domingo, 1 de mayo de 2016

Apuntes de cálculo

Cálculo diferencial

 derivada de una función en forma paramétrica es una derivada en cálculo que se toma cuando ambas variables x e y (tradicionalmente independiente ydependiente, respectivamente) dependen de una tercera variable independiente t, usualmente tomada como «tiempo».

Primera derivada

Sean x(t)\, e y(t)\, las coordenadas de los puntos de una curva expresada como una función de variable t. La primera derivada de las ecuaciones paramétricas descritas arriba es dada por:
\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\dot{y}(t)}{\dot{x}(t)},
donde la notación \dot{x}(t) indica la derivada de x con respecto de t, por ejemplo. Para entender el porqué la derivada aparece de esta manera, recuérdese la regla de la cadena para derivadas:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx},
o en otras palabras
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.
Formalmente, mediante la regla de la cadena:
\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}
y dividiendo ambos miembros por  \frac{dx}{dt}  se obtiene la ecuación de arriba.

Segunda derivada

La segunda derivada de una ecuación paramétrica viene dada por
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)
=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot\frac{dt}{dx}
= \frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{y}}{\dot{x}}\right)\frac{1}{\dot{x}}
= \frac{\dot{x}\ddot{y} - \dot{y}\ddot{x}}{\dot{x}^3}
mediante el uso de la regla del cociente para derivadas. El último resultado es muy útil en el cálculo de la curvatura.

Ejemplo

Por ejemplo, considérese el conjunto de funciones donde:
x(t) = 4t^2 \,
y
y(t) = 3t. \,
Derivando ambas funciones con respecto a t se obtiene que
\frac{dx}{dt} = 8t
y
\frac{dy}{dt} = 3,
respectivamente. Substituyendo estas en la fórmula para la derivada paramétrica, se obtiene
\frac{dy}{dx} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{3}{8t},
donde \dot{x} y \dot{y} se entienden como funciones de t.



Funciones paramétricas

En algunos casos la ecuación de una función o de una relación no está dada en la forma $y = f(x)$ o $f(x,y)=0$, como en las igualdades$y=5x^{2}+3x,\;\;\mbox{o,}\;\;x^{2}+y^{2}=4$, sino que está determinada por un par de ecuaciones en términos de una misma variable.
Por ejemplo, consideremos las ecuaciones $x=t^{2}-2t,\;\;y=t+1\;\;\mbox{con}\;\;t\in I\!\!R$.
Se tiene que a cada valor de $t$ le corresponde un punto $(x,y)$ del plano, el conjunto de los cuales determina una relación 
La siguiente tabla de valores:
$\begin{tabular}{c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert ... ... \hline y & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{tabular}$
nos permite hacer la representación gráfica de la relación de la siguiente manera:

En general, las ecuaciones $x=g(t),\;\;y=h(t)\;\;\mbox{con}\;\;h\;\;\mbox{y}\;\;g$ funciones continuas en un intervalo $I,\;\;(I\subseteq I\!\!R)$ reciben el nombre de ecuaciones paramétricas o representación paramétrica de una curva en el plano $XY$. La gráfica de las ecuaciones paramétricas está dada por el conjunto de puntos del plano $XY$, que se obtiene cuando $t$, que recibe el nombre de parámetro, toma todos sus valores posibles en el dominio $I$.
La relación que determinan las ecuaciones paramétricas, en general no es una función, como sucede en el ejemplo anterior. Sin embargo, en algunos casos, la relación dada sí es una función.
Por ejemplo, sean $\displaystyle{x=\frac{t}{2},\;\;y=\frac{t^{2}}{4}-1}\;\;\mbox{con}\;\;t\in I\!\!R$.
Obtenemos la siguiente tabla de valores:

La representación gráfica es la siguiente:

En este caso, al sustituir $\displaystyle{x=\frac{t}{2}\;\;\mbox{en}\;\;y=\frac{t^{2}}{4}-1}$ se obtiene que $y=x^{2}-1$ que es la ecuación de la parábola con el eje $Y$ como el eje de simetría por lo que sí es una función. Note que la ecuación obtenida involucra únicamente las variables "x" e "y". Se dice entonces que el parámetro ha sido eliminado.
En algunos casos, en la eliminación del parámetro se utiliza una o más identidades trigonométricas como se muestra a continuación.
Sea $Q$ la relación con representación paramétrica$x=2\;sen\;t,\;\;y=2\;cos\;t\;\;\mbox{con}\;\;t\in I\!\!R$.
Se tiene que $Q=\{(x,y)/\;x=2\;sen\;t,\;\;y=2\;cos\;t,\;\;t\in I\!\!R\}$
Vamos a expresar la relación $Q$ utilizando únicamente las variables "x" e "y" como sigue:
$x^{2}+y^{2}=(2\;sen\;t)^{2}+(2\;cos\;t)^{2}$ 
$=4\;sen^{2}t+4\;cos^{2}t$ 
$=4(sen^{2}t+cos^{2}t)=4$ 
de donde $x^{2}+y^{2}=4$ es la ecuación de una circunferencia con centro en $(0,0)$ y radio 2. Luego $Q$ no representa una función y su representación gráfica es la siguiente: 

