Ecuación diferencial y condiciones iniciales.
Tras aplicar las leyes de Kirchhoff a los circuitos de 1º y 2º orden obtendremos ecuaciones como estas:
Donde a,b,c=ctes.
La solución completa de una ecuación diferencial lineal (con coeficientes ctes.) se compone de dos sumandos:
1.Solución general (de la ec. homogénea):
Se obtiene resolviendo la ecuación cuando g(t) se hace cero, es decir cuando se anula la excitación del circuito (se considera únicamente la energía almacenada en los elementos reactivos). Esta solución se conoce como respuesta natural, propia o libre, fn(t).
2.Solución particular:
Depende del tipo de excitación del circuito. Esta solución se conoce como respuesta forzada, ff(t).
Solución completa = sol. general + sol. particular
Condiciones iniciales de los elementos
Para determinar las constantes de integración es necesario conocer el estado del circuito en un instante de tiempo determinado. En la práctica este instante se hace coincidir con la conexión o desconexión de los interruptores. Por conveniencia se toma t=0, de tal forma que t=0- representa el instante inmediatamente anterior a la conmutación y t=0+ el inmediato posterior.
El estado del circuito en t=0- se define con la tensión en bornes de capacidades e intensidades por las bobinas. Estas condiciones se conocen como condiciones iniciales.
Para evaluar las constantes de integración en t=0+ hay que tener en cuenta que variables son continuas en t=0 (es decir f(0-)=f(0+)).
Resistencia:
La tensión sigue instantáneamente las variaciones de la corriente.
Condensador:
La tensión no puede variar de forma instantánea (i(t)→∞), entonces vC(0-)=vC(0+)=vC(0).
En c.c., régimen permanente t=∞, C= circuito abierto.
Inductancia:
La corriente no puede variar de forma instantánea (v(t)→∞), entonces iL(0-)=iL(0+)= iL(0).
En c.c., régimen permanente t=∞, L= cortocircuito.
Condiciones iniciales en una ecuación diferencial.
Independiente del grado de la ecuación diferencial, a fin de obtener las soluciones de las ecuaciones diferenciales se puede presentar condiciones que limitan la solución. En forma particular, obtener la solución de una ecuación de primer grado, que será nuestro punto de partida, bajo una condición inicial se traduce a la obtención de la solución de una ecuación
sujeta a la condición 
, conocido este último como condición inicial. En general, cuando se presenta la ecuación diferencial y las condiciones iniciales el problema se conoce como problema de valor inicial.
, conocido este último como condición inicial. En general, cuando se presenta la ecuación diferencial y las condiciones iniciales el problema se conoce como problema de valor inicial.
Ejemplo:
Dada una solución uniparamétrica
esta constituye una familia de soluciones de alguna ecuación diferencial, sin embargo la condición inicial es 
nos conduce a la solución 
nos conduce a la solución
¿Cuál de las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales?
Observamos que la primera ecuación no es lineal ya que la función no aparece de primer grado, la segunda si expresión si es lineal ya que tanto las derivadas, 
, como la función, y, son de primer grado. En el tercer caso las derivadas de la función no son de primer grado, aparece una segunda derivada en la expresión, por lo que la linealidad no existe. La última expresión si es lineal, al igual que la segunda expresión ya que tanto la función como la primera derivada son de primer grado.
, como la función, y, son de primer grado. En el tercer caso las derivadas de la función no son de primer grado, aparece una segunda derivada en la expresión, por lo que la linealidad no existe. La última expresión si es lineal, al igual que la segunda expresión ya que tanto la función como la primera derivada son de primer grado.
Realicemos el siguiente análisis para determinar como es la solución de la expresión. Considerando que
Por lo que
Haciendo
La solución es vista como:
Multiplicando por 
Tendríamos
Realicemos algunos ejemplos de este tipo de ecuaciones diferenciales y sus soluciones.
1.- Encuentre la solución para las siguientes ecuaciones diferenciales
Solución para a). Encontremos la solución para el primer inciso
Coloquemos la expresión diferencial lineal de la forma
Por lo que multiplicando la expresión por 3 tenemos
Comparando la expresión para las ecuaciones lineales y la expresión:
Por lo que
Comprobemos nuestra solución
Tomemos el lado derecho de la expresión con lo que
Con lo que podemos comprobar que efectivamente es solución de la ecuación diferencial.
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