Efectos electromagnéticos

Efecto Branly

El efecto Branly es la caída drástica de la resistencia eléctrica de una muestra de granos metálicos por efecto de las ondas electromagnéticas generadas por una chispa eléctrica producida a una determinada distancia. En este efecto se basaron las primeras comunicaciones radioléctricas llevadas a cabo por Guillermo Marconi a finales del siglo XIX.

El fenómeno fue descubierto en 1890 por el físico francés Édouard Branly, y hasta más de un siglo después no se le encontró una explicación. Según los experimentos realizados, el efecto puede interpretarse en términos de microcontactos entre los granos que quedan soldados bajo el efecto provocado por el paso de la corriente eléctrica. El metal se fusiona y se crean puentes metálicos que hacen disminuir la resistencia eléctrica. Por lo demás, un simple choque mecánico puede romper dichos puentes.

El efecto Compton (o dispersión Compton) consiste en el aumento de la longitud de onda de un fotón cuando choca con un electrón libre y pierde parte de su energía. La frecuencia o la longitud de onda de la radiación dispersada depende únicamente del ángulo de dispersión.

Descubrimiento y relevancia histórica

El Efecto Compton fue estudiado por el físico Arthur Compton en 1923, quién pudo explicarlo utilizando la noción cuántica de la radiación electromagnética comocuantos de energía y la mecánica relativista de Einstein. El efecto Compton constituyó la demostración final de la naturaleza cuántica de la luz tras los estudios dePlanck sobre el cuerpo negro y la explicación de Albert Einstein del efecto fotoeléctrico. Como consecuencia de estos estudios Compton ganó el Premio Nobel de Física en 1927.

Este efecto es de especial relevancia científica, ya que no puede ser explicado a través de la naturaleza ondulatoria de la luz. La luz debe comportarse como partícula para poder explicar estas observaciones, por lo que adquiere una dualidad onda corpúsculo característica de la mecánica cuántica.

Formulación matemática

La variación de longitud de onda de los fotones dispersados,

\Delta \lambda

, puede calcularse a través de la relación de Compton:

$\Delta \lambda = \frac{h}{m_e c} \left(1-\cos \theta \right),$

donde:

h es la constante de Planck,
m_e es la masa del electrón,
c es la velocidad de la luz.
θ el ángulo entre los fotones incidentes y dispersados.

Esta expresión proviene del análisis de la interacción como si fuera una colisión elástica y su deducción requiere únicamente la utilización de los principios deconservación de energía y momento. La cantidad

h/m_e c

= 0.0243 Å, se denomina longitud de onda de Compton. Para los fotones dispersados a 90°, la longitud de onda de los rayos X dispersados es justamente 0.0243 Å mayor que la línea de emisión primaria.

Deducción matemática

La deducción de la expresión para

\Delta \lambda

(llamada a veces corrimiento de Compton) puede hacerse considerando la naturaleza corpuscular de la radiación y las relaciones de la mecánica relativista. Consideremos un fotón de longitud de onda

\lambda

y momentum

h/\lambda

dirigiéndose hacia un electrón en reposo (masa en reposo delelectrón

m_e

). La Teoría de la Relatividad Especial impone la conservación del cuadrimomento

p^\mu=(E/c, \vec p)

. Si

\lambda'

es la longitud de onda del fotón dispersado y

\vec p

es el momentum del electrón dispersado se obtiene:

$\frac{h}{\lambda'}\sin\theta=p\,\sin\phi$

$\frac{h}{\lambda}=p\,\cos\phi+\frac{h}{\lambda'}\,\cos\theta$

donde

\theta

\phi

son, respectivamente, los ángulos de dispersión del fotón y del electrón (medidos respecto de la dirección del fotón incidente). La primera de las ecuaciones anteriores asegura la conservación de la componente del momento perpendicular a la dirección incidente, la segunda hace lo mismo para la dirección paralela. La conservación de la energía da:

$\frac{hc}{\lambda}+m_e\,c^2=\frac{hc}{\lambda'}+\sqrt{m_e^2\,c^4+c^2\,p^2}$

Lo que sigue es un trabajo de Álgebra elemental. De las ecuaciones de conservación del momentum es fácil eliminar

\phi

para obtener:

$p^2 = h^2 \left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2}-\frac{2}{\lambda\,\lambda'}\cos\theta \right)$

En la expresión para la conservación de la energía se hace:

$\left[hc\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) + m_e\,c^2\right]^2 = m_e^2c^4 + c^2p^2$

Reemplazando la expresión para

p^2

hallada anteriormente y luego de algunas operaciones se llega a la expresión para el corrimiento de Compton con:

$\displaystyle{\Delta \lambda=\lambda'-\lambda}$

Efecto Compton inverso

También puede ocurrir un Efecto Compton inverso; es decir, que los fotones disminuyan su longitud de onda al chocar con electrones. Pero para que esto suceda es necesario que los electrones viajen a velocidades cercanas a la velocidad de la luz y que los fotones tengan altas energías.

La principal diferencia entre los dos fenómenos es que durante el Efecto Compton "convencional", los fotones entregan energía a los electrones, y durante el inverso sucede lo contrario.

Este efecto puede ser una de las explicaciones de la emisión de rayos X en supernovas, quasars y otros objetos astrofísicos de alta energía.

Cuando se analiza la radiación electromagnética que ha pasado por una región en la que hay electrones libres, se observa que además de la radiación incidente, hay otra de frecuencia menor. La frecuencia o la longitud de onda de la radiación dispersada depende de la dirección de la dispersión.

