ANÁLISIS DE CIRCUITOS Y SISTEMAS LINEALES

Señales senoidales

Audio: Señales senoidales

Son señales del tipo:

Caracterizada por:

Función periódica:

Relación seno-coseno: Funciones desfasadas π/2

Audio: Funciones desfasadas π/2

función senoidal ↔ función cosenoidal desfasada

Circuitos lineales con alimentación senoidal→Todas las variables eléctricas serán funciones senoidales de la misma frecuencia.

Audio: Circuitos lineales con alimentación senoidal

Siempre son funciones senoidales de la misma ω, sólo cambia la amplitud y la .

 Ondas Senoidales. Herramientas Matemáticas

Antes de nada debemos comenzar por definir que es una onda, aunque seguro que tú ya tienes una idea sobre ello. En física, se considera onda, a la propagación de una perturbación de alguna propiedad de un medio. Esta propiedad del medio, o magnitud, suele variar en función del tiempo. Existen muchos tipos de ondas (olas, ondas de radio, sísmicas, etc.) y se pueden clasificar de diferentes maneras (según el medio de propagación, según la dirección de la perturbación, según su periodicidad, etc.). Estas últimas, las periódicas, son las que a nosotros nos interesan.

Una onda periódica es aquella en la que la perturbación que las origina se produce en ciclos repetitivos, tal es el caso de las ondas senoidales, que son las que van a ocupar nuestro tiempo en este tema.

Imagen 1. Onda Senoidal. Fuente: Elaboración propia.

Puesto que la magnitud oscila en función del tiempo f(t), y puesto que al cabo de un intervalo de tiempo T los valores de la magnitud se repetirán, tendremos f(t)= f(t+T)= f(t+2T)= ·······= f(t+nT), siendo T el tiempo que transcurre entre repetición y repetición y que recibe el nombre de período.

Las ondas periódicas pueden ser pulsantes o alternas. Las pulsantes toman valores que van desde el nulo al máximo positivo y las alternas toman valores que van del máximo positivo al máximo negativo pasando por el nulo y viceversa. Esto significa que las primeras no cambian de sentido y las segundas, las alternas, sí cambian de sentido.

Para terminar esta introducción, decir que las ondas senoidales se representan en función del seno, es decir:

Donde x_m es el valor máximo de la magnitud x y ω es la pulsación.

Una función senoidal admite una representación en el plano complejo llamada representación fasorial.

Relación de Euler:

Luego:

Como la ω no varia bastará considerar X_M y  → FASOR:

El fasor es un nº complejo que caracteriza la respuesta de un circuito en régimen permanente sinusoidal.

La magnitud eléctrica asociada se reconstruye:

En circuitos con varias fuentes de frecuencias diferentes se aplica superposición lineal para la resolución.

los fasores. Su definición y explicación y cómo se pueden utilizar para analizar circuitos en vez de utilizar las expresiones de las funciones senoidales directamente. Se presentará una aplicación interactiva en la que se puede ver cómo se puede pasar de una función senoidal a su representación fasorial.

2. Definición y explicación

Los fasores nos van a permitir trabajar con las funciones senoidales de una forma más fácil en algunas ocasiones como al integrar y al derivar.

Como  se puede ver el voltaje con la expresión: 

con  y una corriente con la expresión 

con  , donde 

Definición de fasor: es una cantidad compleja que se emplea para representar funciones del tiempo que varían de forma senoidal.  es un número complejo con:

1. módulo: la amplitud de la magnitud que representa.
2. fase: la fase de dicha magnitud en t=0.

El fasor se relaciona con las funciones senoidales a través de la siguiente expresión:

Para poder usarlo en las ecuaciones integro-diferenciales se necesita ver cómo responden a esas operaciones.

Aplicación interactiva sobre fasores.

Desde este apartado se puede acceder a una aplicación interactiva que a partir de los parámetros de una función senoidal, hace una representación de ésta, y calcula el fasor y la fase. Los parámetros que la aplicación permite introducir son:

• F_m: es la amplitud de la forma de onda.
• La frecuencia de la función senoidal, expresada en radianes por segundo.
• La fase de la forma de onda, pudiéndose elegir tanto un valor en radianes como en segundos.

Una vez que se han introducido los parámetros deseados por el usuario basta con pulsar la tecla Enter para que la aplicación dibuje la forma de onda resultante y calcule los nuevos resultados.

Aplicación interactiva.

3. Diferenciación con fasores

Si tenemos una función g(t) con su parte real x(t) y su parte imaginaria y(t), y definimos la función:

diferenciando f(t):

Si diferenciamos g(t) y luego tomamos la parte real:

Al final:

Las relaciones que tenemos en la diferenciación son:

4. Integración con fasores

Con la función h(t) definida como la integración de f(t):

Las relaciones que hay en la integración se pueden ver a continuación:

Por lo tanto, se pueden resolver las ecuaciones integro-diferenciales que aparecen en régimen permanente senoidal mediante la utilización de fasores. Esto se debe a que las derivadas y las integrales se transforman en multiplicaciones y divisiones por  y así estas ecuaciones se convierten en algebraicas mediante fasores.

5. Ejemplo de análisis con fasores

Si estas expresiones son el dato o incógnita de un circuito como:

Sabemos que del circuito se puede sacar la siguiente ecuación:

utilizando fasores