$Q$ puede expresarse entonces como:
$Q=\{(x,y)/\; x^{2}+y^{2}=4\;\;x\in[-2,2],\;\;y\in[-2,2]\}$
Sea ahora R la relación con representación paramétrica $\displaystyle{x=2t,\;\;y=\frac{6}{t}}$ con$t\in I\!\!R-\{0\}$.
En este caso $\displaystyle {R=\{(x,y)/ \; x=2t,\;\;y=\frac{6}{t}\;\; t\in I\!\!R,\;\;t\neq 0\}}$
Para expresar R en términos de "x" e "y", se despeja $t$ en alguna de las ecuaciones y se sustituye en la otra como se muestra a continuación:
Si $x=2t$ entonces $\displaystyle{t=\frac{x}{2},\;\;\mbox{y}\;\;y=\frac{6}{\frac{x}{2}}=\frac{12}{x}}$
Luego la ecuación $\displaystyle{y=\frac{12}{x}}$ para $x\in I\!\!R,\;\;x\neq 0$ tiene como representación gráfica la siguiente:

Por último verifiquemos que $\displaystyle{\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1}$ es una ecuación de la relación determinada por las ecuaciones paramétricas $x=3(1-cos\;\theta)\;\;y=2\;sen\;\theta$, con$\theta \in I\!\!R$.
Como $x=3(1-cos\;\theta)$ entonces $\displaystyle{cos\;\theta=1-\frac{x}{3}}$, y como $y=2\;sen\;\theta$ entonces$\displaystyle{sen\;\theta=\frac{y}{2}}$
Luego $sen^{2}\theta + cos^{2}\theta =\displaystyle{(\frac{y}{2})^{2}+(1-\frac{x}{3})^{2}}$, de donde $1=\displaystyle{\frac{y^{2}}{4}+\frac{(x-3)^{2}}{9}}$, que es la ecuación de una elipse con centro en $(3,0)$
Su representación gráfica es la siguiente:

Derivada de la función dada paramétricamente
El siguiente teorema nos proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada de una función dada en forma paramétrica.

