acuerdo al principio de mínima acción, se plantea para una partícula en movimiento en un espacio cuadridimensional:
(2)S = - \int_a^b (mc\text{ ds} + \frac{e}{c}A_i \text{ dx}^i)
donde e es la carga de la partícula, m es su masa y c la velocidad de la luz. Reemplazando (1) en (2) y conociendo que dx^i = u^i ds, donde dx^i es el diferencial de la posición definida dx^i = (cdt, dx, dy, dz) y u^i es la velocidad de la partícula, se obtiene:
(3)S = - \int_a^b (mc\text{ ds} + \frac{e}{c}\bold{A}\cdot\text{d}\bold{\text{r}} - e \phi\text{ dt})
El término dentro de la integral se conoce como el lagrangiano del sistema; derivando esta expresión con respecto a la velocidad se obtiene el momento de la partícula, y aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange se encuentra que la variación temporal de la cantidad de movimiento de la partícula es:
(4)\frac{d \bold{p}}{dt} = - \frac{e}{c} \frac{\partial \bold{A}}{\partial t} - e \boldsymbol\nabla \phi + \frac{e}{c} \bold{v} \times (\boldsymbol\nabla \times \bold A)
De donde se obtiene la fuerza total de la partícula. Los dos primeros términos son independientes de la velocidad de la partícula, mientras que el último depende de ella. Entonces a los dos primeros se les asocia el campo eléctrico y al tercero el campo magnético. Así se encuentra la definición más general para el campo eléctrico:2
(5)\bold{E} = -\frac{1}{c} \frac{\part \bold A}{\part t} - \boldsymbol\nabla \phi
La ecuación (5) brinda mucha información acerca del campo eléctrico. Por un lado, el primer término indica que un campo eléctrico es producido por la variación temporal de un potencial vectorial descrito como \scriptstyle \bold B = \boldsymbol \nabla \times \bold A donde \scriptstyle \bold B es el campo magnético; y por otro, el segundo representa la muy conocida descripción del campo como el gradiente de un potencial.2

Descripción del campo eléctrico

Matemáticamente un campo se lo describe mediante dos de sus propiedades, su divergencia y su rotacional. La ecuación que describe la divergencia del campo eléctrico se la conoce como ley de Gauss y la de su rotacional es la ley de Faraday.1

Ley de Gauss

Para conocer una de las propiedades del campo eléctrico se estudia qué ocurre con el flujo de este al atravesar una superficie. El flujo de un campo \Phi se obtiene de la siguiente manera:
(8)\Phi_E = \oint_S \vec E \cdot d\vec a
donde d \vec a  es el diferencial de área en dirección normal a la superficie. Aplicando la ecuación (7) en (8) y analizando el flujo a través de una superficie cerrada se encuentra que:
(9)\oint_S \vec E \cdot d\vec a = \frac{1}{\epsilon_0} Q_{enc}
donde Q_{enc} es la carga encerrada en esa superficie. La ecuación (9) es conocida como la ley integral de Gauss y su forma derivada es:
(10)\vec\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}
donde \rho es la densidad volumétrica de carga. Esto indica que el campo eléctrico diverge hacia una distribución de carga; en otras palabras, que el campo eléctrico comienza en una carga y termina en otra.1
Esta idea puede ser visualizada mediante el concepto de líneas de campo. Si se tiene una carga en un punto, el campo eléctrico estaría dirigido hacia la otra carga.

