Física fundamental

EL TEOREMA DE BELL

Localidad

"Por localidad quiero decir algo como los axiomas de Atiyah-Segal para cobordismos Riemannianos"

(Tomado de un foro de física teórica en Internet)

3.325. Con el fin de evitar tales errores debemos hacer uso de un lenguage de signos que los excluya evitando usar el mismo signo para símbolos diferentes y evitando usar en una forma superficial similar signos que tienen modos diferentes de significación: es decir, un lenguage de signos que esté gobernado por una gramática lógica, por sintaxis lógica [...]

Ludwig Wittgenstein: Tractatus Logico-Philosophicus, Sección 3.325

El término "localidad" en física está afectado del síndrome de la torre de Babel: aparece en la literatura con significados que van desde sutilmente distintos a completamentedistintos, lo cual crea mucha confusión. Intentaremos aclarar las diferencias.

L1. Localidad en teoría de la matriz de scattering: La transformada de Fourier de una amplitud de scattering con soporte compacto es exponencialmente acotada y analítica en el momento lineal. Es un concepto técnico que no nos interesa aquí y que Arkani-Hamed explica en este vídeo en inglés (hacia 6:20).

L2. Localidad algebraica, analítica o si se quiere,matemática (esta acepción es puramente conversacional, pero es muy usual): A es función local de B si un punto en el espacio de las A (valor numérico a, de A) determina un punto en el espacio de las B (valor numérico b, de B). El significado de esto es "desarrollo en variables que conmutan todas dos a dos". Los matemáticos hablan de un "desarrollo no local" cuando manejan expresiones polinómicas en variables que no conmutan; ej.: (A+B)²=A²+AB+BA+B²; con AB≠BA, o más simplemente, cuando A=f(B); con AB≠BA. ¿Por qué llaman a esto los matemáticos "no local"? Porque si AB≠ BA, (suponiendo, por simplificar, que tanto A como B son autoadjuntos)todos los valores puntuales (numéricos) de B están en cualquier valor puntual (numérico) de A: , que no es más que una manera elegante, inventada por Dirac, de escribir la transformación de Fourier.

Esta forma de no localidad nos interesa, porque, como veremos, las variables del experimento EPR para el espín son no locales en este sentido cuando uno acepta que la proposición |a> (¡los proyectores son proposiciones!) para una partícula implica su negación (I-|a>) para la otra partícula. La consecuencia es que la diagramática de Venn no es válida para proposiciones referidas a proyecciones de espín. Esta es la clave de la brillante idea de EPR: sortear la incompatibilidad cuántica, que es aplicable únicamente a operadores que actúan en el espacio de estados de una partícula y que no conmutan (p. ej. [S₁,S₂]≠0) trasladándola a proposiciones sobre operadores que sí conmutan ([S_x⁽¹⁾,S_y⁽²⁾]=[S_x⁽¹⁾⊗ I,I ⊗ S_y⁽²⁾]=0), pero relativos a la otra partícula, utilizando los principios de conservación.

L3. Localidad en teoría de campos: Las interacciones son funciones locales en el sentido de que los acoplamientos entre variables de campo en la lagrangiana se expresan en el mismo punto: Ψ_i(x)Ψ_j(x), y nunca en puntos diferentes: Ψ_i(x)Ψ_j(x+a). Una caracterización equivalente es que la lagrangiana no depende de derivadas espaciales de orden arbitrariamente alto. Concepto técnico también que no es el relevante aquí.

L4. Causalidad del problema de Cauchy o, si se quiere, localidad einsteniana: A veces se habla de "localidad" cuando a lo que se hace referencia realmente es a esto. Un problema de evolución es causal cuando los datos de Cauchy (condiciones iniciales) se propagan dentro de conos causales. Este concepto se solapa con el de causalidad en teoría cuántica de campos relativista. Estas formulaciones de la causalidad en términos del propagador también tienen un sentido técnico que no nos interesa aquí.