 Teorema
 Sean $f\;\;\mbox{y}\;\;g$ funciones derivables en un intervalo $]t_{1},t_{2}[$. Supongamos que $f$ tiene una inversa derivable en ese intervalo. Entonces en cada punto donde $f'(t)\neq 0$, las ecuaciones $x=f(t),\;\;y=g(t)$ implican que existe una función derivable $F$ tal que $y = f(x)$, y además $D_{x}y=\displaystyle{\frac{g'(t)}{f'(t)}=\frac{D_{t}y}{D_{t}x}}$
Prueba: Al final del capítulo.
Ejemplos:
  1. Determine $D_{x}y\;\;\mbox{si}\;\;x=e^{t},\;\;y=1+t^{2}\;\; \mbox{con}\;\;t\in I\!\!R$
    Solución:
    Por el teorema anterior se tiene que $D_{x}y=\displaystyle{\frac{D_{t}y}{D_{t}x}}$
    Luego:
    $D_{t}y=2t,\;\;D_{t}x=e^{t}\;\;(e^{t}\neq 0\;\;\mbox{para todo}\;\; t\in I\!\!R)$ por lo que $D_{x}y=\displaystyle{\frac{2t}{e^{t}}}$
  2. Determinar los puntos de la curva con ecuaciones $\displaystyle{x=\frac{t^{2}}{t^{2}+1},\;\;y=\frac{t}{t^{2}-1}}$en los que que es cero la pendiente de la recta tangente a la curva.
    Solución:
    Recuerde que la pendiente de la recta tangente está dada por $D_{x}y$.
    Como $D_{t}x=\displaystyle{\frac{-2t}{(t^{2}-1)^{2}},\;\;\mbox{y}\;\;D_{t}y=-\frac{1+t^{2}}{(t^{2}-1)^{2}}}$ entonces $D_{x}y=\displaystyle{\frac{t^{2}+1}{2t}}$
    La pendiente de la recta tangente es cero cuando $D_{x}y=0$, en este caso cuando $t^{2}+1=0$; pero esta igualdad no se cumple para ningún valor real de $t$. Luego, no existe ningún punto de la curva dada donde la pendiente de la recta tangente sea cero.
  3. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuaciones$x=Bt,\;\;y=Ct-dt^{2}$ cuando $t = 0$
    Solución:
    La ecuación de la recta tangente está dada por $y=mx+b$, donde $m=D_{x}y$.
    Se tiene que $D_{x}y=\displaystyle{\frac{D_{t}y}{D_{t}x}=\frac{C-2dt}{B}}$
    Cuando $t=0\;\;\mbox{entonces}\;\;D_{x}y=\frac{C}{B}$, por lo que $\displaystyle{y=\frac{C}{B}x+b\;\;(*)}$
    Cuando $t = 0$ se obtiene $x=0,\;\;y=0$, y al sustituir en $(*)$ se obtiene: $b= 0$.
    Luego, la ecuación de la recta tangente es: $\displaystyle{y=\frac{C}{B}x}$
Derivadas de orden superior para una función dada en forma paramétrica 
Si $x\;\;\mbox{y}\;\;y$ están dadas en forma paramétrica entonces $D_{x}^{2}y$ puede expresarse como sigue:
$D_{x}^{2}y= D_{x}(D_{x}y)=\displaystyle{\frac{D_{t}(D_{x}y)}{D_{t}x}}$
Ejemplo:
Si $x=2t^3+sen\;t,\;\;y=t^{2}-cos\;t$ entonces $D_{x}y=\displaystyle{\frac{2t+sen\;t}{6t^{2}+cos\;t}}$ y$D_{x}^{2}y=\displaystyle{\frac{D_{t}(D_{x}y)}{D_{t}x}=\frac{D_{t}\left(\frac{2t+sen\;t}{6t^{2}+cos\;t}\right)}{D_{t}(2t^{3}+sen\;t)}}$
$=\displaystyle{\frac{(6t^{2}+2)cos\;t+1-12t^{2}-10\;sen\;t}{(6t^{2}+cos\;t)^{2}(6t^{2}+cos\;t)}}$
En general, para obtener la enésima derivada, cuando las ecuaciones están dadas en forma paramétrica, se aplica la siguiente igualdad:
$D_{x}^{n}y=\displaystyle{\frac{D_{t}(D_{x}^{n-1}y)}{D_{t}x}}$ 




Derivada en Coordenadas Paramétricas

La derivada es la pendiente de la recta tangente a un puntoP(x_{o},y_{o})en la curva f(x).
Derivada.jpg



lo que significa que:

m=f'(x)


m=y'


m=tan(\alpha)


y'=dy/dt




si parametrizamos la función f(x) encontramos que:
   x = x(t)              t_a\leq t \leq t_b  


   y = y(t)
entonces si derivamos cada una de las componentes con respecto de t obtenemos lo siguiente:
   \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}
utilizando otra notación que seria definiendo a\frac{dy}{dt}=\dot{y}y a\frac{dx}{dt}=\dot{x}entonces podemos denotar a la derivada en forma paramétrica de la siguiente forma:
  \frac{dy}{dx}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}

Segunda Derivada

\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\begin{bmatrix} \frac{dy}{dx} \end{bmatrix}=\frac{d\begin{bmatrix} \frac{\dot{y}}{\dot{x}} \end{bmatrix}}{dx}=\frac{\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} \frac{\dot{y}}{\dot{x} \end{bmatrix}}}{\dot{x}}=\frac{\ddot{y}\dot{x}-\dot{y}\ddot{x}}{\dot{x}^3}
Mauro21:33 16 feb 2010 (CST)

Ecuación de la Tangente

Para encontrar la ecuación de la normal en coordenadas paramétricas necesitamos tomar en cuenta la ecuación de la recta tangente en coordenadas cartesianas para luego parametrizar.
Tomando otra vez como referencia el punto P(x_{o},y_{o}) y sabiendo también que m=f'(x)


entonces si utilizamos la ecuación de la recta y-y_{o}=m(x-x_{o})obtenemos la siguiente ecuación:
y=mx-mx_{o}+y_{o}que fácilmente la podemos sustituir a esta ecuación:
   y = y'(x_{o})x-y'(x_{o})x_{o}+y_{o}     ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE EN COORDENADAS CARTESIANAS

Entonces si parametrizamos con x = x(t) y y = y(t) obtenemos lo siguiente:
   x=t  

   y=\frac{\dot{y}(t_o)}{\dot{x}(t_o)}t-\frac{\dot{y}(t_o)x(t_o)}{\dot{x}(t_o)}+y(t_o)     Ecuación de la Tangente en Paramétricas


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