miércoles, 11 de noviembre de 2015

Física matemática

Radio espectral

el radio espectral de una matriz o de un operador lineal acotado es el supremo de entre los valores absolutos de los elementos de su espectro, indicándose en ocasiones con ρ(·).

Matrices

Si λ1, ..., λs son los valores propios (reales o complejos) de una matriz A ∈ Cn × n, entonces su radio espectral ρ(A) se define como:
\rho(A) := \max_i(|\lambda_i|)
El siguiente lema muestra una mayorante sencilla hasta ahora útil para el radio espectral de una matriz:
Lema: Si A ∈ Cn × n es una matriz de valores complejos, ρ(A) su radio espectral y ||·|| una norma matricial consistente; entonces, para cada k ∈ N:
\rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k},\ \forall k \in \mathbb{N}.
Demostración: Si (v, λ) es un par compuesto de un vector propio y un valor propio para una matriz A, por la propiedad sub-multiplicativa de la norma matricial, se obtiene:
|\lambda|^k\|\mathbf{v}\| = \|\lambda^k \mathbf{v}\| = \|A^k \mathbf{v}\| \leq \|A^k\|\cdot\|\mathbf{v}\|
y como v ≠ 0 por cada λ se tiene:
|\lambda|^k\leq \|A^k\|
por lo que:
\rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k}\,\,\square
El radio espectral está estrechamente relacionado con el comportamiento de la convergencia de la secuencia potencial de una matriz, como muestra el siguiente teorema:
Teorema: Si A ∈ Cn × n es una matriz de valores complejos y ρ(A) su radio espectral, entonces:
\lim_{k \to \infty}A^k=0 si y sólo si \rho(A)<1.
Además, si ρ(A)>1, \|A^k\| no está sometido a valores k en aumento.
Demostración:
(\lim_{k \to \infty}A^k = 0 \Rightarrow \rho(A) < 1)
Si (v, λ) es un par compuesto de un vector propio y un valor propio para una matriz A, puesto que:
A^k\mathbf{v} = \lambda^k\mathbf{v},
se tiene:
0\,= (\lim_{k \to \infty}A^k)\mathbf{v}
= \lim_{k \to \infty}A^k\mathbf{v}
= \lim_{k \to \infty}\lambda^k\mathbf{v}
= \mathbf{v}\lim_{k \to \infty}\lambda^k
Y, ya que a través de una hipótesis v ≠ 0, se debe tener:
\lim_{k \to \infty}\lambda^k = 0
lo que implica que |λ| < 1. Puesto que esto debe valer para cualquier autovalor λ, se puede concluir que ρ(A) < 1.
(\rho(A)<1 \Rightarrow \lim_{k \to \infty}A^k = 0)
Gracias al Teorema de la forma canónica de Jordan, se sabe que para cualquier matriz de valores complejos A ∈ Cn × n, cualquier matriz no singular V ∈ Cn × n y cualquier matriz diagonal a bloques J ∈ Cn × n existen así:
A = VJV^{-1}
con:
J=\begin{bmatrix} J_{m_1}(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{m_2}(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}(\lambda_{s-1}) & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}(\lambda_s) \end{bmatrix}
donde:
J_{m_i}(\lambda_i)=\begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i \end{bmatrix}\in \mathbb{C}^{m_i,m_i}, 1\leq i\leq s.
Se ve fácilmente que:
A^k=VJ^kV^{-1}
y, puesto que J es la diagonal a bloques:
J^k=\begin{bmatrix} J_{m_1}^k(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{m_2}^k(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}^k(\lambda_{s-1}) & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}^k(\lambda_s) \end{bmatrix}
Ahora, un resultado normal en la potencia k de un bloque Jordan mi × mi, para k ≥ mi − 1, establece lo siguiente:
J_{m_i}^k(\lambda_i)=\begin{bmatrix} \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & {k \choose 2}\lambda_i^{k-2} & \cdots & {k \choose m_i-1}\lambda_i^{k-m_i+1} \\ 0 & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & \cdots & {k \choose m_i-2}\lambda_i^{k-m_i+2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i^k \end{bmatrix}
Por tanto, si ρ(A) < 1, entonces |λi| < 1 ∀ i, por lo que:
\lim_{k \to \infty}J_{m_i}^k=0\ \forall i
lo que implica que:
\lim_{k \to \infty}J^k = 0.
En consecuencia:
\lim_{k \to \infty}A^k=\lim_{k \to \infty}VJ^kV^{-1}=V(\lim_{k \to \infty}J^k)V^{-1}=0
Por otro lado, si ρ(A)>1, hay al menos un elemento en J que no permance inalterable al aumentar k, demostrando así la segunda parte de la teoría.
\square

TEOREMA (La fórmula de Gelfand, 1941)