Ley de Faraday

En 1821, Michael Faraday realizó una serie de experimentos que lo llevaron a determinar que los cambios temporales en el campo magnético inducen un campo eléctrico. Esto se conoce como la ley de Faraday. La fuerza electromotriz, definida como el rotacional a través de un diferencial de línea está determinado por:
(11)\epsilon = \oint \vec E \cdot \text{d}\vec\text{l} = - \frac{d \Phi}{dt}
donde el signo menos indica la Ley de Lenz y \Phi es el flujo magnético en una superficie, determinada por:
(12)\Phi = \int \vec B \cdot\text{d}\vec{\text{a}}
reemplazando (12) en (11) se obtiene la ecuación integral de la ley de Faraday:
(13)\oint \vec E \cdot\text{d}\vec{\text{l}} = - \int \frac{d \vec B}{dt} \cdot\text{d}\vec{\text{a}}
Aplicando el teorema de Stokes se encuentra la forma diferencial:
(14)\vec\nabla \times \vec E = - \frac{\partial \vec B}{dt}
La ecuación (14) completa la descripción del campo eléctrico, indicando que la variación temporal del campo magnético induce un campo eléctrico.1

Expresiones del campo eléctrico

Campo electrostático (cargas en reposo)

Un caso especial del campo eléctrico es el denominado electrostático. Un campo electrostático no depende del tiempo, es decir es estacionario. Para este tipo de campos la Ley de Gauss todavía tiene validez debido a que esta no tiene ninguna consideración temporal, sin embargo, la Ley de Faraday debe ser modificada. Si el campo es estacionario, la parte derecha de la ecuación (13) y (14) no tiene sentido, por lo que se anula:
(15)\vec\nabla \times \vec E = 0
Esta ecuación junto con (10) definen un campo electrostático. Además, por el cálculo diferencial, se sabe que un campo cuyo rotacional es cero puede ser descrito mediante el gradiente de una función escalar V, conocida como potencial eléctrico:
(16)\vec E = - \vec\nabla V
La importancia de (15) radica en que debido a que el rotacional del campo eléctrico es cero, se puede aplicar el principio de superposición a este tipo de campos. Para varias cargas, se define el campo eléctrico como la suma vectorial de sus campos individuales:
(17)\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \vec E_3 + ...
entonces
(18)\vec\nabla \times \vec E = \vec\nabla \times (\vec E_1 + \vec E_2 + \vec E_3 +\dots) = (\vec\nabla \times \vec E_1) + (\vec\nabla \times \vec E_2) + (\vec\nabla \times \vec E_3)+\dots = 0

Líneas de campo

Líneas de campo eléctrico correspondientes a cargas iguales y opuestas, respectivamente.
Un campo eléctrico estático puede ser representado geométricamente con líneas tales que en cada punto el campo vectorial sea tangente a dichas líneas, a estas líneas se las conoce como "líneas de campo". Matemáticamente las líneas de campo son las curvas integrales del campo vectorial. Las líneas de campo se utilizan para crear una representación gráfica del campo, y pueden ser tantas como sea necesario visualizar.
Las líneas de campo son líneas perpendiculares a la superficie del cuerpo, de manera que su tangente geométrica en un punto coincide con la dirección del campo en ese punto. Esto es una consecuencia directa de la ley de Gauss, es decir encontramos que la mayor variación direccional en el campo se dirige perpendicularmente a la carga. Al unir los puntos en los que el campo eléctrico es de igual magnitud, se obtiene lo que se conoce como superficies equipotenciales, son aquellas donde el potencial tiene el mismo valor numérico. En el caso estático al ser el campo eléctrico un campo irrotacional las líneas de campo nunca serán cerradas (cosa que sí puede suceder en el caso dinámico, donde el rotacional del campo eléctrico es igual a la variación temporal del campo magnético cambiada de signo, por tanto una línea de campo eléctrico cerrado requiere un campo magnético variable, cosa imposible en el caso estático).
En el caso dinámico pueden definirse igualmente las líneas solo que el patrón de líneas variará de un instante a otro del tiempo, es decir, las líneas de campo al igual que las cargas serán móviles.