Sea l la longitud de onda de la radiación incidente, y l’ la longitud de onda de la radiación dispersada. Compton encontró que la diferencia entre ambas longitudes de onda estaba determinada únicamente por el ángulo q de dispersión, del siguiente modo

donde l_c es una constante que vale 2.4262 10^-12 m

Se explica el efecto Compton en términos de la interacción de la radiación electromagnética con electrones libres, que suponemos inicialmente en reposo en el sistema de referencia del observador.

Fundamentos físicos

En el efecto fotoeléctrico solamente hemos considerado que el fotón tiene una energía E=hf . Ahora bien, un fotón también tiene un momento lineal p=E/c.

Esta relación no es nueva, sino que surge al plantear las ecuaciones que describen las ondas electromagnéticas. La radiación electromagnética tiene momento y energía. Cuando analicemos cualquier proceso en el que la radiación electromagnética interactúa con las partículas cargadas debemos de aplicar las leyes de conservación de la energía y del momento lineal.

En el caso del efecto fotoeléctrico, no se aplicó la ley de conservación del momento lineal por que el electrón estaba ligado a un átomo, a una molécula o a un sólido, la energía y el momento absorbidos están compartidos por el electrón y el átomo, la molécula o el sólido con los que está ligado.

Vamos a obtener la fórmula del efecto Compton a partir del estudio de un choque elástico entre un fotón y un electrón inicialmente en reposo.

Principio de conservación del momento lineal

Sea p el momento lineal del fotón incidente,
Sea p' el momento lineal del fotón difundido,
Sea p_e es el momento lineal del electrón después del choque, se verificará que

p=p'+p_e (1)

Principio de conservación de la energía

La energía del fotón incidente es E=hf .
La energía del fotón dispersado es E’=hf ’ .
La energía cinética del electrón después del choque no la podemos escribir como m_ev²/2 ya que el electrón de retroceso alcanza velocidades cercanas a la de la luz, tenemos que reemplazarla por la fórmula relativista equivalente

donde m_e es la masa en reposo del electrón 9.1·10^-31 kg

El principio de conservación de la energía se escribe

(2)

Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2) llegamos a la siguiente expresión

Teniendo en cuanta la relación entre frecuencia y longitud de onda se convierte en la expresión equivalente

Hemos obtenido el valor de la constante de proporcionalidad l_c a partir de las constantes fundamentales h, m_e y c.

Llegamos entonces a la conclusión de que podemos explicar la dispersión de la radiación electromagnética por los electrones libres como una colisión elástica entre un fotón y un electrón en reposo en el sistema de referencia del observador. A partir de las ecuaciones de conservación del momento lineal y de la energía, llegamos a la ecuación que nos relaciona la longitud de onda de la radiación incidente l con la longitud de onda de la radiación dispersada l’ y con el ángulo de dispersión q .

Actividades

En la experiencia real, el detector es un cristal de INa, la fuente de rayos gamma está producida por el isótopo Cs-137, que tiene un pico muy agudo centrado en 661.6 keV, o en la longitud de onda 1.878 10^-12 m, (0.01878 A). Los electrones libres los proporciona un trozo de metal que puede ser una varilla de hierro.

Midiendo la diferencia de longitudes de onda entre la radiación dispersada y la radiación incidente se pide calcular la constante l_C. A partir del valor de esta constante, y conocida los valores de las constantes fundamentales, velocidad de la luz c=3·10⁸ m/s y la masa del electrón m_e=9.1·10^-31 kg, se pide calcular el valor de la constante h de Planck, comprobando que está cerca del valor 6.63·10^-34 Js.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se cambia el ángulo q del detector actuando con el ratón,

Se mide la longitud de onda de la radiación dispersada.

Ejemplo:

La longitud de onda de la radiación dispersada para el ángulo 60º es l^'=0.03091 A. Calcular la constante l_C y a continuación, la constante h de Planck.

0.03091-0.01878=l_C(1-cos60)
l_C=0.02426 A=2.426·10^-12 m

En la parte inferior izquierda del applet, se representa la intensidad de la radiación gamma que registra el detector en función de la longitud de onda. En el programa interactivo, la fuente de rayos gamma emite ondas electromagnéticas cuyas longitudes de onda están centradas en 0.01878 A. La forma del pico se ha representado mediante la gaussiana

centrada en dicha longitud de onda a, y cuyo valor sigma s se ha ajustado para dar la apariencia de un pico agudo (en color azul). La radiación registrada por el detector se ha representado por medio de otra gaussiana (en color rojo) centrada en la longitud de onda dispersada cuyo valor de sigma s va creciendo con el ángulo de dispersión.

En la parte superior derecha del applet, se muestran los valores numéricos de las longitudes de onda en angstrong (10^-10 m) de la radiación incidente y dispersada.

En la parte derecha del applet, podemos ver de forma animada el choque elástico entre un fotón y un electrón en reposo. Podemos apreciar gráficamente cómo cambia la longitud de onda de la radiación dispersada a medida que aumenta el ángulo de dispersión.

Podemos ver también que el electrón retrocede adquiriendo un momento lineal p_e y formando un ángulo que se puede calcular a partir de las ecuaciones de conservación del momento lineal (1) y de la energía (2). Para calcular la velocidad v del electrón, necesitamos la expresión relativista del momento lineal