Aunque las primeras máquinas mecánicas de calcular se deben a Schickard, Pascal y Leibnitz en el siglo XVII, no fue hasta poco después de la primera revolución industrial en el siglo XIX cuando se produjo un salto cualitativo y el matemático británico Charles Babbage, inspirado por el telar de Joseph-Marie Jacquard, puso a punto, al menos en teoría, la primera calculadora automática digital de uso general, la Máquina Analítica. Era el año 1834.
Los mejores estudios sobre la Máquina Analítica los dio Ada Augusta, condesa de Lovelace, "la única hija de la casa y el corazón" del poeta Byron. Hoy en día es considerada la primera programadora de la historia y el lenguaje de programación ADA, relacionado con la seguridad aeronáutica, debe a ella su nombre.
Aunque hubo después más autores de trabajos interesantes sobre el automatismo, entre los que figura en buena posición el ingeniero cántabro Leonardo Torres Quevedo, el trabajo de Babbage fue olvidado hasta los años cuarenta del siglo XX, cuando otra generación de científicos e ingenieros, luchando de nuevo con el problema de diseñar calculadoras digitales de gran escala, llegaron a darse cuenta de que Babbage, con todos sus engranajes y bielas se les había anticipado.
El principal artífice del nuevo impulso fue el brillante matemático inglés Alan Mathison Turing, creando una abstracción mental de un ordenador tan profunda que entraña los principios generales de cualquier calculador que haya sido construído jamás, la máquina de Turing.
La primera materialización electrónica de esta máquina fue el computador ENIAC, "Integrador y calculador numérico electrónico", desarrollado por la Universidad de Pennsylvania en 1946. Una máquina de 30 toneladas con un rendimiento de 200000 flops (operaciones de coma flotante por segundo). Hoy en día ese rendimiento lo alcanza cualquier calculadora de bolsillo. De hecho, los superordenadores actuales alcanzan rendimientos de decenas de petaflops, es decir, decenas de miles de billones de operaciones por segundo (concretamente al escribir estas líneas el record lo tenía el ordenador CRAY XK6 o Interlagos de la empresa americana Cray Inc., con 50 Pflops de rendimiento).
Hubo que esperar a los años ochenta para que surgiera la generalización de la máquina de Turing al caso cuántico (Deutsch, Benioff) como máquinas reversibles y a la primera propuesta de ordenador cuántico (Feynman). Una década más tarde surgieron los primeros algoritmos de cálculo eminentemente cuánticos, como el de Shor (1994) o el de Grover(1996). También en esta época empezaron a darse los primeros experimentos para implementar qubits y puertas lógicas, como los iones atrapados de Cirac y Zoller en 1995 o los experimentos de resonancia magnética nuclear de Gershenfeld y Chuang en 1997.
En la actualidad se manejan sistemas cuánticos cada vez más ambiciosos, la empresa IBM junto con la Universidad de Stanford ha implementado el algoritmo de Shor en el primer computador cuántico de 7 qbits, la Universidad de Innsbruck creó el primer qbyte con trampas de iones y se están desarrolllando los primeros buses y procesadores cuánticos, , aunque parece que aún queda bastante para nuestro ansiado computador (2011).
Las máquinas de Turing son equivalentes a circuitos lógicos en donde se le realizan procedimientos no triviales a la información. Estos procedimientos se denominan puertas lógicas. Normalmente estas puertas poseen en electrónica una representación normalizada, como se muestra en la figura.
El ejemplo más básico de puerta es la unaria (o monaria) que representa la negacion, NOT, que pueden hacer por ejemplo los transistores sobre corrientes eléctricas, y cuya tabla de verdad y representación esquemática es como en la figura siguiente:
, y cuyo significado es obvio, si entra corriente no sale y si no entra sale.
