miércoles, 11 de noviembre de 2015

Física matemática

Síntesis aditiva

La síntesis aditiva es una técnica de síntesis de sonido para crear timbres.
Los timbres están formados por cantidades variables de armónicos o parciales que cambian a lo largo del tiempo con respecto a un tono o frecuencia fundamental. Los parciales son las ondas que complementan a la onda fundamental para crear un timbre, si las frecuencias de los parciales son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental son denominados parciales armónicos, y si son múltiplos reales son denominados no armónicos.
En la síntesis aditiva es muy importante la utilización de diferentes envolventes que se encargan del manejo de la amplitud sobre cada parcial y es lo que estructura el comportamiento del sonido en el tiempo.
Para realizar el proceso se hace necesario disponer de un banco de osciladores para que generaren las diferentes ondas que complementan la onda fundamental, cada una con amplitudes y frecuencias diferentes además de su propia envolvente configurable de volumen, creándose un sonido dinámico y realista.

Teorema de Fourier

El concepto tras la síntesis aditiva se remonta a los descubrimiento del matemático francés Joseph Fourier, él descubrió que las funciones discontinuas pueden descomponerse como la suma de una serie infinita de funciones continuas. A partir de aquí, se estableció que todas las señales, representadas como una función matemática pueden ser compuestas por una suma de funciones seno ( sin(x) ) de varias frecuencias. En rigor, cualquier sonido periódico en el dominio del tiempo discreto puede sintetizarse como sigue:
s(n) = \frac{1}{2} a_0(n) + \sum_{k=1}^{k_{\max}} a_k(n) \cos\left( \frac{2 \pi f_0}{F_s} k n \right)-b_k(n) \sin\left( \frac{2 \pi f_0}{F_s} k n \right)
o
s(n) = \frac{1}{2} a_0(n) + \sum_{k=1}^{k_{\max}} r_k(n) \cos\left( \frac{2 \pi f_0}{F_s} k n +\varphi_k(n) \right)
donde
a_k(n) = r_k(n) \cos \left( \varphi_k(n) \right) \,, b_k(n) = r_k(n) \sin \left( \varphi_k(n) \right) \,
y F_s \, es la frecuencia de muestreo, f_0 \, es la frecuencia fundamental y k_{\max}<\operatorname{floor}(F_s/2 f_0) \, es el armónico más alto por debajo de la frecuencia de Nyquist. El término de la componente continua DC no es conveniente en la síntesis musical, de forma que se puede eliminar el término a0. Al introducir los coeficientes variablesrk(n) permite el uso dinámico de envolventes para modular los osciladores, creándose una forma de onda cuasi-periódica (es decir periódica a corto plazo pero que cambia a largo plazo). La síntesis aditiva puede también crear sonidos no armónicos si las parciales individuales no tienen todas una frecuencia que sea múltiplo de la misma frecuencia fundamental.
Un sintetizador clásico de síntesis aditiva era el Synclavier. El órgano también puede ser considerado un sintetizador aditivo porque cuando el aire pasa a través de los tubos se generan ondas senoidales que se añaden unas a otras para generar tonos. Implementaciones contemporáneas de la síntesis aditiva incluyen la serie K5000 de sintetizadores Kawai y, más recientemente, sintetizadores software como el Camaleón de Camel Audio y el Cube de VirSyn.
Se ha demostrado en Wavetable Synthesis 101, A Fundamental Perspective que la síntesis por tabla de ondas es equivalente a la síntesis aditiva en el caso de que todos los parciales o sobretonos sean armónicos (es decir, todos los sobretonos se hallan en frecuencias que son múltiplos enteros de una frecuencia fundamental del tono, como se muestra en la ecuación anterior). No todos los sonidos musicales tienen parciales armónicos (por ejemplo las campanas musicales), aunque la mayoría sí los tienen. En estos casos se puede conseguir una implementación de síntesis aditiva mediante la síntesis de tabla de ondas. La síntesis aditiva de grupo es un método para agrupar parciales en grupos armónicos de diferentes frecuencias fundamentales para sintetizar cada grupo por separado (con síntesis de tabla de ondas) antes de mezclar el resultado final.







