Paul Dirac abordó el problema de construir una ecuación de onda que tuviera una interpretación probabilística aceptable. Se dio cuenta de que el problema de la ecuación de KG era que contenía una segunda derivada temporal ∂2/∂t2 , y la densidad de probabilidad que se deducía contenía una primera derivada ∂/∂t de la que surgían las probabilidades negativas.
Además, como se requería invariancia relativista, la ecuación debería contener también términos lineales en las primeras derivadas espaciales. La forma más general que debía tener la ecuación era por tanto
en donde los parámetros αi y β que cumplan los requerimientos exigidos tendrán que ser matrices, y la ecuación anterior será una ecuación matricial para las componentes de un vector columna ψ=ψα denominado espinor.
Las propiedades que debe satisfacer la ecuación serán las siguientes:
i) Cada componente ψα del espinor debe cumplir la ecuación de Klein-Gordon que implementa la correcta relación relativista
ii) Debe ser posible construir una corriente conservada cuya componente 0 sea definida positiva y pueda interpretarse como una densidad de probabilidad.
iii) La ecuación debe ser covariante bajo transformaciones Lorentz.
Para que se cumpla la primera de las anteriores condiciones, si aplicamos iℏ∂/∂t a los dos miembros de (1) :
en donde {A,B}=AB+BA indica el anticonmutador. Teniendo en cuenta la simetría de ∂i∂j se puede poner
con lo que tenemos
que comparada con la ecuación de KG
arroja un resultado
con lo que la ecuación que cumplen las componentes de ψ es la de KG:
Como ya se ha adelantado con la notación, las condiciones (2) no las pueden satisfacer simples números sino matrices. La ecuación de Dirac quedaría en unidades naturales como
y la dimensión matricial más pequeña en la que se pueden satisfacer las condiciones (2) es 4, obteniéndose:
en donde se usan las identidades 2x2 y las matrices σi son las de Pauli:
y el campo en este caso es el espinor de 4 componentes
cuya interpretación se verá más adelante.
Si introducimos las llamadas matrices de Dirac definidas por
las condiciones (2) se pueden poner en la forma compacta
y la ecuación de Dirac en función de estas nuevas matrices es
que en la literatura a veces aparece con unidades naturales en la forma todavía más compacta
donde se ha usado el llamado slash de Feynman, /a≡γμaμ(⇒/∂≡γμ∂μ) .
Recordemos que la covariancia Lorentz significa que si se satisface la ecuación en un sistema de referencia y se hace un cambio a otro por medio de una transformación Lorentz, las nuevas variables deben cumplir la misma forma de la ecuación, es decir,
en donde ∂′μ≡∂∂x′μ y la transformación viene dada por
La acción de esta transformación sobre el espinor se denota como S(Λ) y toma la forma
y como
se tiene, olvidándonos ya de la matriz identidad
y multiplicando la ecuación por S−1 queda
Por tanto, si se cumple
es decir, obtendríamos la covariancia requerida. Más adelante veremos a qué nos lleva esta condición de covariancia, que reescrita se puede poner como
Si tomamos la conjugada hermítica de la ecuación de Dirac (4) se tiene
y teniendo en cuenta la propiedad de las matrices de Dirac siguiente
y multiplicando a la derecha por γ0 la anterior ecuación
Definiendo el espinor conjugado de Dirac ψ¯ como
obtenemos la ecuación
que se suele escribir como
en donde ψ¯∂←μ≡∂μψ¯ , para compararla con la ecuación original
Más conciso suele ser expresarla en unidades naturales y usar también el slash de Feynman para compararla con su hermítica, quedando
con lo que
es decir
y recordando que ∂̸=∂μγμ
Con esto efectivamente encontramos la corriente conservada que buscábamos
cuya ecuación de continuidad es
en donde
y
o bien
expresión que es explícitamente definida positiva. Además, si normalizamos ψ de forma que tenga dimensión [L]−3/2 , ρ tendrá dimensiones de inversa de un volumen y podrá interpretarse como una verdadera densidad de probabilidad. Con esto por tanto está salvada una de las pegas iniciales de la ecuación de Klein-Gordon, veamos si persiste el problema de las soluciones de energía negativa.
No hay comentarios:
Publicar un comentario