Campo electrodinámico (movimiento uniforme)

El campo eléctrico creado por una carga puntual presenta isotropía espacial, en cambio, el campo creado por una carga en movimiento tiene un campo más intenso en el plano perpendicular a la velocidad de acuerdo a las predicciones de la teoría de la relatividad. Esto sucede porque para un observador en reposo respecto a una carga que se mueve con velocidad uniforme la distancia en la dirección del movimiento de la carga serán menores que las medidas por un observador en reposo respecto a la carga, por efecto de la contracción de Lorentz, suponiendo que la carga se mueve a lo largo del eje X de observador tendríamos la siguiente relación de coordenadas entre lo medido por el observador en movimiento respecto a la carga \scriptstyle (\bar{x},\bar{y},\bar{z}) y el observador en reposo respecto a la carga \scriptstyle (x, y, z):
\bar{x} = \frac{x- Vt}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}, \quad \bar{y} = y, \quad \bar{z}=z
Siendo V la velocidad de la carga respecto al observador, así la distancia efectiva a la carga medida por el observador en movimiento respecto a la carga cumplirá que:
\bar{r}^2 = \frac{(x-Vt)^2 + (1-\frac{V^2}{c^2})(y^2+z^2)}{1-\frac{V^2}{c^2}}
Y por tanto el campo eléctrico medido por un observador en movimiento respecto a la carga será:
(19)\bold{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{\|\bar{r}\|^3}\bar{\bold{r}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q\left( 1-\frac{V^2}{c^2} \right)}{r^3\left( 1-\frac{V^2}{c^2}\sin^2 \theta \right)^{3/2}}\bold{r}
Donde \scriptstyle \theta es el ángulo formado por el vector de posición del punto donde se mide el campo (respecto a la carga) y la velocidad del movimiento. De esta última expresión se observa que si se considera una esfera de radio r alrededor de la carga el campo es más intenso en el "ecuador", tomando como polos norte y sur la interasección de la esfera con la trayectoria de la partícula, puede verse que el campo sobre la esfera varía entre un máximo \scriptstyle E_\bot y un mínimo \scriptstyle E_\| dados por:
(20)E_\| =\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q\left( 1-\frac{V^2}{c^2} \right)}{r^2}, \qquad E_\bot = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2\sqrt{ 1-\frac{V^2}{c^2}}}
Esta pérdida de simetría esférica es poco notoria para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz y se hace muy marcada a velocidades cercanas a la luz.

Campo electrodinámico (movimiento acelerado)

El campo de una carga en movimiento respecto a un observador se complica notablemente respecto al caso de movimiento uniforme si además de un movimiento relativo la carga presenta un movimiento acelerado respecto a un observador inercial. A partir de los potenciales de Lienard-Wiechert se obtiene que el campo creado por una carga en movimiento viene dado por:
(21)\bold{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon} \left[ \frac{q(1-\frac{v^2}{c^2})}{(r-\frac{\bold{r}\cdot\bold{v}}{c})^3}(\bold{r}-\frac{\bold{v}}{c}r) + \frac{q}{c^2(R-\frac{\bold{r}\cdot\bold{v}}{c})^3} \left[ \bold{r} \times \left( (\bold{r}-\frac{\bold{v}}{c}r) \times \dot{\bold{v}} \right) \right] \right]
El primer miembro solo depende de la velocidad y coincide con el campo eléctrico provocado por una carga en movimiento uniforme, a grandes distancias varía según una ley de la inversa del cuadrado 1/R2 y, por tanto, no supone emisión de energía, el segundo miembro depende de la aceleración \dot{\bold{v}} y tiene una variación 1/R que representa la intensidad decreciente de una onda esférica de radiación electromagnética, ya que las cargas en movimiento acelerado emiten radiación.

Energía del campo eléctrico

Un campo en general almacena energía y en el caso de cargas aceleradas puede transmitir también energía (principio aprovechado en antenas de telecomunicaciones). La densidad volumétrica de energía de un campo eléctrico está dada por la expresión siguiente:1
(22)u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2
Por lo que la energía total en un volumen V está dada por:
(23) U = \frac{\epsilon_0}{2}\int_{V} E^2 \ dV
donde dV es el diferencial de volumen.
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