Superficie equipotencial

Superficies equipotenciales de undipolo eléctrico: las líneas de la figura representan la intersección de las superficies equipotenciales con el plano de simetría paralelo al momento dipolar.
Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos de un campo escalar en los cuales el "potencial de campo" o valor numérico de la función que representa el campo, es constante. Las superficies equipotenciales pueden calcularse empleando la ecuación de Poisson.
El caso más sencillo puede ser el de un campo gravitatorio en el que hay una masa puntual: las superficies equipotenciales son esferas concéntricas alrededor de dicho punto. El trabajo realizado por esa masa siendo el potencial constante, será pues, por definición, cero.
Cuando el campo potencial se restringe a un plano, la intersección de las superficies equipotenciales con dicho plano se llaman líneas equipotenciales.









Supergravedad


supergravedad (teoría de supergravedad) es una teoría de campos que combina el principio de supersimetría y relatividad general. Estas teorías juntas implican que, en supergravedad, la supersimetría es una Simetría local (al contrario que las teorías supersimétricas no gravitacionales, como la supersimetría mínima del modelo estándar (MSSM en inglés)).

Gravitones

Como en cualquier teoría de campo sobre gravedad, una teoría de supergravedad contiene un campo de spin-2 cuyo cuanto es el gravitón. La supersimetría necesita que el campo creado por el gravitón tenga una superpartícula compañera. Este campo tiene spin 3/2 y su cuanto es el gravitino. El número de campos formados por gravitinos es igual al número de supersimetrías. Se dice normalmente que las teorías de supergravedad son las únicas teorías consistentes sobre la interacción de campos sin masa con spin 3/2. [cita requerida].

Historia

SUGRA tetradimensional

SUGRA, o Super Gravedad, fue propuesta inicialmente como una teoría de cuatro dimensiones en 1976 por Daniel Z. Freedman, Peter van Nieuwenhuizen y Sergio Ferrara en la Universidad de Stony Brook, pero fue rápidamente generalizada a muchas y diferentes teorías multidimensionales y con mayor número (N) de cargas supersimétricas. Las teorías de supergravedad con N>1 se las nombra habitualmente como supergravedad extendida (SUEGRA en inglés). Se ha demostrado que algunas teorías de supergravedad son equivalentes a otras teorías de supergravedad de más dimensiones mediante reducción dimensional (por ejemplo, la supergravedad de dimensiones N = 1 11 se reduce en S7 to N = 8 d = 4 SUGRA). A las teorías resultantes se las llama normalmente como las teorías de Kaluza-Klein, debido a que Kaluza y Klein construyeron, hace casi un siglo, una teoría de gravedad de 5 dimensiones, que al ser reducida en círculo, sus modos no masivos de 4 dimensiones describen el electromagnetismo acoplado a la gravedad.

mSUGRA

mSUGRA (en inglés) significa super gravedad mínima. La construcción de un modelo realístico de interacción de partículas con N = 1 supergravedad tal que lasupersimetría se rompe por un supermecanismo de Higgs fue llevada a cabo por Ali Chamseddine, Richard Arnowitt y Pran Nath en 1982. En esta clase de modelos ahora conocidos en conjunto como La Gran Unificación de teorías de supergravedad mínima (mSUGRA GUT en inglés), La gravedad media en la ruptura de la supersimetría mediante la existencia de un sector escondido. mSUGRA genera la supersimetría débil, rompiendo así las condiciones que son una consecuencia del superefecto Higgs. A la ruptura por radiación de la simetría electrodébil mediante el grupo de ecuaciones de Renormalización (RGEs en inglés) le sigue una consecuencia inmediata. mSUGRA es uno de los modelos de física de partículas más investigado a nivel mundial debido a su capacidad de predicción con solo 4 parámetros de entrada and a sign, ya que permite determinar el fenómeno de baja energía a partir de la escala de la Gran Unificación.

