miércoles, 11 de noviembre de 2015

Física matemática

Exponente de Lyapunov


 Exponente Lyapunov o Exponente característico Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad que caracteriza el grado de separación de dos trayectorias infinitesimalmente cercanas. Cuantitativamente, dos trayectorias en el espacio-fase con separación inicial \delta \mathbf{Z}_0 diverge
| \delta\mathbf{Z}(t) | \approx e^{\lambda t} | \delta \mathbf{Z}_0 |
El radio de separación puede ser distinto para diferentes orientaciones del vector de separación inicial. Aunque, hay un completo espectro del exponente Lyapunov; el número de ellos es igual al número de dimensiones del espacio-fase. Es común referirse sólo a la más grande, porque determina la predictibilidad de un sistema.

Definición

Para un sistema dinámico que evoluciona según la ecuación f ^t en un espacio de n–dimensiones, el espectro del exponente Lyapunov
\{ \lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n \} \,,
en general depende del punto de inicio x_0. El exponente Lyapunov describe el comportamiento de los vectores en el espacio tangente al espacio-fase y son definidos por la matriz Jacobiana:
J^t(x_0) = \left. \frac{ d f^t(x) }{dx} \right|_{x_0} .
La matriz J^t describe cómo un pequeño cambio en el punto x_0 se propaga hasta el punto final f^t(x_0). El límite
\lim_{t \rightarrow \infty} (J^t \cdot \mathrm{Transpose}(J^t) )^{1/2t}
define a una matriz L(x_0) (las condiciones para la existencia del límite son dadas por el teorema de Oseldec. Si  \Lambda_i(x_0)  son los valores dados de L(x_0), entonces el exponente Lyapunov \lambda_i está definido por
\lambda_i(x_0) = \log \Lambda_i(x_0) \,.

Propiedades básicas

  • Si el sistema es conservativo (no existe disipación), la suma de todos los exponentes Lyapunov debe ser cero.
  • Si el sistema es disipativo, la suma será negativa.
  • Si el sistema es un flujo, un exponente será siempre cero.
  • En un sistema dinámico hamiltoniano, la suma sólo puede ser positiva si el sistema es un sistema abierto.
  • El espectro de Lyapunov puede ser usado para estimar el radio de producción de entropía de un sistema dinámico.
  • El inverso del mayor exponente Lyapunov es llamado a veces en literatura momento Lyapunov. Para órbitas caóticas, el momento Lyapunov será finito, aunque para órbitas regulares será infinito.

Cálculo numérico.

Generalmente, el cálculo de los exponentes Lyapunov, como se define arriba, no puede ser llevado a cabo analíticamente, y en la mayoría de los casos uno debe recurrir a técnicas numéricas. Los procedimientos numéricos comúnmente usados estiman la matriz L basándose en un rango finito de aproximaciones de tiempo del límite definiendo L.







Fuerzas báricas

Sobre este mapa de isobaras, tomado el 11/3/2008 por la agencia estatal española de meteorología, se ha dibujado una flecha negra que indica la dirección de las fuerzas debidas al gradiente barométrico o de presiones. La presión atmosférica de cada isobara viene expresada enhPa.
Las fuerzas báricas o de presión son producidas por diferencias en la presión de un fluido. En meteorología dicho fluido será la atmósfera. Estas fuerzas actúan perpendicularmente a lasisobaras, líneas de presión constante, produciendo un gradiente, el gradiente barométrico. Estas fuerzas existen independientemente de la velocidad del viento y pueden hacer que comiencen vientos horizontales o acelerar/decelerar/cambiar la dirección de vientos ya existentes. En un mapa del tiempo, las isobaras más cercanas indican una fuerza mayor. Las fuerzas de presión dependen de la variación en la presión (o del gradiente barométrico) de la siguiente manera:
\dfrac{F_{x}}{m}=-\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\bigtriangleup P}{\bigtriangleup x}
\dfrac{F_{y}}{m}=-\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\bigtriangleup P}{\bigtriangleup y}
\dfrac{F_{z}}{m}=-\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{\bigtriangleup P}{\bigtriangleup z}
Siendo \rho la densidad del aire y \bigtriangleup P el cambio de presión en la distancia \bigtriangleup x, \bigtriangleup y o \bigtriangleup z. El signo menos se debe a que la fuerza va de altas a bajas presiones, ya que los gases tienden a expandirse yendo de regiones de alta presión hacia zonas de presión más baja.






El gradiente barométrico o de presiones es producido por las diferencias de presión en el seno de un fluido. En meteorología el gradiente barométrico hace referencia a la variación de la presión atmosférica. Este gradiente suele expresarse en función de las fuerzas báricas, derivadas de la variación en la presión, y que son perpendiculares a las isobaras, líneas de presión constante. A medida que aumenta el gradiente de presión los vientos son más fuertes, si el gradiente oscila entre 1 o menos milibares indica vientos suaves, mientras que un gradiente de 4, 5 o más milibares indica que los vientos son fuertes.


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