L5. No localidad en sentido de Bell, Clauser, Shimony, etc., es decir, no separabilidad en el sentido de efectos a distancia entre sistemas enredados (entangled).(Mejor aquí hablar de no localidad, ya que la peculiar descripción de los sistemas físicos que hace la MC es no local en este sentido preciso.) Esta no localidad específica de la MC se da por la concurrencia de dos aspectos diferentes:

(1) Los sistemas cuánticos están representados por campos (funciones de la posición y el tiempo), que satisfacen el principio de superposición.

(2) El espacio de estados de un sistema cuántico de varias partículas es un producto externo de los espacios de estados individuales.

Los campos clásicos, que cumplen el principio de superposición, no presentan enredamiento. P. ej., tanto el campo gravitatorio como el campo electromagnético clásicos, son magnitudes físicas que se obtienen por superposición de los efectos inducidos por todas las fuentes (cargas y corrientes) ambientales para contribuir a un único valor, g(x,t), E(x,t) ,B(x,t), etc. Los campos clásicos, por tanto, cumplen (1), pero no cumplen (2).

Las partículas clásicas no presentan enredamiento. Es cierto que en la formulación estadística de Liouville de la mecánica clásica, los sistemas con interacción se enredan en su densidad de probabilidad en el espacio de fases: ρ(x₁,···,x_n;p₁,···,p_n)≠ρ₁(x₁,p₁)···ρ_n(x_n,p_n), pero lo hacen sobre colectividades ideales llamadas colectividades de Gibbs. Los únicos observables de esta teoría son cosas como la presión, la temperatura, etc., que se definen como promedios sobre colectividades.

Por el contrario, los sistemas cuánticos de varias partículas, se superponen, se propagan y además, sus estados dinámicos se construyen por productos de estados individuales. Esta es la combinación peculiar que constituye la no separabilidad cuántica, como algunos han propuesto llamarla para distinguirla de otros tipos de hipotéticas acciones a distancia. La consecuencia de esto es que será posible copiar situaciones físicas (estados) instantáneamente y a distancia, pero no transmitir datos o resultados de la misma manera.

El teorema de Bell

Recuérdese que dijimos que las supuestas variables ocultas {λ} tenían dos trabajos que hacer:

(1) Valores definidos de {λ} deben conducir a valores definidos de los elementos de realidad.

(2) Valores promediados de {λ} para cierta distribución de probabilidad ρ({λ}) deben conducir a dispersiones en las variables consistentes con las proporcionadas por la MC.

El teorema de Bell demuestra que (2) no es posible para cualquier observable que tenga sentido medir. Los teoremas de Gleason, de Kochen-Specker así como el análisis deGreenberger-Horne-Zeilinger-Mermin (GHZM), algunos de los cuales discutiremos brevemente, se dirigen a demostrar la imposibilidad de (1). Son la continuación de un teorema deJohn Von Neumann que se dirige a demostrar la imposibilidad de la mera existencia de elementos de realidad.

El teorema de Bell tiene un lema previo muy sencillo (en matemáticas es tradicional llamar "lema" a un resultado breve que va a usarse después para una demostración más elaborada). El lema consiste en un resultado que permite traducir proposiciones sobre la partícula 1 en proposiciones sobre la partícula 2. En concreto, y como ya hemos apuntado, cuando se mide la componente de espín de una de las partículas respecto a cierta dirección de referencia y el resultado es +1, la componente de espín de la otra partícula respecto a la misma dirección de referencia es -1, y viceversa. Llamaremos a este lema CHSHB-1⁽¹⁾.:

CHSHB-1: Siempre que σ⁽¹⁾·n=+1, σ⁽²⁾·n=-1.

Observaciones:

(1) Este resultado no es propiamente cuántico ni clásico; es la consecuencia de un principio de conservación que se cumple de manera exacta tanto en la mecánica clásica como en la cuántica. La anticorrelación que se pone de manifiesto es la deducida de la conservación del momento angular: si el sistema no ha adquirido momento angular orbital debido a la desintegración, sus espines deben estar perfectamente compensados.