11d: SUGRA máxima

Una de estas supergravedades, la teoría de 11 dimensiones, genera gran expectación por ser la primera candidata potencial para convertirse en la teoría del todo. Esta expectación está basada en 4 pilares, dos de los cuales han sido refutados actualmente:
  • Werner Nahm demostró que las 11 dimensiones era el mayor número de dimensiones posible con un solo gravitónn, y que una teoría con más dimensiones tendría también partículas con spin mayor que 2. Estos problemas se evitan con 12 dimensiones si dos de ellas son de tiempo, Como se ha enfatizado por Itzhak Bars[cita requerida].
  • En 1978, Eugene Cremmer, Bernard Julia y Joel Scherk (CJS) de la escuela normal superior de París encontraron la acción clásica para una teoría de supergravedad de 11 dimensiones. Es esta la única que permanece a día de hoy como una teoría de 11 dimensiones clásica con supersimetría local y sin campos con spin mayor de 2 [cita requerida]. Se sabe que otras teorías de 11 dimensiones no son equivalentes de forma mecánico-cuánticas a la teoría CJS, pero sí clasico-equivalentes (que significa que la teoría CJS se reduce cuando se imponen las ecuaciones clásicas del movimiento). Por ejemplo, a mediados de la década de 1980 Bernard de Wit y Hermann Nicolai propusieron una teoría alternativa en D=11 Supergravity with Local SU(8) Invariance. Esta teoría, que no manifiesta invariabilidad de Lorentz, es en muchos modos, superior a la teoría CJS. Por ejemplo, sus dimensiones se reducen a la teoría de 4 dimensiones sin tener que recurrir a las ecuaciones clásicas del movimiento.
  • En 1980, Peter G. O. Freund y M. A. Rubin demostraron que la compactación de 11 dimensiones preservando todos los generadores de supersimetría podía hacerse de dos formas, lo que dejaría solo 4 o 7 dimensiones macroscópicas (las otras 7 o 4 estarían compactadas). Desgraciadamente, las dimensiones no compactadas tendrían que formar un espacio anti de Sitter. Hoy se sabe que hay muchas formas de compactación posibles, pero que las compactaciones de Freud-Rubinn son invariantes en todas las transformaciones de supersimetría que preservan el movitiento.
Por tanto, Los dos primeros resultados parece que establecen 11 dimensiones únicamente, el tercero parece que especifíca la teoría, y el último de los resultas explica porque el universo que observamos parece tener 4 dimensiones.
Muchos de los detalles de esta teoría fueron pulidos por Peter van Nieuwenhuizen, Sergio Ferrara y Daniel Z. Freedman.

