Análisis de circuitos en ingeniería

Dualidad

El propósito es evitar el trabajo de analizar un circuito y su dual. La dualidad se define en términos de las ecuaciones del circuito.

Circuitos duales     

Dos circuitos son duales si las ecuaciones de malla que caracterizan a uno de ellos tienen la misma forma matemática que las ecuaciones de nodo que caracterizan al otro circuito.

Circuitos duales exactos   

Dos circuitos son duales exactos si cada una de las ecuaciones de malla de uno de ellos además de tener la misma forma matemática, es numéricamente idéntica con la correspondiente ecuación de nodos del otro circuito.

Relaciones de dualidad: pares duales de elementos, configuraciones y teoremas

La dualidad no aplica para potencia, circuitos no planos e inductancia mutua.

Ejemplo 1 Dualidad

Construir el dual exacto.

Circuito 1

Se ve al voltaje inicial del condensador V(0)=10 como una fuente de voltaje con la misma polaridad que el voltaje Vc del condensador.

LVK: Ecuaciones de malla del circuito 1

Circuito 2

LCK: Ecuaciones de nodo del circuito 2

Suma de corrientes que entran igual a suma de corrientes que salen.

Para obtener las ecuaciones de nodo se cambian corrientes por voltajes, resistencias por conductancias, bobinas por condensadores y condensadores por bobinas.

Se ve a la corriente inicial de la bobina i(0)=10 como una fuente de corriente con la misma dirección que la corriente iL de la bobina.

El dual exacto es:

En este ejemplo no se ha indicado cómo se obtuvo el circuito dual. Lo haremos paso a paso en el siguiente ejemplo.

Construcción de un circuito dual

Ejemplo 2 Dualidad

Construir el circuito dual del siguiente circuito

Paso 1: escribir las ecuaciones  de malla del circuito 1

LVK: Ecuaciones de malla del circuito 1

Paso 2: asociación de mallas y nodos

Asociar cada malla con un nodo, colocando un nodo en el centro de cada malla, así:

Paso 3: el nodo de referencia

Colocar un nodo de referencia que encierre el diagrama, así:

Paso 4: los elementos pasivos compartidos

Los elementos compartidos por dos mallas se llaman elementos mutuos. Este elemento mutuo da origen a dos términos idénticos, excepto por el signo, en las dos ecuaciones demalla. Por ejemplo, el elemento mutuo es la bobina de 4 H.

Este elemento compartido (en este caso una bobina) se sustituye por un elemento dual (un condensador) que suministra el término dual  en las ecuaciones de nodocorrespondientes, conectándolo directamente entre los nodos que están entre las mallas que contienen el elemento mutuo, así:

Paso 5: los elementos pasivos no compartidos

Los elementos pasivos que aparecen en una sola malla deben tener duales que aparecen entre el nodo de referencia y el nodo correspondiente, así:

Paso 6: las fuentes

Para determinar la polaridad de las fuentes de tensión y la dirección de las fuentes de corriente, siga esta regla:

• Una fuente de tensión que produce una corriente de malla positiva (sentido horario) tiene como dual una fuente de corriente cuya dirección  es saliendo desde referencia o tierra hacia el nodo de no referencia.
• Una fuente de tensión que produce una corriente de malla negativa (sentido anti horario) tiene como dual una fuente de corriente cuya dirección  es en desde el nodo de no referencia hacia el nodo de tierra o referencia.
• En caso de duda, es posible verificar el circuito escribiendo las ecuaciones de nodo o de malla.

Como la fuente de voltaje está orientada en el sentido de las manecillas del reloj (sentido horario para una corriente de malla positiva que recorre  la fuente de menos a más), la fuente de corriente dual debe tener la flecha saliendo del nodo de referencia.

Paso 7: los valores de voltaje y corriente iniciales

Las ecuaciones de malla sugieren a través de las integrales que solo hay un voltaje inicial en el condensador.

El dual del voltaje inicial v(0) del condensador es una corriente inicial i(0) del inductor del mismo valor.

