Álgebra lineal

ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL

INTRODUCCIÓN A LA ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
Para introducirnos en la estructura de espacio vectorial planteamos la siguiente actividad con DERIVE:
Sean tres vectores concretos cualesquiera del plano; por ejemplo, los vectores . Se trata de comprobar si estos vectores cumplen las siguientes propiedades:
        a) .Respecto de la SUMA DE VECTORES:
            1. Propiedad asociativa.
            2. Propiedad conmutativa: 
            3. Existencia de elemento neutro. ¿Cómo sería el elemento neutro de R², es decir el vector tal que ?
            4. Existencia del elemento opuesto. Si el elemento opuesto de un vector es un vector tal que . Calcular los elementos opuestos de 
.
        B) Respecto del PRODUCTO ESCALAR POR VECTORES
            5. Distributiva respecto de la suma de escalares. Comprobar que si tomamos dos escalares cualesquiera , se cumple que .
            6. Distributiva respecto de la suma de vectores. Comprobar que si tomamos un escalar cualquiera se cumple que 
            7. Seudoasociativa: 
            8. Elemento unidad. ¿Cuál es el escalar a , o número real en este caso, tal que multiplicado por cualquier vector (por ejemplo ) se cumple que ?
        Esta actividad nos muestra las ocho propiedades que cumplen los espacios vectoriales respecto de unos vectores concretos.
       Si extendemos estas 8 propiedades a vectores cualesquiera de R² habríamos dotado al conjunto de los vectores del plano de estructura de espacio vectorial. Esta estructura formada por los vectores del plano y las dos operaciones (suma de vectores y producto de escalares por vectores) se suele denotar mediante     (R²,+,.R).

        DEFINICIÓN GENERAL DE LA ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
 
Consideremos un conjunto V no vacío dotado de una operación interna:
y una operación externa (producto por un escalar real):

decimos que V es un R-espacio vectorial si verifica
1) para la operación interna (suma), las propiedades asociativa, conmutativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento opuesto
2) para el producto por escalar, las propiedades distributiva respecto de la suma de vectores y respecto de la suma de escalares, seudoasociativa y existencia de elemento unidad .A los elementos de un espacio vectorial se les denomina VECTORES, aunque en apariencia puedan no corresponderse con la imagen gráfica e intuitiva que tenemos de vector como segmento orientado.    OTRAS PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES.
    Además de las propiedades básicas que dotan a un conjunto de la estructura de espacio vectorial, existen otras propiedades que se desprenden de estas, que vamos a citar a continuación intentando demostrarlas utilizando primero un razonamiento intuitivo y luego a través de una demostración formal.
Consideremos un espacio vectorial sobre el conjunto de los números reales (V,+,.R)
PROPIEDAD 1.
Si tales que 
Demostración.
Intentemos a priori un razonamiento intuitivo. Si el conjunto V=R , es decir tenemos el espacio vectorial de los números reales, es evidente que se cumple esta propiedad, es la propiedad cancelativa de los números reales.
Consideremos ahora un conjunto más complicado, supongamos que V=R². Como la suma de vectores del plano, en realidad se traduce en la suma de números reales en cada una de sus componentes, y resulta que los números reales tienen la propiedad anterior, entonces es evidente que se cumple la propiedad.
Esta propiedad también se podría generalizar para un conjunto más complejo por ejemplo para V=Rⁿ. En este caso, nos valdría el razonamiento anterior ya que en realidad estamos intentando demostrar la propiedad componente a componente, y como las componentes son números reales que la verifican entonces podemos afirmar que esta propiedad se verifica.
Pasemos a una demostración más abstracta y formal.Tenemos inicialmente que se verifica

Como y V es un espacio vectorial, entonces se cumple la propiedad 4), es decir, todo vector tiene elemento opuesto. Sea el elemento opuesto. Si sumamos este vector a ambos miembros de la igualdad se tiene

Si aplicamos ahora la propiedad asociativa

y por tener entre paréntesis la suma de un vector y su opuesto entonces tenemos

Ahora aplicando que es el elemento neutro de V, se tiene la igualdad que queríamos demostrar.

    Demostrar primero utilizando un razonamiento intuitivo sobre espacios vectoriales de reales, y luego de una manera formal las siguientes propiedades:
PROPIEDAD 2.
Si es el elemento neutro de V y a un número real (escalar) entonces se verifica que a.=
PROPIEDAD 3.
Si 
PROPIEDAD 4.
Para todo vector  se verifica que -    es el elemento opuesto de .
PROPIEDAD 5.
Si entonces si 
 
 

    ALGUNOS ESPACIOS VECTORIALES.
    Ejemplo 1.
Es fácil demostrar que (R²,+,.R) y (R³,+,.R) son espacios vectoriales.
    Ejemplo 2.
Vamos a demostrar usando DERIVE que el conjunto de los polinomios con coeficientes reales de orden menor o igual que tres tienen estructura de espacio vectorial.
Para ello definimos tres polinomios genéricos de grado menor o igual que tres, utilizando el comando AUTHOR:

Lo primero que debemos comprobar es que la SUMA DE POLINOMIOS (en este ejemplo los polinomios de grado menor o igual que tres son los VECTORES del espacio vectorial), es una operación interna, es decir que la suma de dos polinomios de grado menor o igual que 3 vuelve a ser un polinomio de grado menor o igual que 3:

para cualesquiera que sean p1 y p2.

A continuación podemos comprobar las propiedades de la suma con ayuda de DERIVE:
    Propiedad asociativa:

Propiedad conmutativa:

Existencia del elemento neutro.
El "0" es el elemento neutro, y es evidente que 0+p1 = p1:

Elemento opuesto.

El producto de un número real por cualquier polinomio de grado menor o igual que tres vuelve a ser un polinomio menor o igual que tres puesto que :

(Obsérvese que en este caso hemos aplicado el comando EXPAND en vez de SIMPLIFY, para desarrollar ese producto por escalar).

Según esta operación definida, podemos comprobar el resto de las ocho propiedades:
Distributiva respecto de la suma de vectores

Distributiva respecto de la suma de escalares

Seudoasociativa

Existencia de elemento unidad.
Es claro que multiplicando "1" por cualquier vector da como resultado el vector

Por tanto el conjunto de los polinomios con coeficientes reales de orden menor o igual que tres tiene estructura de espacio vectorial. En este espacio vectorial, sus elementos, es decir, sus vectores, son los polinomios de grado menor o igual que 3.





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