Física fundamental

EL TEOREMA DE BELL

Introducción

Ya desde su primera formulación en los años 30, la mecánica cuántica recibió objeciones; algunas más superficiales y otras más serias que, si bien no la invalidan ni mucho menos, sí que señalan puntos que el formalismo, o su interpretación, debería aclarar; progresando sin duda en sus éxitos experimentales, pero con un ojo puesto en aquellas cuestiones fundamentales que no sean puramente lingüísticas. La historia que nos atañe aquí es compleja, y es fácil confundir lo sutil con lo trivial, pero vamos a echar un vistazo a los argumentos centrales.

Elementos de realidad

La más célebre de las mencionadas objeciones a la interpretación ortodoxa de la mecánica cuántica se halla en el famoso artículo de Einstein, Podolski y Rosen, abreviadamente EPR. En el mismo, se propone un concepto de realidad de una magnitud física que parece intachable, los llamados elementos de realidad:

"Si, sin perturbar en modo alguno un sistema, podemos predecir con certeza (esto es, con probabilidad igual a uno) el valor de una cantidad física, entonces existe un elemento de realidad física correspondiente a esta cantidad física."

A. Einstein, B. Podolski, N. Rosen (1935)

EPR plantean: ¿Podemos preparar un sistema físico en un estado en el que observables a los que la mecánica cuántica (MC en lo que sigue) asigna un carácter deincompatibles arrojen un valor cierto? EPR proponen tenderle esta "trampa" a la MC preparando un sistema compuesto por dos subsistemas que viajan a zonas causalmente separadas en las que se ejecutan las mediciones correspondientes simúltaneamente en el referencial del laboratorio. EPR plantean el problema como una disyuntiva: o bien la MC es incompleta (existen elementos de realidad no cubiertos por la descripción cuántica), o las cantidades correspondientes a operadores que no conmutan no pueden tener valores definidos simultáneamente, y a continuación argumentan haber encontrado un ejemplo de tales cantidades. El argumento original de EPR es algo ingenuo, utilizando ondas planas para su razonamiento, y centrando su discusión en las variables de posición y momento lineal, en clara omisión de lo que hoy sabemos: que no es posible preparar un estado completamente definido en ambas variables posición y momento lineal, con lo cual nunca tendremos correlaciones exactas, ni siquiera en principio, para ambos subsistemas, ya que las relaciones de indeterminación son constricciones sobre las dispersiones de las variables no sobre los errores sistemáticos de los aparatos de medición. En otras palabras: cualquier estado conjunto que preparemos de dos partículas vendrá afectado de indeterminaciones en coordenadas y momentos lineales de su centro de masa. En cualquier descripción realista de esta preparación habrá unos ciertos ΔX_CM, ΔP_CM que harán que incluso la determinación ideal de la posición de una de las partículas no permita garantizar que la segunda partícula tiene posición asignable con certeza, pues la suma X⁽¹⁾_CM+X⁽²⁾_CM no es nula de manera exacta (con dispersión nula). Otro tanto se puede decir para el momento lineal.

Esta objeción se supera con el espín, para el cual sí es posible preparar estados con dispersión total nula para una variable aditiva respecto a los subsistemas, lo que nos habilita para definir anticorrelaciones exactas dentro del formalismo de la MC.

Se atribuye a David Bohm ( Max Jammer, 1974) trasladar la discusión al momento angular de espín. Un sistema de espines preparado en el estado singlete viene dado por:

Este estado es famoso en la física por diversos motivos, apareciendo en teoría de grupos, y en particular en la formulación del isospín. Esta no es en absoluto una configuración exótica: cualquier sistema de dos espines 1/2 enfriado suficientemente, emite radiación hasta caer a un singlete. Baste decir que, aunque para su escritura hemos sugerido una configuración particular en términos de una dirección nominal (superposición de la función de onda con espines antiparalelos menos la intercambiada), en realidad es simétrico bajo rotaciones. Es decir:

para cualquier vector unitario de referencia n.

El singlete de espín, al contrario que los estados de posición y momento lineal (incluso en el caso más favorable de paquetes mínimos, o de indeterminación mínima), sí tiene las características deseadas de presentar correlaciones exactas (que en este contexto se llaman anticorrelaciones, por motivos que veremos), al menos en principio (si descartamos el efecto de ruido de los detectores, que siempre está presente). Efectivamente, si J representa el momento angular total, según el principio de indeterminación, en su versión más general, para, p. ej. J_x y J_y:

ya que el estado singlete de dos partículas con dos estados de espín ("arriba" y "abajo") el singlete satisface . Como  (donde los superíndices (1) y (2) entre paréntesis denotarán a partir de ahora "partícula 1" y "partícula 2"), se deduce que la medición de la componente de espín según una dirección establecida para una partícula permite asegurar que la componente de espín según la misma dirección para la segunda partícula es igual y opuesta: El sistema presenta indeterminación en sus partes (S_z=+1 o S_z=-1 con iguales probabilidades de 0.5), y sin embargo certeza en el total (J_z=0 con probabilidad 1); con lo cual, si en una de las partículas el espín S_z, p. ej., resulta positivo, en la otra ha de ser negativo y de igual magnitud. De ahí el nombre de "anticorrelaciones". Se puede ver más en detalle, calculando los valores esperados cuánticos:

El valor esperado cuántico del cuadrado de  es:

Pero:

Obsérvese para lo previo que:

con lo cual:

Desarrollando el cuadrado del momento angular total:

Estos son los cálculos:

Sustituyendo  con , y teniendo en cuenta que, en el espacio producto, lo que estamos promediando en realidad son los operadores producto: , y que además  (si las partículas son de espín 1/2, que es lo que supondremos en adelante):

Observación: Ninguno de los términos cruzados <↓↑|C|↑↓> (con C cualquiera de los operadores función de σ_z) contribuye.

