AMIGOS PARA SIEMPRE: Apuntes de cálculo

Cálculo diferencial

el diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de unafunción y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. Existen diversas definiciones de diferencial en diversos contextos.

Funciones de una variable

Informalmente, el diferencial dy se define en cursos introductorios mediante la expresión:

$dy = f'(x)\,dx,$

donde

f'(x)

es la derivada de f con respecto a x, y donde dx es una variable real adicional (de manera que dy es una función de dos variables x, y dx). La notación es tal que la expresión:

$dy = \frac{dy}{dx}\, dx$

donde la derivada es representada en la notación de Leibniz dy/dx, se mantiene, y es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales.

El significado preciso de las variables dy y dx depende del contexto de aplicación y del nivel de rigor matemático requerido. Según consideraciones matemáticas rigurosas modernas, las notaciones dy y dx son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar un significado geométrico particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significado analítico si el diferencial es considerado como una aproximación linealal incremento de una función. En aplicaciones físicas, a menudo, se requiere que las variables dx y dy sean sumamente pequeñas (infinitesimales).

Definición

Para funciones de variables reales es posible definir el diferencial rigurosamente interpretándolo como una 1-forma. Así el diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera.¹ El diferencial de una función ƒ(x) de variable real

x\in \R^n

es la función df:

$df \stackrel{\rm{def}}{=} f'(x)\,dx.$

donde dx y df son covectores del espacio cotangente

T^*\R^n

que es isomorfo al propio

\R^n

. Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dado que dx(x, Δx) = Δx es convencional escribir dx = Δx, de manera que la igualdad

df(x) = f'(x) \, dx

se mantiene.

Interpretación geométrica del diferencial

El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.

Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.

Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento

\Delta x \,

que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.

Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la fórmulas matemáticas están definidos respectivamente por

x \,

\Delta x \,

Generalizaciones

Matriz jacobiana

Para funciones de más de una variable, el concepto de diferencial es generalizado mediante la matriz jacobiana. La matriz jacobiana es una representación en coordenadas de una aplicación lineal que aproxima en primer orden una función de

\scriptstyle \R^m

\scriptstyle \R^n

. Los requerimientos de diferenciabilidad en espacios euclídeos de dimensión superior a 1, son un poco más exigentes que en

\scriptstyle \R

, ya que la simple existencia de derivadas no es suficiente para asegurar la diferenciabilidad.

Aplicaciones entre variedades

Dadas dos variedades diferenciables

\scriptstyle \mathcal{M}

de dimensión m y

\scriptstyle \mathcal{N}

de dimensión n y una aplicación entre ellas

\scriptstyle \phi:\mathcal{M}\to \mathcal{N}

el concepto de aplicación diferencial tangente (opushforward) es una aplicación lineal entre los fibrados tangentes de ambas variedades. Una aplicación de ese tipo se dice diferenciable si dada una carta local

\scriptstyle (U,\psi_U)\ (U \subset \mathcal{M})

que contenga al punto

\scriptstyle p

\scriptstyle (V,\psi_V)\ (V \subset \mathcal{N})

que contenga a

\scriptstyle \phi(p)

, la aplicación

\scriptstyle F:\psi_U(U) \subset \R^m \to \psi_V(V) \subset \R^n

es diferenciable como función de

\scriptstyle \R^m

\scriptstyle \R^n

Para definir la noción de aplicación lineal tangente de una aplicación diferenciable entre variedades debe tenerse en cuenta el hecho de que el espacio tangente a una variedad diferenciable puede identificarse con el conjunto de derivaciones sobre el espacio de funciones definidas sobre la variedad. En esa identificación una derivación se puede llegar a identificar como "la derivada direccional" en una cierta dirección. Dado ese vínculo un vector queda caracterizado por su acción sobre las funciones definidas sobre una variedad. A partir de esa noción dada una aplicación diferenciable

\scriptstyle \phi:\mathcal{M}\to \mathcal{N}

se define la aplicación lineal tangente:

$\phi_*:T\mathcal{M} \to T\mathcal{N}$

Tal que a un vector en p

\scriptstyle (p,\mathbf{v})

le asigna el único vector

\scriptstyle (\phi(p),\mathbf{w})

que hace que se cumpla que:

$\phi_*(\mathbf{v})(\tilde{f})|_p = \mathbf{w}(f)|_{\phi(p)},\quad \forall f:\mathcal{N}\to \R$

Donde:

\tilde{f} := \phi\circ f: \mathcal{M}\to \R

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN

Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h.

Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.

Diferencial de una función en un punto

Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) · h. Por tanto,

dy = df(x) = f'(x) · h

Propiedades de la diferencial

Primera propiedad:

La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado.

Segunda propiedad:

Al ser dy = f ' (x)·h =

, la diferencia de una función en un punto es el incremento (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x.