(2) σ·n es un observable de espín según una dirección arbitraria. Denotando en lo que sigue por los índices 1, 2 y 3 los ejes espaciales x, y y z respectivamente, si n=(n₁,n₂,n₃)es el vector unitario en la dirección espacial dada, el vector σ=(σ₁,σ₂,σ₃) es un símbolo con tres componentes que son las matrices de Pauli:

Propiedades inmediatas de las matrices de Pauli son:

Lo que se puede expresar abreviadamente como:

El segundo resultado, que es el teorema en sí mismo, \emph{no tiene nada que ver con el espín.} Es una consecuencia simple del álgebra conmutativa de tres variables booleanas. Afirma que para tres proposiciones cualesquiera relativas a tres variables estadísticas que forman parte de un álgebra booleana, siempre se satisface la siguiente desigualdad⁽²⁾:

CHSHB-2: 

En palabras: el número de veces que se cumple A y no B más el número de veces que se cumple B y no C es mayor o igual que el número de veces que se cumple A y no C. Lo profundo de este teorema es que ¡el espín viola esta desigualdad en ciertos casos!.

Demostrar CHSHB-2 es fácil. Obsérvese en las figuras: que:

Donde hemos llamado A₀ a la parte de A que no está ni en B ni en C, y análogamente para B₀ y C₀, como se puede ver en la figura 24.2.

En la imagen puede verse claramente que:

Pero  es obviamente mayor o igual que cero. Con lo que hemos demostrado que:

Pues bien, esto es lo que Bell demostró: Existen elecciones particularmente maliciosas de proposiciones A, B y C para las que la mecánica cuántica predice lo opuesto:

Esta es una conocida perversa elección:

Para demostrarlo hay que tener en cuenta que el número de casos favorables es proporcional a la probabilidad (, etc.), y que esta a su vez se obtiene mediante los cuadrados hermíticos de las amplitudes. Además, hay que tener en cuenta que la negación de la proposición A para una partícula equivale a la afirmación de la misma proposición para la otra partícula (véase OBS3 más adelante):

Como muchas veces en física, existe una o varias maneras difíciles de demostrarlo y una única manera sencilla. La escritura sugerida en las ecuaciones anteriores es la difícil. La manera más sencilla utiliza las siguientes observaciones:

OBS1:

ya que la configuración  es idéntica a la configuración , pero rotada 45º en sentido positivo respecto al eje y.

OBS2:

El proyector sobre la dirección de espín .

Comprobación: Para . Como la dirección del eje z es en realidad arbitraria, la expresión es invariante. Pero comprobemos además que  es en efecto un proyector: . Pero como de las propiedades de las matrices de Pauli se deduce: , se deduce inmediatamente que .

OBS3:

La negación de A para la partícula 1 equivale a la afirmación de A para la 2 (análogamente para B y C).

Necesitaremos también la forma del operador de espín "a 45º'', refiriéndonos a la dirección que está a 45º entre el eje x y el eje z:

Todo esto permite escribir:

Recordando la ecuación de la observacion 1 

Por otra parte:

Pero definiendo:

tenemos:

En contradicción con la desigualdad de Bell.

El teorema de Gleason

Si P_r es un proyector que proyecta sobre un cierto |r> (podemos pensar en P_r como |r> o como una cierta expansión Σ_α|r,α> < r,α|) y ρ es un estado mezcla arbitrario (podemos pensar en ρ como |ψ>< ψ| o una mezcla estadística de varios |ψ_i> < ψ_i|, es decir Σ_ip_i|ψ_i> < ψ_i|, con 0≤ p_i≤1, Σ_ip_i=1), la única función posible que define la probabilidad de obtener el resultado r es esencialmente:

Como la función Tr(P_rρ) es continua sobre la esfera unidad como función de ρ, es imposible que adopte los valores 0 y 1 sobre la misma. Con la esfera unidad aquí nos referimos a una esfera de estados de espín, es decir, a todos los |ψ> tales que ρ=|ψ>< ψ| en la ecuación anterior, y donde σ·n|ψ> =±|ψ>, y n es una dirección arbitraria sobre la 2-esfera espacial de radio 1. Una función continua sobre este conjunto no puede tomar los valores 0 y 1 sin tomar todos los valores intermedios posibles.

La consecuencia de esto es que es imposible resolver todas las proposiciones de espín posibles con unas variables deterministas adicionales que fijen sus valores. Podríamos decir que este es un teorema de tipo ontológico: los valores definidos del espín no pueden ser la \href{http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_imagen}{imagen matemática} de un cierto conjunto matemático en una correspondencia punto a punto.