Para toda norma matricial ||·||, se tiene:
\rho(A)=\lim_{k \to \infty}||A^k||^{1/k}.
Es decir, la fórmula de Gelfand muestra cómo el radio espectral de A es la causa del ritmo de crecimiento asintótico de la norma de Ak:
\|A^k\|\sim\rho(A)^k para k\rightarrow \infty.\,
Demostración: Si todo ε > 0, al considerar la matriz:
\tilde{A}=(\rho(A)+\epsilon)^{-1}A.
Entonces, lógicamente:
\rho(\tilde{A}) = \frac{\rho(A)}{\rho(A)+\epsilon} < 1
y, de acuerdo con el teorema anterior:
\lim_{k \to \infty}\tilde{A}^k=0.
Lo que revela, a través de la definición del límite de secuencia, que un número natural N1 ∈ N existe así:
\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|\tilde{A}^k\| < 1
lo que en cada caso significa que:
\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|A^k\| < (\rho(A)+\epsilon)^k
o que:
\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|A^k\|^{1/k} < (\rho(A)+\epsilon).
Al considerar ahora la matriz:
\check{A}=(\rho(A)-\epsilon)^{-1}A.
entonces, lógicamente:
\rho(\check{A}) = \frac{\rho(A)}{\rho(A)-\epsilon} > 1
así, de acuerdo con el teorema anterior, \|\check{A}^k\| permanece inalterable.
Esto resuelve que un número natural N2 ∈ N existe así:
\forall k\geq N_2 \Rightarrow \|\check{A}^k\| > 1
lo que en cada caso significa que:
\forall k\geq N_2 \Rightarrow \|A^k\| > (\rho(A)-\epsilon)^k
o que:
\forall k\geq N_2 \Rightarrow \|A^k\|^{1/k} > (\rho(A)-\epsilon).
Tomando:
N:=max(N_1,N_2)
e insertándolo en lo anterior, se consigue:
\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}: \forall k\geq N \Rightarrow \rho(A)-\epsilon < \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon
lo que por definición es:
\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A).\,\,\square
La fórmula de Gelfand conduce directamente a un límite del radio espectral de un producto de muchas matrices finitas; suponiendo que todas ellas se conmutaran, se obtendría:  \rho(A_1 A_2 \ldots A_n) \leq \rho(A_1) \rho(A_2)\ldots \rho(A_n).
En realidad, en el caso en que la norma fuera constante, la demostración serviría más que la tesis; de hecho, al emplear el lema anterior, se puede remplazar la minorante en la definición de límite por el radio espectral mismo, quedando de forma:
\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}: \forall k\geq N \Rightarrow \rho(A) \leq \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon
lo que por definición es:
\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A)^+.
Ejemplo: Al considerar la matriz:
A=\begin{bmatrix} 9 & -1 & 2\\ -2 & 8 & 4\\ 1 & 1 & 8 \end{bmatrix}
cuyos valores propios son 5, 10, 10; de acuerdo con la definición, su radio espectral es ρ(A)=10. En la siguiente tabla aparecen los valores de \|A^k\|^{1/k} en las cuatro normas más empleadas para algunos valores en aumento de k (tenerlo en cuenta, debido a la forma particular de esta matriz, \|.\|_1=\|.\|_\infty):
k\|.\|_1=\|.\|_\infty\|.\|_F\|.\|_2
11415.36229149610.681145748
212.64911064112.32829434810.595665162
311.93483191911.53245066410.500980846
411.50163316911.15100298610.418165779
511.21604315110.92124223510.351918183
\vdots\vdots\vdots\vdots
1010.60494442210.45591043010.183690042
1110.54867768010.41370221310.166990229
1210.50192183510.37862093010.153031596
\vdots\vdots\vdots\vdots
2010.29825439910.22550444710.091577411
3010.19786089210.14977692110.060958900
4010.14803164010.11212368110.045684426
5010.11825103510.08959882010.036530875
\vdots\vdots\vdots\vdots
10010.05895175210.04469950810.018248786
20010.02943256210.02232483410.009120234
30010.01961209510.01487769010.006079232
40010.01470546910.01115619410.004559078
\vdots\vdots\vdots\vdots
100010.00587959410.00446098510.001823382
200010.00293936510.00223024410.000911649
300010.00195948110.00148677410.000607757
\vdots\vdots\vdots\vdots
1000010.00058780410.00044600910.000182323
2000010.00029389810.00022300210.000091161
3000010.00019593110.00014866710.000060774
\vdots\vdots\vdots\vdots
10000010.00005877910.00004460010.000018232

Operadores lineales acotados

Para un operador lineal acotado A y la norma operacional ||·||, se tiene de nuevo:
\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k}.
A un operador acotado (en un espacio de Hilbert complejo) se le denomina operador espectraloide si su radio espectral coincide con su radio numérico. Un ejemplo de este tipo de operador es un operador normal.

Grafos

El radio espectral de un grafo finito se define como el radio espectral de su matriz de adyacencia.
Esta definición es válida para los casos de grafos infinitos con grados limitados de vértices (por ej. existe algún número real C, como el grado de cada vértice del grafo, que es menor que C).
En este caso, para el grafo G si  l^2(G)  indica el espacio de funciones:
f \colon V(G) \to {\mathbb R}
con:
\sum_{v \in V(G)} \|f(v)^2\| < \infty
Si  \gamma \colon l^2(G) \to l^2(G) es el operador de adyacencia de  G , por ej.:
(\gamma f)(v) = \sum_{(u,v) \in E(G)} f(u) .
el radio espectral de G se define como el radio espectral del operador lineal acotado \gamma.












red de espín es un tipo de diagrama que puede usarse para representar estados e interacciones entre partículas y campos. Fue ideada por Roger Penrose en 1971.1 Las redes de espín fueron aplicadas en física al problema de la gravedad cuántica por Lee Smolin, Fotini Markopoulou-Kalamara, y otros para reformular gravedad cuántica de lazos y teoría de gauge.
Desde una perspectiva matemática, una red de espín es un grafo cuyas aristas se asocian arepresentaciones irreducibles de un grupo de Lie compacto, G y cuyos vértices se asocian a aplicaciones equivariantes de las representaciones de aristas adyacentes.

Red de espín del tipo de las usadas en gravedad cuántica de lazos.
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