lunes, 2 de mayo de 2016

Apuntes de cálculo

Cálculo diferencial

 función diferenciable es una generalización para el cálculo en varias variables del concepto más simple de función derivable. En esencia una función diferenciable admite derivadas en cualquier dirección y puede aproximarse al menos hasta primer orden por una aplicación afín.
La formulación rigurosa de esta idea intuitiva sin embargo es algo más complicada y requiere de conocimientos de álgebra lineal. Debe notarse que aunque una función de varias variables admita derivadas parciales según cada una de sus variables no necesariamente eso implica que sea una función diferenciable.

Definición

Una función de múltiples variables f: \Omega \sub \mathbb{R} ^ n \to \mathbb{R} ^ m se dirá diferenciable en x_0\in\mathbb{R} ^ n si, siendo \Omega un conjunto abierto en \mathbb{R} ^ n, existe una transformación lineal T\, que cumpla:
f(x_0+h) = f(x_0)+ T(h)+\theta(h)\;
Donde \theta(h) cumple que:
\lim_{h \to 0} \frac {\lVert \theta(h) \rVert} { \lVert h \rVert} = 0
o sea \theta(h) tiende a cero "más rápido" que función lineal, cuando h tiende a 0. Necesariamente la transformación lineal T\; es la única cosa que se ve más claramente si adoptamos como definición de función derivable aquella para la cual se cumple que exista una aplicación lineal tal que:
\lim_{h\to 0} \frac{\|f(x_0+h)-f(x_0)-T(h)\|}{\|h\|}=0

Visualización Geométrica

Para fijar ideas, usando una función f:\mathbb{R} ^ 2 \to \mathbb{R} cuyo gráfico sería una "sábana". La función es diferenciable si la "sábana" no está "quebrada" en los puntos donde es diferenciable, o sea la función es "suave" en todos los puntos de su dominio, existiendo la matriz jacobiana o derivada en esos puntos.

Funciones reales de una variable

Una función real de una variable que admite derivada en todos sus puntos y tal que dicha derivada sea continua es trivialmente una función diferenciable. Por esa razón para funciones reales de una variable el concepto de función derivable y función diferenciable son básicamente equivalentes.
Sin embargo, para funciones de más de una variable la situación es más complicada. Ya que la existencia de derivadas no comporta que una función sea automáticamente diferenciable.

Ejemplos para funciones de dos variables

De función diferenciable

La función f(x,y) es diferenciable si x, y son diferentes de 0, puesto que existen las derivadas parciales en un entorno de cualquier punto y son continuas en él:
f(x,y) = e^{x+y}\;

De función derivable no-diferenciable

En cambio la función g(x,y) es continua, admite derivadas según las variables x e y, e incluso derivadas direccionales, sin embargo no es diferenciable en (0,0):
g(x,y)=\frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}

De función no-continua y no-diferenciable

La función h(x,y)\; no es diferenciable en (0,0) puesto que no es continua en ese punto ni existen derivadas parciales de cualquier orden en el punto (0,0):
h(x,y)=\frac{xy^2}{x^4+y^4}

Función diferenciable de varias variables

Una aplicación vectorial entre varias variables de la forma f:\R^m \to \R^n se dice diferenciable en un punto x_0 si puede encontrarse una matriz \mathbf{M}, llamada matriz jacobiana, que representa una aplicación lineal L_f:\R^m \to \R^n tal que:
\lim_{\varepsilon\to 0} \frac{\|f(x_0+\varepsilon\mathbf{h})-f(x_0)-\mathbf{M}\mathbf{h}\|}{\varepsilon}= 0
O de forma equivalente:
\lim_{x\to x_0} \frac{\|f(x)-f(x_0)-(x-x_0)\mathbf{M}\|}{\|x-x_0\|}=0
donde x_0 es un punto de \mathbb{R} ^ n,es decir (x-x_0)=(x_1-x_{01},x_2-x_{02},...,x_m-x_{0m}) y \mathbf{M}, la transformación lineal, que viene dada por la matriz jacobianade f en el punto x_0 \in \mathbb{R} ^ m
En esas condiciones se puede ver la función \mathbf{f}(x_1,\dots,x_m) = (f_1(x_1,\dots,x_m),\dots, f_n(x_1,\dots,x_m)) admite derivadas parciales de todas las variables y además resulta:
\mathbf{M} = \begin{pmatrix} \cfrac{\part f_1}{\part x_1} & \dots & \cfrac{\part f_1}{\part x_m} \\ \dots & \dots & \dots \\ \cfrac{\part f_n}{\part x_1} & \dots & \cfrac{\part f_n}{\part x_m} \end{pmatrix}