El fin de la era SUGRA

La emoción inicial por la supergravedad de 11 dimensiones no duró mucho ya que se descubrieron varios errores y los intentos de reparar el modelo fueron infructuosos. Estos problemas incluyen:
  • Las variedades (matemáticas) que se conocían en el momento y que contenían el modelo estándar no eran compatibles con la super-simetría, y no podían tenerquarks o leptones. Se sugirió que podía remplazarse las dimensiones compactadas con la 7-esfera, con el grupo simétrico SO(8), o la 7-esfera aplastada, con el grupo simétrico SO(5) \times  SU(2).
  • Hasta hace poco, se creía que los neutrinos observados en el mundo real no tenían masa, y parece que eran de izquierdas, un fenómeno al que nos referimos comoquiralidad del módelo estándar. Era muy difícil construir un fermión quiral a partir de la compactación — la variedad compactada necesitaba tener singularidades, pero la física cerca de las singularidades no empezó a comprenderse hasta el anuncio del orbifold teorías de campos conformes en los útimos años de la década de 1980.
  • Los modelos de supergravedad terminaban normalmente en una enorme y surrealista constante cosmológica en cuatro dimensiones, y era difícil eliminar dicha constante, por lo que se requería un ajuste muy preciso de los parámetros. A día de hoy esto todavía representa un problema
  • La cuantización de la teoría llevaba a una teoría de campo cuántica con anomalías de gauge haciendo la teoría inconsistente. En los siguientes años los físicos han aprendido a cancelar estas anomalías.
Algunas de estas dificultades pueden evitarse pasando a una teoría de 10 dimensiones 10-dimensional que implique tener supercuerdas. Sin embargo, pasar a 10 dimensiones pierde el sentido de una única teoría de 11 dimensiones.
La base para una teoría de 10 dimensiones, conocido como la primera revolución de supercuerdas, fue una demostración hecha por Michael B. Green, John H. Schwarzy David Gross que explica que solo hay 3 modelos de supergravedad en 10 dimensiones que tienen simetrías de gauge y que todas estas y las anomalías gravitaciones se cancelan entre sí. Había teorías que se construyeron en los grupos SO(32) y E_8 \times E_8, el producto directo de dos copias de E8. Hoy sabemos que, usando D-branas por ejemplo, las simetrías de gauge pueden presentarse también en otras teorías de 10 dimensiones[cita requerida].

La segunda revolución de supercuerdas

La emoción inicial sobre las teorías de 10 dimensiones y la teoría de cuerdas que permitía que estuviese completa de forma cuántica se terminó al final de la década de 1980. Había demasiados Calabi-Yaus que compactar, Muchos más de los que Yau había estimado, tal como admitió en diciembre de 2005 en el congreso Solvay. Ninguno consiguió el modelo estándar aunque parecía que se acercaban en muchas formas con suficiente esfuerzo. Encima, nadie entendía la teoría por detrás del régimen de aplicabilidad de cuerdas en la teoría perturbacional.
Hubo también un corto período al principio de la década de 1980, durante el cual, se diseñaron herramientas de muy alta importancia. Por ejemplo, llegó a ser aparente que varias teorías de supercuerdas estaban relacionadas por "dualidad de cuerdas", algunas de las cuales presentaban un acoplamiento físico débil de cuerdas en un módelo y acoplamiento fuerte en otro.
Entonces todo cambió, en lo que conocemos como la segunda revolución de supercuerdas. Joseph Polchinski se dio cuenta que los objetos de teoría de cuerdas oscuras, llamados D-branas, que él mismo había descubierto seis años antes, son versiones de cuerdas de las p-branas que se sabe existen en las teorías de supergravedad. El uso de estas p-branas no estaba restringido por la teoría perturbacional de cuerdas; de hecho, gracias a la supersimetría, comprendemos las p-branas en la supergravead mucho más allá de los límites en los que comprendemos la teoría de cuerdas.
Usando esta nueva herramienta no perturbacional, Edward Witten y muchos otros pudieron demostrar que todas las teorías de cuerdas perturbacionales eran descripciones de diferentes estados en una única teoría que se llama Teoría M. También debatieron que el límite de longitud de onda* de la Teoría M debía definirse por la teoría de supergravedad de 11 dimensiones que había perdido credibilidad con la primera revolución de supercuerdas 10 años antes, acompañado por las 2- y 5-branas. [*= por ejemplo, cuando la longitud de onda cuántica asociada a objetos es en teoría mucho más grande que el tamaño de las 11 dimensiones].
Para entonces, la supergravedad había dado un giro completo. Es usada normalmente para entender hechos de la teoría de cuerdas, la teoría M y sus compactaciones a un espacio-tiempo de menos dimensiones.