El sentido correcto de la corriente inicial se determina rápidamente tomando el voltaje inicial del condensador como una fuente con la misma polaridad del condensador.

Vemos que una corriente de malla negativa recorre esta fuente en sentido anti horario, por lo que la corriente inicial se dirige hacia el nodo de referencia, a través de la bobina.

Paso 8: redibujar el circuito dual

Paso 9: escribir las ecuaciones del circuito 2 y comparar

El circuito dual es:

Ejemplo 3 Dualidad

Determinar el circuito dual exacto del siguiente circuito:

Paso 1: escribir las ecuaciones del circuito 1

LVK: ecuaciones de malla del circuito 1

Paso 2: asociación de mallas y nodos

Asociar cada malla con un nodo, colocando un nodo en el centro de cada malla, así:

Paso 3: el nodo de referencia

Colocar un nodo de referencia que encierre el diagrama, así:

Paso 4: los elementos pasivos compartidos

Los elementos compartidos por dos mallas se llaman elementos mutuos.

Este elemento compartido se sustituye por un elemento dual conectándolo directamente entre los nodos que están entre las mallas que contienen el elemento mutuo, así:

Paso 5: los elementos pasivos no compartidos

Los elementos pasivos que aparecen en una sola malla deben tener duales que aparecen entre el nodo de referencia y el nodo correspondiente, así:

Paso 6: las fuentes

Como la fuente de voltaje está orientada en el sentido de las manecillas del reloj (sentido horario para una corriente de malla positiva que recorre  la fuente de menos a más), la fuente de corriente dual debe tener la flecha saliendo del nodo de referencia.

Paso 7: los valores de voltaje y corriente iniciales

El dual del voltaje inicial v(0) de un condensador (de acuerdo a las ecuaciones de malla) es una corriente inicial i(0) del inductor del mismo valor.

El sentido correcto de la corriente inicial en el inductor se determina rápidamente tomando el voltaje inicial del condensador como una fuente.

Vemos que para el condensador C1 que una corriente de malla negativa recorre esta fuente en sentido anti horario, por lo que la corriente inicial se dirige hacia el nodo de referencia, a través de la bobina L1.

Para el condensador C2 compartido por las mallas 2 y 3 no es posible escoger una sola corriente de malla, por lo que se procede a asignar arbitrariamente una corriente inicial sobre el inductor L2 que va del nodo V2 hacia el nodo V3. Más adelante, al escribir las ecuaciones veremos si esta elección fue afortunada.

Paso 8: redibujar el circuito dual

Paso 9: escribir las ecuaciones del circuito 2 y comparar

LCK: ecuaciones de nodo en circuito 2. Suma de corrientes que salen igual a suma de corrientes que entran.

Nodo V1:

Nodo V2

Nodo V3

El amplificador operacional como integrador

Ya vimos el amplificador operacional como seguidor.

Ahora se mostrará como un capacitor ideal y un resistor ideal pueden emplearse con un amp-op para formar un dispositivo con un voltaje de salida proporcional a la integral del tiempo de la entrada.

Paso 1:

Aterrizar entrada no inversora

Paso 2:

Instalar capacitor entre la salida y la entrada inversora

Paso 3:

Conectar una fuente de señal Vs y un resistor en serie entre entrada inversora y tierra

Paso 4:

Ri infinita y Ro cero

Si A es infinita entonces

Por tanto,

Por conveniencia puede hacerse que:

Se pueden hacer otras elecciones que aumentarán o disminuirán el voltaje de salida.

Por ejemplo, para aumentar el voltaje de salida puede hacerse:

Y para disminuirlo puede hacerse:

El signo de la salida también se puede cambiar usando un amplificador inversor que se verá más adelante.

El voltaje inicial Vc(0) se puede incluir en el circuito integrador añadiendo una pila y un interruptor normalmente cerrado. En los circuitos prácticos, tanto el interruptor como el voltaje inicial son usualmente dispositivos electrónicos, tales como transistores u otros amp-op.

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