Con lo que:

Un esquema que quizá pueda ayudar para el desarrollo de todos estos cálculos, incluyendo los que veremos más adelante para el teorema de Bell, es:

Variables ocultas

Lo que quisiera cualquiera al que le convenza el argumento EPR, y cuya toma de posición sea que la MC es una teoría incompleta, es encontrar unas ciertas variables, que genéricamente llamaremos {λ}, y que modelen la descripción matemática de aquella supuesta parte de la realidad física que la MC no describe. Estas {λ} no son meras suposiciones metafísicas, sino que tienen dos trabajos que hacer: (1) Valores definidos de las mismas deberían conducir a valores definidos de los elementos de realidad; y (2) Valores promediados de las mismas para cierta distribución de probabilidad ρ({λ}) deberían conducir a dispersiones en las variables (en general, no compatibles) que tenga sentido medir y que sean consistentes con las proporcionadas por la MC. En otras palabras: son las supuestas variables cuya estadística debe dar la MC de modo análogo a como la mecánica estadística de las posiciones y velocidades atómicas da lugar a la termodinámica.

¿Por qué se nos exige una toma de posición? Recuérdese que EPR plantea una disyuntiva: O bien la MC es incompleta,o existen variables físicas que no pueden tener valores definidos simultáneamente. Téngase presente que, para quien está completamente convencido de que la MC es correcta y completa, no hay problema: ¡Por supuesto que hay variables físicas que no pueden tener valores definidos simultáneamente! Precisamente las que no conmutan.

Enredamiento

Cuando un sistema cuántico compuesto por dos subsistemas (con grados de libertad independientes) se halla en un estado conjunto tal que:

decimos que el sistema 1 está enredado con el sistema 2. Basta para ello que se cumpla, por ejemplo:

aunque el estado enredado más general es (de hecho, el estado cuántico más general de un sistema compuesto):

En el estudio de la decoherencia, el enredamiento, la medición o la teoría cuántica de la información, este concepto de enredamiento se desarrolla en forma más concreta. Véase que los estados  referidos podrían no ser ortogonales. Cuando ambos conjuntos son ortogonales:

entonces el índice i se presta a la asignación de un observable, que por construcción sería de la forma (). Asimismo, se presta a la asignación de un observable del sistema 2 que puede usarse para medir Q⁽¹⁾ en el subsistema 1. En otras palabras, un sistema compuesto que presenta enredamiento en esta forma, es un sistema en el que la no factorizabilidad se produce de tal forma que los coeficientes de enredamiento c_ij en el estado general forman una matriz diagonal. Es una observación de Wojciech Zurek que muchos sistemas físicos tienden a adoptar esta forma cuando se centra la discusión en una parte (1) que tiene pocos grados de libertad y una parte (2) que es típicamente "ambiental" (con muchos grados de libertad) y se tiene en cuenta que las interacciones son locales (funciones puntuales de la posición). Este concepto de Zurek se llama einselection, o "superselección de observables inducida por el ambiente". Dicho de otra forma: el ambiente tiende a favorecer interacciones recurrentes a través de cualquier índice discreto i en el que centremos nuestra atención, rompiendo así la coherencia cuántica. Es una cuestión que tiene que ver con lo peculiar de describir lo que le ocurre a un átomo que está enredado con~10²³ átomos.

Subsistemas enredados de esta forma peculiar, que es "diagonal" en cierto índice que podría formar parte o no de un conjunto completo de observables compatibles de cualquiera de ambos, se puede definir una entropía que caracteriza el nivel de enredamiento de ambos. Si ρ es la matriz densidad del sistema conjunto:

donde "Tr" representa la traza de un operador lineal. Es decir:

para cierta base del espacio de Hilbert .

Funciones como log ρ, que admiten un desarrollo en serie, se definen para operadores diagonalizables de la manera siguiente si admiten un desarrollo en serie de Taylor:

ya que:

donde D es la matriz que diagonaliza ρ: .

La definición de entropía no es más que la usual en MC, pero referida a los coeficientes (probabilidades p_i=|c_i|²) del desarrollo conjunto de los subsistemas, y recibe el nombre deentropía de enredamiento. Cuando dos sistemas están enredados en la forma anterior respecto a estados ortogonales , su entropía de enredamiento es una propiedad común, y se puede obtener para el subsistema 1 promediando sobre los estados del subsistema 2, o viceversa:

Es decir, primero promediamos sobre todos los estados del subsistema 2 para obtener la matriz densidad de 1, y después tomamos trazas usando la descomposición espectral de la identidad de 1; o viceversa.