Tercera propiedad:

Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) · h = 1 · h = h. Así, dx = h y

Cuarta propiedad:

cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a

cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.

Ejemplos:

Un móvil se mueve según la relación s = 5t²+ t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos.

Se quiere saber los metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido entre

Resolución:

· Diferenciando la expresión s = 5t²+ t,

ds = (10t + 1) · dt

· Sustituyendo en la expresión de ds,

· En la figura se observa que en realidad recorre algo más de 23,66 metros:

Se ha cometido un error de 24,18 m - 23,66 m = 52 cm

‚ Calcular 3,05².

Resolución:

Para encontrar un resultado aproximado de 3,05²se considera la función y = x².

Diferenciando esta función, dy = 2x dx.

Por la proximidad de 3,05 a 3 (5 centésimas) se calculará la diferencial en el punto de abscisa x = 3 y se llevará a la expresión de dy.

En este caso dx = 3,05 - 3 = 0,05

dy_{x = 3} = 2 · 3 · 0,05 = 0,30

Por tanto, aproximadamente, 3,05²= 9 + 0,30 = 9,30.

Si se calcula con exactitud el valor de 3,05²se obtiene 9,3025. Se observa que se ha cometido un error de 9,3025 - 9,30 = 0,0025, ¡25 diezmilésimas!

forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

\frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad 0\cdot\infty \qquad 1^\infty \qquad 0^0 \qquad \infty^0 \qquad +\infty-\infty

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

Interpretación

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

Cociente indeterminado

La forma 0/0

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x³, x/x, y x²/x se van a

\scriptstyle\infty

, 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente) 0/0 puede ser 0,

\scriptstyle\infty

o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.

Ejemplos:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \cfrac{0}{0}

\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x} = \cfrac{0}{0}

La forma ∞/∞

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ningunaregla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:

\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = \frac {+\infty}{+\infty}

\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)} = \frac {+\infty}{+\infty}

Producto indeterminado

La forma indeterminada 0 • ∞

\lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln x = 0 \cdot (-\infty)

\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos x \cdot \tan x = 0 \cdot \infty

Diferencia indeterminada

En los casos en que el límite de una diferencia es

\infty

, no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo $\infty-\infty$ . Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

Potencia indeterminada

La forma 0⁰

\lim_{x \to 0^+} x^x = \lim_{x \to 0^+} e^{\ln x^x} = \lim_{x \to 0^+} e^{x \ln x} = e^{\lim_{x \to 0^+} (x \ln x)}.

La forma ∞⁰
La forma 1^∞

Ejemplo: el siguiente límite¹

\lim_{x \to 0^+} x^{(\frac{3}{4 + \ln x})}

, es de la forma

0^0

; considerando

y = x^{(\frac{3}{4 + \ln x})}

y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

\ln y = \frac{3}{4 + \ln x }\ln x

aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene

\ln y = 3\cdot \frac{1/x}{1/x} = 3

de manera que el límite sería

\lim_{x \to 0^+} y = e^3

Tabla de formas indeterminadas

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.

Forma indeterminada	Condiciones	Transformación a 0/0	Transformación a ∞/∞
$\frac{0}{0}$	$\lim_{x \to c} f(x) = 0,\ \lim_{x \to c} g(x) = 0 \!$	—	$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} \!$
$\infty \over \infty$	$\lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \!$	$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x)}{1/f(x)} \!$	—
$\qquad 0\cdot\infty$	$\lim_{x \to c} f(x) = 0,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \!$	$\lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{1/g(x)} \!$	$\lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/f(x)} \!$
$\qquad 1^\infty$	$\lim_{x \to c} f(x) = 1,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \!$
$\qquad 0^0$	$\lim_{x \to c} f(x) = 0^+, \lim_{x \to c} g(x) = 0 \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \!$
$\infty^0$	$\lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = 0 \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{g(x)}{1/\ln f(x)} \!$	$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac{\ln f(x)}{1/g(x)} \!$
$\qquad +\infty-\infty$	$\lim_{x \to c} f(x) = \infty,\ \lim_{x \to c} g(x) = \infty \!$	$\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to c} \frac{1/g(x) - 1/f(x)}{1/(f(x)g(x))} \!$	$\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = \ln \lim_{x \to c} \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}} \!$

Recuerda: para factorizar
Primero intenta sacar factor común,Si no puedes, identifica cpn algún producto notable,
Finalmente, intentas por Ruffini, con a como raíz

Abajo está la resolución, explicando cada paso

<\br>

Hasta que no simplifiques un factor del numerador que se anula en a con otro idéntico del denominador tendrás una forma indeterminada 0/0....../ /

Abajo están los ejercicios resueltos, explicados en detalle.