El teorema de Kochen-Specker

El teorema de Kochen-Specker es la elaboración de una cuestión planteada primero por Von Neumann y analizada más tarde por Bell. La idea de la que parte esta línea de investigación es un teorema de Von Neumann. El argumento de Von Neumann establece que, dado que si A y B son observables

también es un observable; y dado que los promedios mecanocuánticos deben satisfacer:

si queremos que A, B, C estén definidos (definitud de valores o value definiteness en la literatura), debería cumplirse:

para una cierta función v que asigna un valor definido a cada uno de estos observables. Von Neumann afirma que esta construcción es imposible en general para conjuntos de observables de espín en la MC. Bell dio el ejemplo  como una excepción posible, ya que  para ninguna elección de estas variables. Pero al mismo tiempo Bell también observó que la premisa anterior propuesta por Von Neumann era muy severa. Debería exigirse que esto fuera cierto, no en general, sinoúnicamente para observables compatibles.

Pues bien, el teorema de Kochen-Specker afirma que ni siquiera esta asignación es posible si a la vez admitimos la validez de la MC y para ciertas elecciones finitas y compatibles de proposiciones de espín. La única escapatoria es que la función v, en lugar de ser una asignación universal, sea una asignación dependiente de aspectos adicionales (el contexto). Es decir, que la definitud sea contextual, en lugar de una propiedad intrínseca de los sistemas físicos.

Así como el teorema de Bell se interpreta como la demostración de que no es posible la coexistencia del realismo local con la MC, el teorema de Kochen-Specker se interpreta como la demostración de que no es posible la coexistencia del realismo no contextual o intríseco, si se quiere, con la MC. En otras palabras: Hay ciertos observables en el espacio interno del espín que, aun siendo compatibles, no pueden tener definitud simultánea; no pueden por tanto considerarse propiedades intrínsecas del sistema.

GHZ

Este argumento se añadió a la cuestión de las variables ocultas en 1990 por Daniel M. Greenberger, Michael A. Horne y Anton Zeilinger , posteriormente simplificado por los mismos autores más Abner Shimony tras una sugerencia de David Mermin, todo en el mismo año. Aquí presentamos la idea en una forma que sigue estrechamente la exposición que dio Sidney Coleman en su famosa conferencia Quantum Mechanics in Your Face. Es la exposición más sencilla que yo conozco. Como dice el mismo Coleman: "Si alguien te despertara a altas horas de la madrugada y pusiera una pistola contra tu cabeza, podrías reproducir el argumento inmediatamente".

Se trata de un sistema compuesto por tres partículas de espín 1/2 que se hallan en un estado inicial:

Y se considera el observable⁽³⁾:

Es claro que los observables "parciales" σ_x ⊗ I ⊗ I, I ⊗ σ_x ⊗ I y I ⊗ I ⊗ σ_x pueden adoptar cualesquiera de sus valores espectrales (-1,+1) en mediciones independientes efectuadas en respectivas regiones causalmente separadas. Sin embargo, el observable conjunto O adopta siempre el valor -1:

Pero además, la dispersión es nula (es decir, no solo el valor promedio de O es -1, sino lo hace con dispersión nula, o en otras palabras, la medición de O siempre da -1 para estados preparados en GHZ):

ya que

Las partículas presentan, por tanto, correlaciones exactas a tres. Dicho de otra manera: si una de ellas tiene σ_x=+1, y la segunda tiene σ_x=+1, la tercera no puede dar otro resultado que σ_x=-1 (y todas las demás variaciones obvias). No se puede obtener cualquiera de entre las 2³=8 variaciones independientes de los resultados básicos { ±1,±1,±1} como posibles resultados del experimento, sino únicamente una de entre 2x2x1=4 posibilidades. Esquemáticamente:

La moraleja de GHZ es que para que las partículas presenten estas correlaciones exactas a distancia, cualquier sistema de variables ocultas que lo explique debe violar la causalidad. Esa es la reivindicación de los que apelan al argumento GHZ, en cualquier caso.