Esta primera puerta lógica se puede usar tanto clásica como cuánticamente, ya que es reversible, es decir, siempre se puede recuperar el estado inicial conocido su producto. Por el principio de Landauer, esta puerta no disiparía calor. En el formalismo cuántico se suele representar esta puerta como:
Como hemos dicho, las puertas lógicas clásicas se implementan con elementos no lineales como los transistores. En el caso cuántico, las puertas lógicas deben representarse mediante operadores unitarios U que se consiguen en la práctica con interacciones reversibles entre los elementos cuánticos. Recuérdese que en el caso cuántico no sólo se actúa sobre dos posibles estados del bit, sino sobre los infinitos estados del qubit.
Existen 4 puertas unarias, de las cuales sólo dos son reversibles, la identidad y la puerta NOT estudiada. Las otras dos serían las asignaciones A->1 y A->0, que al ser irreversibles no serían implementables cuánticamente, a no ser que se añada la información del qubit entrante en el producto.
El operador unitario correspondiente a NOT en la base estándar será:
Veamos lo que ocurre para un qubit de información entrante |Ψs >, que en general tendrá la forma:
observando que, básicamente, se trata de una reflexión sobre la identidad, en la que el caso clásico (el cambio de 0´s y 1´s) es sólo un caso particular:
Se puede hacer una interpretación en el contexto de los operadores fermiónicos en donde la base elegida correspondería a los estados cero y uno de una partícula (o fundamental y excitado). De esta forma el operador NOT sería la suma de los operadores de destrucción y creación:
La condición de reversibilidad se puede comprobar
Todas las puertas lógicas clásicas son susceptibles de ser implementadas también cuánticamente. La extensión de las puertas lógicas a la teoría cuántica se debe a David Deutsch (1985).
Cuánticamente cualquier matriz unitaria define una puerta cuántica válida, la mayoría sin contrapartida cuántica. Como ejemplo de puertas lógicas unarias cuánticas estaría el resto de las matrices de Pauli:
en donde la actuación de Z es fácil de interpretar, ya que deja el estado fundamental inalterado y cambia el signo del excitado.
Otra puerta cuántica relevante es la de Hadamard (en honor al matemático francés Jacques Hadamard):
Esta puerta mezcla los estados equiprobablemente poniéndolos como suma y diferencia:
Recordando que en la esfera de Bloch se puede poner el estado como:
en donde θ es el radio entre |0> y |1> y φ una fase cuántica. En la esfera de Bloch por tanto, si se parte del estado:
y se aplica el operador de Hadamard, se llega al estado fundamental:
es decir, se produce una rotación sobre el eje y de 90º seguido de una de 180º sobre x (figura). El operador de Hadamard es una de las puertas cuánticas de mayor utilidad ya que realiza lo que se conoce como paralelismo masivo, ya que un estado de n qubits lo pone en superposición de 2n estados. Por ejemplo, para n=2:
en donde se ha utilizado la conversión a decimal ya explicada en el capítulo anterior. En general, cuando el operador de Hadamard se aplica n veces, se habla del operador de Walsh-Hadamard, en honor del matemático americano Joseph Leonard Walsh:
Otra de las puertas monarias eminentemente cuánticas sería la raiz de NOT:
Y también está la puerta de corrimiento de fase:
esta puerta genera una rotación en dirección contraria a la aguja del reloj respecto al eje z de la esfera de Bloch. Una rotación en general se puede poner, con ayuda de las matrices de Pauli (usando su nilpotencia-2), en la forma:
En realidad se puede dar una expresión para las infinitas puertas cuánticas monarias, por ejemplo la correspondencia a la descomposición de las matrices 2x2:
en donde δ es la fase (mod π) del factor de U(2) y α,β y γ son los ángulos de Euler que parametrizan el factor de SU(2):
A partir de esto se puede obtener otra descomposición interesante:
de forma que
Vamos a estudiar ahora las puertas de múltiples qubits, las más sencillas de las cuales son las puertas binarias, aunque su implementación en el laboratorio es extremadamente difícil, pues hay que poner en interacción controlada dos qubits espacialmente separados. Cirac y Zoller lo hicieron con iones fríos en una trampa lineal.
