Física fundamental

PARTÍCULAS DE ESPÍN 1/2

Introducción

Paul Dirac abordó el problema de construir una ecuación de onda que tuviera una interpretación probabilística aceptable. Se dio cuenta de que el problema de la ecuación de KG era que contenía una segunda derivada temporal ∂2/∂t2, y la densidad de probabilidad que se deducía contenía una primera derivada ∂/∂t de la que surgían las probabilidades negativas.

Además, como se requería invariancia relativista, la ecuación debería contener también términos lineales en las primeras derivadas espaciales. La forma más general que debía tener la ecuación era por tanto

iℏ∂ψ(x⃗ ,t)∂t=[−icℏ(α1∂∂x1+α2∂∂x2+α3∂∂x3)+βmc2]ψ(x⃗ ,t)==[−icℏαi∂i+βmc2]ψ(x⃗ ,t)(1)

en donde los parámetros αi y β que cumplan los requerimientos exigidos tendrán que ser matrices, y la ecuación anterior será una ecuación matricial para las componentes de un vector columna ψ=ψα denominado espinor.

Las propiedades que debe satisfacer la ecuación serán las siguientes:

i) Cada componente ψα del espinor debe cumplir la ecuación de Klein-Gordon que implementa la correcta relación relativista

E2=|p⃗ |2c2+m2c4

ii) Debe ser posible construir una corriente conservada cuya componente 0 sea definida positiva y pueda interpretarse como una densidad de probabilidad.

iii) La ecuación debe ser covariante bajo transformaciones Lorentz.

Condición de capa de masas

Para que se cumpla la primera de las anteriores condiciones, si aplicamos iℏ∂/∂t a los dos miembros de (1):

−ℏ2∂2ψ∂t2=(−icℏαi∂i+βmc2)(−icℏαj∂j+βmc2)ψ==[−c2ℏ2αiαj∂i∂j−i{αi,β}c3ℏm∂i+β2m2c4]ψ

en donde {A,B}=AB+BA indica el anticonmutador. Teniendo en cuenta la simetría de ∂i∂j se puede poner

αiαj∂i∂j=12[αiαj+αjαi]∂i∂j=12{αi,αj}∂i∂j

con lo que tenemos

ℏ2∂2ψ∂ℏ2=[c2ℏ212{αi,αj}∂i∂j+ i{αi,β}c3ℏm∂i−β2m2c4]ψ

que comparada con la ecuación de KG

ℏ2∂2ϕ∂t2=(ℏ2c2∂2i−m2c4)ϕ

arroja un resultado

{αi,αj}{αi,β}β2=2δij1(⇒(αi)2=1)=0=1(2)

con lo que la ecuación que cumplen las componentes de ψ es la de KG:

ℏ2∂2ψα∂t2=(ℏ2c2∇2−m2c4)ψα

Como ya se ha adelantado con la notación, las condiciones (2) no las pueden satisfacer simples números sino matrices. La ecuación de Dirac quedaría en unidades naturales como

i∂ψ∂t=(−iα⋅∇⃗ +βm)ψ(3)

y la dimensión matricial más pequeña en la que se pueden satisfacer las condiciones (2) es 4, obteniéndose:

αi=(0σiσi0),β=(100−1)

en donde se usan las identidades 2x2 y las matrices σi son las de Pauli:

σ1=(0110),σ2=(0i−i0),σ3=(100−1)

y el campo en este caso es el espinor de 4 componentes

ψ(x)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜ψ1(x)ψ2(x)ψ3(x)ψ4(x)⎞⎠⎟⎟⎟⎟

cuya interpretación se verá más adelante.

Covariancia Lorentz

Si introducimos las llamadas matrices de Dirac definidas por

γ0≡βγi≡βαi

las condiciones (2) se pueden poner en la forma compacta

{γμ,γν}=2ημν1

y la ecuación de Dirac en función de estas nuevas matrices es

(iℏγμ∂μ−mc1)ψ(x)=0(4)

que en la literatura a veces aparece con unidades naturales en la forma todavía más compacta

(i/∂−m)ψ=0

donde se ha usado el llamado slash de Feynman, /a≡γμaμ(⇒/∂≡γμ∂μ).