Podemos ahorrarnos el trabajo de multiplicar por la fracción
conjugada/conjugada y pasar de una vez a multiplicar todo el
numerador y todo el denominador por la conjugada

$\frac{c}{d}=\frac{c}{d}\cdot \frac{a}{a}=\frac{c\cdot a}{d\cdot a}$

El teorema enunciado puede ser justificado usando la propia definición de límite, tomando en cuenta que el límite no depende del valor de la función en el punto

a.

Normalmente procedemos de manera abreviada

Observe como hemos escrito la fracción "0/0" arriba de la primera igualdad para indicar que tenemos una forma indeterminada.

En el límite

no podemos aplicar la regla del cociente, porque el límite del denominador es igual a 0. Aún cuando tenemos el límite de una función racional. Tampoco podemos aplicar sustitución directa, pues la función no está definida en x = 2. Observe que cuando sustituimos x por 2 obtenemos la expresión no definida "0/0". Pero esto no indica nada si el límite existe o no.y en caso que exista, cuál es su valor. Una tabla de valores, como la que te mostramos al lado, y la gráfica de la función sugieren que en este caso el límite existe y su valor parece ser 4.

El límite

limx→ag(x)h(x) tiene forma indeterminada del tipo

00 si

limx→ag(x)=0 y

limx→ah(x)=0

La expresión indeterminada es porque el resultado de la sustitución: 0/0, no sugiere nada sobre si el límite existe o no, y si existe cuál es su valor.

Animación Límite de cociente de polinomios
Forma indeterminada cero/cero
Factorizar y simplificar

Se factoriza

(x−a) tanto en el numerador como en el denominador.

Cancelar el factor del numerador con el del denominador.
Si el límite de la expresión resultante no es una forma indeterminada entonces se consigue el límite por sustitución directa

Ejercicios
1) Calcular los siguientes límites

1.1) lim x \to - 2 x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4 1.3) lim x \to 0 x 3 + 4 x 2 - x x 2 - 4 x 1.2) lim x \to 3 x 2 - 9 x 2 - 3 x 1.4) lim y \to 5 25 - y 2 y 2 - 4 y - 5

Para resolver algunas indeterminaciones de este tipo nos valemos que el valor del límite depende de los valores de la función en los puntos cercanos al punto a. Así que podemos sustituir la función por otra función que asuma los mismos valores, salvo en a, de tal manera que el límite de la otra función pueda ser obtenido por propiedades y sustitución directa.

Teorema (funciones que coinciden salvo en el punto a)
Sean

f y

g dos funciones tales que

f(x)=g(x) para todo

x pertenciente a un intervalo abierto conteniendo el punto

a, salvo en el punto

a. Se tiene que si

lim x \to a g (x) existe

entonces

lim x \to a f (x) existe

lim x \to a f (x) = lim x \to a g (x)

Como

las funciones

f (x) = x 2 - 4 x - 2 y g (x) = x + 2

toman los mismos valores, salvo en

x=2, donde la segunda está definida a diferencia de la primera. Como el límite de

g existe, aplicamos el teorema

lim x \to 2 x 2 - 4 x - 2 = lim x \to 2 (x + 2) = 4

El último se calcula por sustitución directa, por ser

g un polinomio.

Tabla de valores de f para algunos valores de xaproximándose a 2.
x acencándose por la izquierda x acencándose por la derecha

Gráfica de

f(x)=x2−4x−2

Aun cuando la función no está definida en

x=2,los valores de la función se acercan a

4 conforme

xse acerca más y más a

Ya hemos mencionado que un límite con forma indeterminada puede o no existir. Los siguientes son ejemplos triviales de formas indeterminadas que muestran distintas situaciones, resueltas las indeterminaciones al buscar funciones que toman los mismos valores salvo en el punto.

lim x \to 0 5 x x lim x \to 0 x x lim x \to 0 x x 3 = 0 / 0 lim x \to 0 5 = 5 = 0 / 0 lim x \to 0 5 = 1 = 0 / 0 lim x \to 0 1 x 2 = + \infty

En lo que sigue describiremos distintas formas indeterminadas 0/0 y las sugerencias para resolverlAs.

El primer límite es igual a 5. Si en la definición de la función sustituimos 5 por otro valor, concluimos que podemos encontrar un límite indeterminado 0/0 que exista y tomando un valor dado.

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lunes, 2 de mayo de 2016

Apuntes de cálculo

Cálculo diferencial

Funciones de una variable

Definición

Interpretación geométrica del diferencial

Generalizaciones

Matriz jacobiana

Aplicaciones entre variedades

Interpretación

Cociente indeterminado

La forma 0/0

La forma ∞/∞

Producto indeterminado

Diferencia indeterminada

Potencia indeterminada

Tabla de formas indeterminadas

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