Diferenciabilidad de funciones vectoriales

Los conceptos de derivable y diferenciable coinciden en funciones vectoriales. Basicamente lo que hacemos aquí es derivar componente a componente.Sea $f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$ una función vectorial, y sea $a$ un punto del interior del dominio de $f$. Si $f=(f_1,f_2,\cdots ,f_m)$ se tiene que $f$ es derivable en $a$ si todas sus componentes lo son y

\begin{displaymath}f'(a)=(f_1'(a),f_2'(a),\cdots ,f_m'(a))\end{displaymath}


Por ejemplo si $f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$ viene dada por $f(t))=(e^t,t^2+t^3)$, resulta que es derivable y $f'(t)=(e^t,2t+3t^2)$.Si consideramos la función $g(t)=(t^2, \mid t \mid )$, tenemos que $f'(t)=(2t,1)$ si $t>0$, y $f'(t)=(2t,-1)$ si $t<0$. Sin embargo $f$ no es derivable en $0$, no existe $f'(0)$, ya que aunque $f_1'(0)=0$, no existe $f_2'(0)$ porque $ \mid t \mid $ no es derivable en $0$.
La diferencial de $f$ en un punto $a$, $df_a\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$ es la aplicación lineal dada por

\begin{displaymath}df_a=({df_1}_a, {df_2}_a,\cdots , {df_m}_a,)\end{displaymath}



Diferenciabilidad de campos escalares

Un campo escalar $f\colon\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ es diferenciable en un punto $a$ del interior de su dominio, si existe una aplicación lineal $\lambda\colon\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ tal que

\begin{displaymath}\lim_{h\to 0}\frac{1}{ \mid \mid h \mid \mid }(f(a+h)-f(a)-\lambda (h) )=0\end{displaymath}


en este caso la aplicación lineal $\lambda$ es única se denota por $df_a$ y se denomina diferncial de $f$ en $a$.La matriz asociada (en la base canónica) a la aplicación $df_a$ se denomina gradiente de $f$ en a y se denota por $\nabla f(a)$.
Así pues si $\nabla f(a)=(v_1, v_2, \cdots , v_n)$, entonces



\begin{displaymath}df_a(x)=\nabla f(a)\cdot x =(v_1, v_2, \cdots , v_n)\ensurema... ...\vdots\\ x_n \end{array} \right)}=v_1x_1+v_2x_2+\cdots +v_nx_n\end{displaymath}


donde $\cdot$ denota el producto escalar.


Propiedades de la diferencial

  1. Si un campo escalar $f$ es diferenciable en $a$, entonces $f$ es continuo en $a$. Por tanto si no es continuo no puede ser diferenciable.
  2. Si $f$ es constante, entonces para cada $a$, $df_a$ es la aplicación lineal nula.
  3. Si $f$ es lineal, entonces para cada $a$, $df_a=f$.
  4. $d(f+g)_a=df_a + dg_a$. En términos matriciales esta propiedad es $\nabla (f+g)(a)=\nabla (f)(a)+\nabla (g)(a)$.

Derivadas parciales

Sea $u\in\mathbb{R}^n$, se define la derivada según el vector $u$ de $f$ en el punto $a$, $D_uf(a)$ como

\begin{displaymath}D_uf(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+hu)-f(a)}{h}\end{displaymath}



  • Cuando el vector es unitario, $ \mid \mid u \mid \mid =1$, se habla de derivada direccional según el vector $u$.
  • Cuando $u=e_i=(0, 0, \cdots ,\overbrace{1}^i, \cdots , 0)$ es el $i$-ésimo vector de la base canónica, se habla de derivada parcial $i$-ésima. En este caso se usan también otras notaciones

    \begin{displaymath}D_{e_i}f(a)=D_if(a)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=f_{x_i}(a)\end{displaymath}


En la práctica para calcular una parcial se deriva normalmente respecto de la variable correspondiente considerando constantes las demás.
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