Física fundamental

PARTÍCULAS RELATIVISTAS DE ESPÍN 0

Introducción

La evolución lógica que se podía tomar para hacer una teoría cuántica relativista con el mismo modelo que se siguió para hacer la teoría de ondas de Schrodinger estaba condenada al fracaso. De hecho, no existe una ecuación de ondas análoga a la de Mecánica Cuántica que sea compatible con ésta y con la relatividad.

El mismo Schrodinger diseñó una ecuación de ondas relativista, que fue más tarde descubierta independientemente por el físico sueco Oskar Klein y el alemán Walter Gordon. Hasta su interpretación adecuada en términos de teoría cuántica de campos, fue desechada por tres razones muy justificadas:

i) No reproducía el espectro de estructura fina del átomo de hidrógeno.

ii) Se podían deducir probabilidades negativas.

iii) Permitía estados de energía negativa.

No fue hasta el año 1934, 6 años después de que Dirac propusiera su ecuación para partículas de espín 1/2, cuando W.Pauli y V. Weisskopf interpretaron correctamente la ecuación de Klein-Gordon como la que describía un campo cuántico escalar. Veremos cómo se pudieron salvar estos problemas con una nueva interpretación de la teoría en el formalismo de segunda cuantización, y de hecho esta ecuación es buena para el estudio de muchas partículas sin espín como los mesones π o piones.

Ecuación de Klein-Gordon

Para deducir esta ecuación hay que respetar, aparte del principio cuántico de que los observables aquí son operadores, la vieja fórmula para la energía relativista:

Recordemos las prescripciones cuánticas para transformar observables, según las cuales:

en donde el último símbolo corresponde al operador nabla habitual de la geometría diferencial. De aquí naturalmente se infiere:

Por tanto la ecuación deseada queda como

o bien

∂2ϕ∂t2−c2∇2ϕ+m2c4ℏ2ϕ=0(1)

que usando unidades naturales (ħ=c=1) queda:

Veamos ahora su forma covariante. Si usamos la métrica habitual en teoría de partículas (1,-1,-1,-1) podemos reescribir la ecuación anterior introduciendo el operadorD'Alambertiano, que constituye la generalización del operador laplaciano en un espacio de Minkowsky:

nos queda la ecuación de Klein-Gordon en su forma covariante más conocida:

que como vemos es manifiestamente invariante relativista, siempre que φ sea una función escalar (que más adelante interpretaremos como un campo), es decir, invariante bajo una transformación Lorentz:

Límite no relativista

Si ponemos la solución de la ecuación de Klein-Gordon como

ϕ(x,t)=f(x,t)e−iℏmc2t

y tenemos en cuenta que en el límite no relativista, la diferencia entre la energía total y la de su masa en reposo es muy pequeña, es decir

T=E−mc2≪mc2

como f(x,t)∼e−iℏTt se tiene

∣∣∣iℏ∂f∂t∣∣∣≃Tf≪mc2f

y operando un poco

∂ϕ∂t∂2ϕ∂t2=(∂f∂t−iℏmc2f)e−iℏmc2t≃−iℏ(T+mc2)fe−iℏmc2t≃−iℏmc2e−iℏmc2t=∂∂t[(∂f∂t−iℏmc2f)e−iℏmc2t]=[∂2f∂t2−iℏmc2∂f∂t]e−iℏmc2t−−iℏmc2(∂f∂t−iℏmc2f)e−iℏmc2t==[∂2f∂t2−2iℏmc2∂f∂t−m2c4ℏ2f]e−iℏmc2t≃≃−[2iℏmc2∂f∂t+1ℏ2(/T2+m2c4)f]e−iℏmc2t≃≃−[2iℏmc2∂f∂t+m2c4ℏ2f]e−iℏmc2t

en donde se ha usado

∂2f∂t∼∂∂t(−iℏTf)∼−T2ℏ2f

y, lógicamente

∇2ϕ=∇2fe−iℏmc2t

Introduciendo estos resultados en la ecuación de Klein-Gordon (1) obtenemos

−ℏ2[2iℏmc2∂f∂t+m2c4ℏ2f]e−iℏmc2t−ℏ2c2∇2fe−iℏmc2t+m2c4fe−iℏmc2t=0

o lo que es lo mismo

iℏ∂f∂t=−ℏ22m∇2f(2)

Reconocemos en esta última ecuación la ecuación de Schrödinger, para partículas sin espín. Esta sería una forma de ver que la ecuación de KG es una ecuación para partículas de espín cero, dado que el tipo de partícula no debería verse afectado por el hecho de estar en el régimen relativista o no.

Soluciones.Energías negativas

La solución en este caso es la onda plana:

en donde se asume el producto usual entre los cuadrivectores momento y posición:

Nótese también que el cuadrado de este cuadrivector momento nos da el cuadrado de la masa, precisamente el origen de la ecuación de Klein Gordon:

La solución apuntada es análoga a la solución de Schrödinger y no habría ningún problema de no ser porque no es la única. Esto es debido a que ahora la relación de dispersión es la relativista:

y por tanto en este caso existirán dos soluciones generales, correspondientes a valores de energía positiva y negativa:

Este hecho no tendría mucha gravedad si no hubiera transiciones entre estados. En el caso ideal de la partícula libre estos estados no deben interactuar y por tanto prodríamos quedarnos sólo con las soluciones con más sentido físico, correspondientes a energías positivas, y trabajar sin preocupación. Sin embargo, este sistema ideal no es realista y en teoría cuántica de campos hay que contemplar el hecho de que una partícula de energía E podría decaer en otra con energía -E (sin más que emitiendo un fotón de energía 2E).