Relación con las supercuerdas

Se considera a algunas teorías de supergravedad de 10 dimensiones como "límite de baja energía" de las teorías de supercuerdas de 10 dimensiones; para ser más exactos, surgen como los 3 niveles de aproximación a la teoría de cuerdas sin masa. Las verdaderas teorías de campos efectivos de las teorías de cuerdas, en vez de truncarlas, están disponibles ocasionalmente. Debido a la dualidad de cuerdas, se necesita que la conjetura sobre la teoría M de 11 dimensiones tenga una supergravedad de 11 dimensiones como "límite de baja energía". Aunque esto no significa necesariamente que la teoría de cuerdas/teoría M sean la única posible UV completion de la supergravedad[cita requerida]; la investigación de la supergravedad es muy útil en estos términos.

4D N = 1 SUGRA

Antes de comentar las propiedades de la SUGRA, recapitulemos alguno de los detalles importantes de la relatividad general. Tenemos una variedad M de 4 dimensiones diferenciable con Spin(3,1) como hilo principal. Esto representa la simetría local de Lorentz. Adicionalmente, tenemos un vector haz T sobre la variedad con la fibra, teniendo así cuatro dimensiones reales y transformándolo como un vector con (3,1). Tenemos un mapa invertible del haz tangete de TM a T. Este mapa es el vierbein. La simetría local de Lorentz tiene una conexión de gauge asociada a él, la conexión spin.
El siguiente texto estará en notación superespacial, al contrario que la notación por componentes, que no es una covariente manifiesta en supersimetría. Son realmentemuchas versiones diferente de la SUGRA que son no-equivalentes en el sentido que sus movimientos y contracciones con el tensor torsión son distintas, pero equivalentes si podemos redefinir el campo de supervierbeins y la conexión spin para una versión a partir de la otra.
En 4D N=1 SUGRA, tenemos una 4|4 supervariedad M real y diferenciable, por ejemplo, tenemos 4 dimensiones bosónicas reales y 4 dimensiones reales fermiónicas. En un caso no supersimétrico, tenemos un spin (3,1) principal haz sobre M. Tenemos un vector haz R4|4 T sobre M. La fibra de las transformaciones T bajo el grupo local de Lorentz por consiguiente; las 4 dimensiones bosónicas reales se transforman en un vector y las 4 dimensiones reales fermiónicas se transforman en un Majorana spinor. Este Majorana spinor puede expresarse también como un complejo Weyl spinor de izquierdas y su complejo conjugado Weyl spinor de derechas (no son independientes el uno del otro). También tenemos una conexión spin como antes.
Usaremos las siguientes notaciones; los indices espaciales (bosónicos y fermiónicos) se indicarán con M, N,.... Los indices espaciales bosónicos con μ, ν,..., los índices del espacio Weyl de izquierdas con α, β,..., y los índices del espacio Weyl de derechas con \dot{\alpha}, \dot{\beta},.... Los índices para la fibra de T llevarán una notación similar, excepto que tendrán un superíndice como este: \hat{M},\hat{\alpha}. Vea la notación de van der Waerden para más detalle. M = (\mu,\alpha,\dot{\alpha}). El supervierbein se denota con e^{\hat{M}}_N, y la conexión spin con \omega_{\hat{M}\hat{N}P}. El inverso supervierbein se denota con E^N_{\hat{M}}.
El supervierbein y la conexión spin son reales en el sentido de que satisfacen la condiciones de realidad
e^{\hat{M}}_N (x,\overline{\theta},\theta)^* = e^{\hat{M}^*}_{N^*}(x,\theta,\overline{\theta}) where \mu^*=\mu, \alpha^*=\dot{\alpha}, and \dot{\alpha}^*=\alpha and \omega(x,\overline{\theta},\theta)^*=\omega(x,\theta,\overline{\theta}).