En general hay 256 puertas binarias. De hecho el número de puertas cuánticas que hay m x n es
ya que es el número de funciones del tipo
Sin embargo puertas reversibles solo hay
que es el número de funciones del tipo anterior que además son invertibles. Por tanto habrá 24 puertas binarias reversibles. En general las puertas son implementadas por matrices 2mx 2m. En el caso binario la base computacional es:
De las puertas binarias podemos destacar la puerta NOT-controlado, CNOT, en donde se distingue el primer qubit como de control y el segundo como blanco. Si el primer qubit es 0 el segundo se deja intacto, y si es 1 se cambia:
Otra forma de ver esta puerta es relacionándola con la puerta clásica del OR exclusivo, XOR, ya que es precisamente el segundo qubit el que nos da los valores de XOR, que coinciden con la suma módulo 2 que representamos con ⊕:
o mediante el gráfico
La expresión matricial de XOR es fácil de construir sabiendo que cada una de las columnas debe transformar |00>,|01>,|10> y |11>, de modo que
La puerta CNOT se puede implementar con una molécula de cloroformo CHCl3. Su estado corresponde a los estados de espín de los núcleos de carbono e hidrógeno, que invierten su sentido mediante pulsos de ondas de radio. Siempre es posible asegurarse de que el núcleo de hidrógeno invierte su espín sólo cuando el espín del núcleo de carbono apunta hacia arriba (el núcleo de carbono sería el control y el de hidrógeno la puerta XOR).
Nótese que la puerta XOR clásica sería irreversible (no invertible), dado que su tabla de verdad no nos permite, conociendo el resultado, deducir los estados iniciales. Se produce pérdida de información. En cambio como puerta cuántica unitaria siempre será invertible.
La puerta CNOT es de gran importancia, ya que como veremos cualquier puerta de múltiples qubits puede ser construida mediante la puerta CNOT y puertas cuánticas monarias.
Además, para implementar proposiciones del tipo "Si A es verdadero, entonces haz B", son útiles las llamadas operaciones controladas, basadas en el mismo principio queCNOT. Se trata de puertas binarias U-controladas, es decir, que al qubit blanco se le aplica U dependiendo del valor del qubit de control. Esto se puede denotar como
o bien gráficamente
y en el caso en que el operador se tenga que hacer cuando el primer bit está a cero se utiliza el esquema:
Por ejemplo otra puerta binaria muy conocida es la del corrimiento de fase controlado, CPHASE:
cuando δ=π se tiene la puerta CMINUS.
En los años 80 Tommaso Toffoli y Edward Fredkin vieron que hacía falta un mínimo de tres qubits para cualquier computación clásica. La extensión a tres qubits de la puertaCNOT es la llamada puerta de Toffoli o CCNOT. En este caso hay dos bits de control que sólo actúan si están a 1.
es fácil ver que al hacerla actuar dos veces se consigue la identidad, luego es también una puerta reversible (su inversa es ella misma). La expresión matricial en este caso sería:
y gráficamente
Esta puerta se suele usar para simular puertas clásicas irreversibles y demostrar que cualquier ordenador cuántico puede hacer lo mismo que uno clásico. Entre su singularidad está el que en sus tripas está una de las puertas clásicas más importantes, la puerta NAND (NOT AND). Sucede cuando el tercer bit es uno, ya que se reproduce la tabla de verdad delNAND:
dicho de otra forma:
Otra puerta interesante es la que intercambia los estados de dos qubits, en el caso binario es la puerta intercambiadora o SWAP:
y en el ternario se denomina intercambiador controlado o puerta de Fredkin:
o gráficamente
Además, siempre podemos definir operaciones controladas sobre estados de múltiples qubits. Si por ejemplo tenemos n+k qubits y U es un operador unitario que actúa sobre kqubits, podemos definir la operación controlada Cn(U) como
y por tanto U sólo se aplica si los n primeros qubits son iguales a 1.
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