Interpretar estas soluciones fue uno de los principales escollos del desarrollo de la teoría. Teniendo además en cuenta que el hamiltoniano es definido positivo, como puede verse si uno parte del lagrangiano de Klein-Gordon:

dado aquí en su forma compleja (el factor 1/2 desaparece debido a que la parte conjugada se toma como un campo distinto en las ecuaciones de Euler), del cual podemos obtener la densidad hamiltoniana a partir del momento conjugado:

cuyo caracter positivo es manifiesto. Hay que decir que estas cantidades complejas dan lugar a dos conjuntos de ecuaciones independentes que se suelen usar para las partículas con carga. Pero como veremos el de las energías negativas no era el único problema que tenía este formalismo.

El problema de la interpretación probabilística

En el contexto no relativista, la ecuación de Schrödinger definía claramente una corriente conservada a partir de la conservación de la probabilidad. Allí llegamos a una ecuación de continuidad para la densidad de probabilidad y la corriente de probabilidad. Veremos que si intentamos hacer los mismo en el formalismo relativista nos encontraremos de nuevo con problemas de interpretación. Encontrar esta corriente es fácil teniendo en cuenta que combinando la ecuación de Klein-Gordon con su compleja conjugada se cumple:

lo que implica que

Sin embargo en este caso vemos que la componente que debería corresponderse con una densidad de probabilidad no parece definida positiva:

siendo la parte espacial básicamente equivalente a la que salía en el formalismo no relativista. Esto es así por el carácter de la ecuación de Klein-Gordon, que compromete una segunda derivada temporal que hace que en la ecuación de continuidad sobrevivan derivadas temporales del campo. Podemos ver más claramente el carácter no positivo de la componente temporal si aplicamos lo deducido a la solución general de la ecuación:

llegando a la conclusión de que en efecto podríamos obtener probabilidades negativas sin sentido físico si siguiéramos defendiendo la interpretación probabilística no relativista.

Esto sugiere que esta densidad debe ser reinterpretada como la conservación de alguna cantidad no definida positiva, como la carga eléctrica, pero no como la conservación de una probabilidad. De hecho veremos que la cantidad adecuada para una corriente de carga conservada Noether será (recuperando las constantes físicas para mayor claridad):

Aunque la visión clara de todo esto la tendremos en el formalismo de segunda cuantización, veamos qué forma puede tener la solución de Klein-Gordon y la carga del campo complejo bajo un punto de vista más general.

Vamos para ello a pasar a la representación en momentos, usada muy frecuentemente en teoría de partículas. Cuando hablamos de representación de momentos nos referimos a k o a p, que son iguales en unidades naturales. Muchos de los problemas de hecho se caracterizan por describir energías y momentos más que coordenadas espaciotemporales, aparte de que veremos que las expresiones ganan en claridad interpretativa.

Antes de nada, recordemos que se puede desarrollar una función en la forma de Fourier:

en donde se puede imaginar una caja de dimensiones L_i con condiciones de contorno tales que den una cuantización para el vector de onda de la forma:

y por tanto

de lo que se puede suponer la forma que tendrá la suma en el continuo:

Siguiendo este mismo procedimiento se puede suponer que la integral de Fourier en el espacio de momentos correspondiente a la onda de posición tendrá la forma:

en donde el volumen V ha sido de nuevo absorbido en la función transformada y la delta de Dirac nos asegura que el integrando sólo sea distinto de cero cuando se cumpla que E²-p²=m² o, dicho de otra forma, cuando el desarrollo satisfaga de nuevo la ecuación de Klein-Gordon:

en donde se ha hecho uso de la propiedad xδ(x)=0. A este tipo de integraciones se las denomina integraciones sobre la capa de masas. No hay que obsesionarse con las constantes que se añaden ya que cada autor sigue sus propios criterios y se pueden encontrar de varias maneras en los textos. Muchos de hecho optan por usar raices cuadradas en los denominadores para lograr simetrías con las transformadas inversas y otros siguen arrastrando las constantes físicas que no aparecen si se usan unidades naturales. Aquí intentaremos avisar de las distintas notaciones.

Aunque la expresión dada del desarrollo de Fourier en espacio de momentos es manifiestamente invariante Lorentz, es conveniente hacer actuar a la delta de Dirac para integrar sobre la componente temporal y quedarnos sólo con una integral tridimensional. Para ello hay que recordar la propiedad de la delta sobre los ceros de su argumento:

con lo que podemos separar las soluciones de energía positiva y negativa en la forma

Es importante recordar que estamos tratando el caso de soluciones complejas. Para las funciones reales se debe cumplir, lógicamente:

Aunque en este caso el hecho esté más oculto, la forma integral tridimensional también es invariante Lorentz ya que el elemento de volumen ha sido deducido de un invariante Lorentz con la propiedad de la delta de Dirac ya mencionada.

Veamos la forma de la carga conservada en espacio de momentos. Para ello debemos usar la derivada temporal del campo:

teniendo en cuenta la definición de la delta de Dirac:

encontramos sin demasiada dificultad la expresión de la carga en el espacio de momentos (de nuevo incluyendo las constantes físicas):

en donde, aparte de confirmar el hecho de que la carga no es definida positiva, se observa que las soluciones de energía positiva y negativa contribuyen con cargas de signo opuesto, lo cual es consistente con una interpretación partícula-antipartícula.

Como ya se ha dicho, esto se entenderá mejor en la reinterpretación de los campos como operadores de creación y destrucción de partículas, de forma que las energías negativas correspondan a antipartículas asociadas con operadores de destrucción de soluciones de energía positiva.

Asimismo se ve claramente que las partículas neutras deberán estar asociadas a campos reales en donde se cumple que Q=0. Esto es así por ejemplo en el caso del campo electromagnético.