La covariante derivativa se define como
D_\hat{M}f=E^N_{\hat{M}}\left( \partial_N f + \omega_N[f] \right).
La covariante exterior derivativa definida sobre las supervariedades necesita tener super-grado. Esto quiere decir que cada vez que haya que intercambiar dos índices fermiónicos, tomaremos un factor de signo +1 en vez de -1.
La presencia o ausencia de simetrías R es opcional, pero si existe simetría R, el integrando de todo el superespacio tiene que tener una carga R de 0 y el integrando del superespacio quiral tiene que tener una carga R de 2.
Un supercampo quiral X es un supercampo que satisface \overline{D}_{\hat{\dot{\alpha}}}X=0. Para que esta restricción sea consistente, se necesita que las condiciones de integrabilidad tal que \left\{ \overline{D}_{\hat{\dot{\alpha}}}, \overline{D}_{\hat{\dot{\beta}}} \right\} = c_{\hat{\dot{\alpha}}\hat{\dot{\beta}}}^{\hat{\dot{\gamma}}} \overline{D}_{\hat{\dot{\gamma}}} para algún coeficiente c.
Al contratio que la gravedad no-supersimétrica, la torsión no puede ser cero, al menos respecto a las direcciones fermiónicas. Así mismo, incluso en el superespacio plano, D_{\hat{\alpha}}e_{\hat{\dot{\alpha}}}+\overline{D}_{\hat{\dot{\alpha}}}e_{\hat{\alpha}} \neq 0. En una versión de SUGRA (pero no la única), tenemos las siguientes restricciones para el vector torsión:
T^{\hat{\underline{\gamma}}}_{\hat{\underline{\alpha}}\hat{\underline{\beta}}} = 0
T^{\hat{\mu}}_{\hat{\alpha}\hat{\beta}} = 0
T^{\hat{\mu}}_{\hat{\dot{\alpha}}\hat{\dot{\beta}}} = 0
T^{\hat{\mu}}_{\hat{\alpha}\hat{\dot{\beta}}} = 2i\sigma^{\hat{\mu}}_{\hat{\alpha}\hat{\dot{\beta}}}
T^{\hat{\nu}}_{\hat{\mu}\hat{\underline{\alpha}}} = 0
T^{\hat{\rho}}_{\hat{\mu}\hat{\nu}} = 0
Aquí, \underline{\alpha} es una notación corta que dice que el índice circula sobre los spinors de izquierda o de derechas de Weyl.
El superdeterminante de el supervierbein, \left| e \right|, nos da el factor volumen para M. De forma equivalente Equivalently, tenemos el volumen 4|4-superforma e^{\hat{\mu}=0}\wedge \cdots \wedge e^{\hat{\mu}=3} \wedge e^{\hat{\alpha}=1} \wedge e^{\hat{\alpha}=2} \wedge e^{\hat{\dot{\alpha}}=1} \wedge e^{\hat{\dot{\alpha}}=2}.
Si hacemos complejos los superdiffeomorfismos, hay un gauge donde E^{\mu}_{\hat{\dot{\alpha}}}=0, E^{\beta}_{\hat{\dot{\alpha}}}=0 y E^{\dot{\beta}}_{\hat{\dot{\alpha}}}=\delta^{\dot{\beta}}_{\dot{\alpha}}. El espacio quiral resultante tiene las coordenadas x and Θ.
R es supercampo escalar derivable y quiral de los supervielbeins y la conexión spin. Si f es cualquier supercampo, \left( \overline{D}^2 - 8R \right) f es siempre supercampo quiral.
El movimiento para una teoría SUGRA con supercampos quirales X, es dado por
S = \int d^4x d^2\Theta 2\mathcal{E}\left[ \frac{3}{8} \left( \overline{D}^2 - 8R \right) e^{-K(\overline{X},X)/3} + W(X) \right] + c.c.
donde K es el potencial de Kähler y W es el superpotencial, \mathcal{E} is the chiral volume factor. Al contrario que el caso para el superespacio plano, añadiento una constante a Kähler o al superpotencial es ahora físico. Una constante añadida al potencial de Kähler cambia la constante de Planck efectiva, mientras que una constante añadida al el superpotencial cambia la constante cosmológica efectiva. Como la constante de Planck efectiva depende ahora del valor del supercampo quiral X, necesitamos reescalar los supervierbeins (redefinir el campo) para obtener una constante de Planck constante. Esto se llama el marco Einstein.
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