sábado, 14 de noviembre de 2015

Electromagnetísmo

Electrodinámica

Una corriente de desplazamiento es una cantidad que está relacionada con un campo eléctrico que cambia o varía en el tiempo. Esto puede ocurrir en el vacío o en un dieléctrico donde existe el campo eléctrico. No es una corriente física, en un sentido estricto, que ocurre cuando una carga se encuentra en movimiento o cuando la carga se transporta de un sitio a otro. Sin embargo, tiene las unidades de corriente eléctrica y tiene asociado un campo magnético. La corriente de desplazamiento fue postulada en 1865 por James Clerk Maxwell cuando formulaba lo que ahora se denominan ecuaciones de Maxwell. Matemáticamente se define como el flujo de la variación temporal del campo eléctrico a través de una superficie:
I_D =\varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}
Está incorporada en la ley de Ampère, cuya forma original funcionaba sólo en superficies que estaban bien definidas (continuas y existentes) en términos de corriente. Una superficie S1 elegida tal que incluya únicamente una placa de un condensador debería tener la misma corriente que la de una superficie S2 elegida tal que incluya ambas placas del condensador. Sin embargo, como la carga termina en la primera placa, la Ley de Ampère concluye que no existe carga encerrada en S1. Para compensar esta diferencia, Maxwell razonó que esta carga se encontraba en el flujo eléctrico, la carga en el campo eléctrico, y mientras que la corriente de desplazamiento no es una corriente de carga eléctrica, produce el mismo resultado que aquella generando un campo magnético.
Pese a que hay gente que afirma que la corriente de desplazamiento no existe realmente, se puede pensar en ella como la respuesta de un material dieléctrico a un campo eléctrico variante. La corriente de desplazamiento es la única corriente que atraviesa un dieléctricoperfecto.
La densidad de corriente se puede hallar suponiendo \Phi_E = EA y utilizando J_D = I_D/A, llegando a:
\vec{J}_D = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} =\varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
Combinando estas formulaciones, el campo magnético se corresponde al la forma integral de la ley de Ampère con una elección arbitraria del contorno proporcionado el término de la densidad de corriente de desplazamiento (la ecuación de Ampère-Maxwell):1
\oint_{\partial S} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \int_S (\boldsymbol{J} + \epsilon_0 \frac {\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}) \cdot d\boldsymbol{S} \,
Aquí, la expresión en términos del campo de desplazamiento \vec{D} es más general, ya que la permitividad \epsilon del resultado de la derecha supone que el medio es no dispersivo.

Ejemplo mostrando dos superficies S1 y S2 que comparten la misma delimitación de contorno∂S. Sin embargo, S1 es atravesado por una corriente de conducción, mientras que S2 es atravesada por una corriente de desplazamiento.

Corriente de desplazamiento en un condensador plano GIA

1 Enunciado

Tenemos un condensador plano de placas circulares de radio R= 2.30\,\mathrm{ cm} separadas par una distancia d=1.10\,\mathrm{mm}. Al condensador llega una corrienteI=5.00\,\mathrm{A}. Calcula la corriente de desplazamiento en el interior del condensador.

2 Solución

La corriente que llega al condensador provoca que en una de sus placas aparezca una carga Q(t). Esta carga crea un campo eléctrico entre las cargas y produce una carga − Q(t) en la placa opuesta, pues ambas placas están en influencia total. Este campo eléctrico depende del tiempo, y la corriente de desplazamiento es proporcional a la derivada en el tiempo del flujo eléctrico de este campo. Si llamamos I0 a la corriente que llega a las placas tenemos
I_0 = \dfrac{\mathrm{d}Q(t)}{\mathrm{d}t}
Esto es así por que la carga que lleva la corriente no puede atravesar el condensador y queda depositada en la placa del condensador.
Como el radio de las placas del condensador es mucho menor que la distancia que las separa (R\ll d ), está justificado despreciar los efectos de borde. Suponemos entonces que el campo eléctrico entre las placas del condensador es uniforme y perpendicular a las placas
\vec{E}(t) = E_0(t)\,\vec{u}
El vector \vec{u}  es un vector unitario que va desde la placa con carga positiva a la negativa.
Vimos en el tema dos que el campo creado entre dos placas con densidades de carga del mismo valor absoluto y signos contrarios era
\vec{E} = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\vec{u}
donde σ es la densidad superficial de carga. En nuestro caso la densidad superficial de carga es
\sigma = \dfrac{Q(t)}{A}
siendo A=\pi\,R^2  el área de las placas del condensador. Entonces el campo eléctrico entre las placas puede escribirse
\vec{E}(t) = \dfrac{Q(t)}{\varepsilon_0A}\,\vec{u}
Vamos a calcular la corriente de desplazamiento que atraviesa el condensador. El flujo eléctrico a través de una superficie paralela a las placas es
\Phi_e = \int\limits_S\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A} = \int\limits_S\left(E_0(t)\,\vec{u}\right)\cdot\left(\mathrm{d}A\,\vec{u}\right)= \int\limits_SE_0(t)\,\mathrm{d}A
Como el campo eléctrico es uniforme tenemos
\Phi_e = E_0(t)\,A = \dfrac{Q(t)}{\varepsilon_0A}A = \dfrac{Q(t)}{\varepsilon_0}
La corriente de desplazamiento es
I_d = \varepsilon_0\dfrac{\mathrm{d}\Phi_e}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}Q(t)}{\mathrm{d}t}
Pero este valor es igual a la corriente que llega a las placas.
I_d = I_0 = \dfrac{\mathrm{d}Q(t)}{\mathrm{d}t}
Vemos entonces que la corriente de desplazamiento entre las placas del condensador es igual a la corriente de conducción en el cable. Este hecho es el que hace que la Ley de Ampère-Maxwell pueda aplicarse a cualquier superficie apoyada en una curva cerrada. La Ley es
\oint\limits_{\Gamma} \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \mu_0\left[I+I_d\right]_{S_{\Gamma}}
En el sistema de la figura, consideramos dos superficies apoyadas en la curva cerrada Γ. Si aplicamos la Ley de Ampère en la superficie S1 tenemos
\oint\limits_{\Gamma} \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \mu_0\left[I+I_d\right]_{S_{1}}= \mu_0\,I_0
Mientras que si lo hacemos en la superficie dos tenemos
\oint\limits_{\Gamma} \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \mu_0\left[I+I_d\right]_{S_{2}}= \mu_0\,I_d= \mu_0\,I_0
Hay que señalar que el hecho de que la corriente de conducción en el cable y la corriente de desplazamiento en el interior del condensador sean numéricamente iguales no quiere decir que podamos escribir la Ley de Ampère-Maxwell así
\oint\limits_{\Gamma} \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \mu_0\left[I+I_d\right]_{S_{\Gamma}}= \mu_0\left[2\,I_0 \right]_{S_{\Gamma}}
Esto no es correcto. La corriente de conducción y la de desplazamiento aparecen en lugares distintos. La de conducción en el cable y la de desplazamiento en el interior del condensador.
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