Recordemos que la covariancia Lorentz significa que si se satisface la ecuación en un sistema de referencia y se hace un cambio a otro por medio de una transformación Lorentz, las nuevas variables deben cumplir la misma forma de la ecuación, es decir,

(iℏγμ∂μ−mc1)ψ(x)=0(iℏγμ∂′μ−mc1)ψ′(x′)=0

en donde ∂′μ≡∂∂x′μ y la transformación viene dada por

x⟶x′=Λxxμ⟶x′μ=Λμνxν

La acción de esta transformación sobre el espinor se denota como S(Λ) y toma la forma

ψ′α(x′)=Sαβψβ(x)

y como

∂∂x′μ=∂xν∂x′μ∂∂xν=(Λ−1)νμ∂ν

se tiene, olvidándonos ya de la matriz identidad

(iℏγμ∂′μ−mc)ψ′(x′)=(iℏγμ(Λ−1)νμ∂ν−mc)Sψ(x)=0

y multiplicando la ecuación por S−1 queda

[iℏ(Λ−1)νμ(S−1γμS)∂ν−mc]ψ(x)=0

Por tanto, si se cumple

(Λ−1)νμS−1γμS=γν⇒(iℏγν∂ν−mc)ψ(x)=0

es decir, obtendríamos la covariancia requerida. Más adelante veremos a qué nos lleva esta condición de covariancia, que reescrita se puede poner como

S−1γνS=Λνμγμ(5)

Corriente de probabilidad

Si tomamos la conjugada hermítica de la ecuación de Dirac (4) se tiene

−iℏ∂μψ†γμ†−mcψ†=0

y teniendo en cuenta la propiedad de las matrices de Dirac siguiente

γμ†=γ0γμγ0(⇒γμ†γ0=γ0γμ)

y multiplicando a la derecha por γ0 la anterior ecuación

−iℏ∂μψ†γ0γμ−mcψ†γ0=0

Definiendo el espinor conjugado de Dirac ψ¯ como

ψ¯(x)≡ψ†(x)γ0

obtenemos la ecuación

−iℏ∂μψ¯γμ−mcψ¯=0

que se suele escribir como

ψ¯(x)(iℏ∂←μγμ+mc)=0(6)

en donde ψ¯∂←μ≡∂μψ¯, para compararla con la ecuación original

(iℏγμ∂μ−mc)ψ(x)=0

Más conciso suele ser expresarla en unidades naturales y usar también el slash de Feynman para compararla con su hermítica, quedando

(i∂̸−m)ψ=0ψ¯(i∂̸←+m)=0(7)

con lo que

ψ¯(i∂̸←+m)ψ+ψ¯(i∂̸−m)ψ=0

es decir

ψ¯∂̸←ψ+ψ¯∂̸ψ=0

y recordando que ∂̸=∂μγμ

∂μψ¯γμψ+ψ¯γμ∂μψ=∂μ(ψ¯γμψ)=0

Con esto efectivamente encontramos la corriente conservada que buscábamos

Jμ=(ρ,j⃗ )=ψ¯γμψ(8)

cuya ecuación de continuidad es

∂ρ∂t+∇⃗ ⋅j⃗ =0(9)

en donde

j⃗ =ψ¯γiψ=ψ†αψ

y

ρ(x)=ψ¯(x)γ0ψ(x)=ψ†(x)ψ(x)=(ψ∗1,ψ∗2,ψ∗3,ψ∗4)⎛⎝⎜⎜⎜ψ1ψ2ψ3ψ4⎞⎠⎟⎟⎟

o bien

ρ=∑α=14|ψα|2>0

expresión que es explícitamente definida positiva. Además, si normalizamos ψ de forma que tenga dimensión [L]−3/2, ρ tendrá dimensiones de inversa de un volumen y podrá interpretarse como una verdadera densidad de probabilidad. Con esto por tanto está salvada una de las pegas iniciales de la ecuación de Klein-Gordon, veamos si persiste el problema de las soluciones de energía negativa.