Álgebra lineal

OPERACIONES CON MATRICES Y APLICACIONES LINEALES

Habíamos visto en secciones anteriores que existe una relación unívoca entre matrices y aplicaciones lineales. Esta relación se manifiesta también en las operaciones que se realizan con aplicaciones lineales, ya que producen sus correspondientes operaciones entre matrices. Estudiaremos esta correspondencia y las principales propiedades.
 
 

SUMA DE MATRICES Y APLICACIONES LINEALESHemos estudiado que la SUMA DE DOS APLICACIONES LINEALES ES UNA APLICACIÓN LINEAL. Veamos cuál es la relación que guarda esta operación con sus matrices asociadas.
 
 Para ello consideremos en DERIVE dos aplicaciones lineales sobre los mismos espacios iniciales y finales, por ejemplo, consideremos las aplicaciones si definimos la aplicación h = f+g, en DERIVE obtendremos 
 

luego la aplicación h vendría definida por

Vamos a estudiar sus matrices asociadas.

    Para estudiar la matriz asociada respecto de las bases canónicas de f, efectuamos:

por tanto la matriz A asociada a dicha aplicación lineal se podría definir en DERIVE mediante

Para evitar tener que escribir continuamente los vectores de la base canónica de R⁴ vamos a definirlos por

Para calcular la matriz asociada a la aplicación g, efectuaremos 
 

por tanto la matriz asociada a la aplicación lineal g respecto de las bases canónicas podemos definirla con el nombre de B, de la siguiente forma 
 

Para finalizar estudiemos ahora la matriz asociada a la aplicación lineal h, realizando con DERIVE

por tanto su matriz asociada es 
 

Observemos que las matrices A, B y C guardan una relación muy clara

y es que los elementos c_ij de la matriz C se obtienen de la siguiente forma

c_ij = a_ij + b_ij

Así pues a la matriz suma A+B se la define como sigue: 
  
 
Definición SUMA DE MATRICES.
Si  se define la matriz suma A+B=C como la matriz C=(a_ij+b_ij) para todo .
 

Esta operación está implementada en DERIVE de tal forma que dadas dos matrices A,B del mismo orden mxn, su suma se obtiene editando la expresión A+B.
Así en el ejemplo que tenemos si efectuamos

se obtiene la matriz suma, que se corresponde con la matriz asociada a la suma de aplicaciones lineales. 
  
 
Ejercicio II.24
Sean las siguientes matrices:

Efectuar las siguientes operaciones:

a) A+B; B+A; A+C; C+A; B+C; C+A. Puedes deducir alguna propiedad.b) (A+B) + C; A+(B+C). ¿Qué relación guardan los resultados? ¿Podrías deducir alguna propiedad respecto de la suma?
c) Construye una matriz N de orden 3x5 tal que A+N=N+A=A; B+N=N+B=B; C+N=N+C=C.
d) Construye tres matrices O, P, Q de orden 3x5 tal que O+A=A+O=N; P+B=B+P=N; Q+C=C+Q=N, siendo N la matriz que has construido en c).

¿Qué propiedad cumplen en general las matrices O, P y Q respecto de las matrices A, B y C?PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES.
A partir del ejercicio anterior se puede generalizar afirmando que:
Dadas las matrices  se verifican las siguientes propiedades respecto de la suma de matrices:

a) Propiedad conmutativa: A+B = B+Ab) Propiedad asociativa: (A+B)+C=A+(B+C)
c) Elemento neutro: Existe una matriz nula O tal que O+A=A+O=A
d) Elemento opuesto: Toda matriz tiene una matriz opuesta, de tal forma que si  donde A+(-A)=O (matriz nula de orden mxn).

 
Estas propiedades que tienen las matrices de un determinado orden, se pueden extender a las aplicaciones lineales, ya que existe una relación unívoca entre matrices y aplicaciones lineales.
Este hecho nos permite obtener la matriz asociada a la suma de varias aplicaciones lineales sin más que sumar las matrices se sus matrices asociadas y sin necesidad de obtener la aplicación lineal suma.
 

Ejercicio II-25.
Sean las aplicaciones lineales:

Se pide:

a) Obtener la matriz asociada a la aplicación lineal (f+g+h).b) Obtener la matriz asociada a una aplicación lineal 

que es la opuesta a la aplicación lineal (f+g). 
  
 

2) PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA APLICACIÓN LINEAL

    Consideremos las dos aplicaciones lineales que manipulamos en el apartado anterior con DERIVE 
 

Recordemos que sus matrices asociadas venian dadas por

Supongamos que construimos la aplicación lineal 3f, entonces esta nueva aplicación vendría dada por

Su matriz asociada se obtiene como en casos anteriores calculando las imágenes de los vectores de la base canónica 
 

Por tanto la matriz asociada de esta aplicación lineal 3f es 
 

si la comparamos con la matriz asociada a f 
 

Se puede observar que cada elemento de la matriz A asociada a f, ha quedado multiplicado por 3. Así pues el producto de un escalar por una aplicación lineal, lleva asociada una operación con matrices que es el producto de un escalar por una matriz, que definimos de la siguiente forma: 
  
 
Definición: PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
Sea A una matriz de orden mxn, y sea k un escalar, perteneciente por ejemplo a los números reales. Entonces al producto de un escalar por una matriz da como resultado una matriz C tal que: C =(k a_ij) para todo 
 

Ejercicio II-26.
Sean las matrices
Efectuar:

a)
.
b)

c)

d)
(1.A) ; A

Comparar los resultados obtenidos y deducir las propiedades que cumple el PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.
 Propiedades del producto de un escalar por una matriz.
Sean  se verifican las siguientes propiedades:

a) Distributiva respecto de la suma de matrices
b) Distributiva respecto de la suma de escalares

c) Existencia de PSEUDOASOCIATIVA

d) Elemento unidad

 Observación.
A partir de las dos operaciones que hemos definido con las matrices: SUMA DE MATRICES y PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ, y la comprobación de sus propiedades es fácil concluir que el conjunto de las matrices de orden mxn, tiene estructura de espacio vectorial sobre R con dimensión m.n.
 

Así por ejemplo el conjunto (M_2x2,+,*R) es un espacio vectorial de dimensión 4, donde una base de dicho espacio sería la formada por las matrices:

 
Ejercicio II-27
Consideremos las matrices

¿Son linealmente independientes?
¿Qué subespacio de M_2x2 generan?


 

3) COMPOSICIÓN DE APLICACIONES LINEALES. PRODUCTO DE MATRICES.

Tal como definimos la composición de aplicaciones, vamos a estudiar cuál es la operación matricial que dicha composición genera. Para ello consideremos dos aplicaciones lineales componibles, por ejemplo, tomemos las aplicaciones definidas en DERIVE porLa componsición de estas dos aplicaciones (gof) se obtendrá aplicando g(f(u)) es decir 
 

Renombremos a dicha aplicación por la aplicación lineal h, es decir h(u)=g(g(u)): 
 

Consideremos ahora las matrices asociadas a las aplicaciones lineales f y g:
La matriz asociada a la aplicación lineal f se obtiene efectuando con DERIVE

En cuyo caso la matriz asociada a f es: 
 

Por otro lado la matriz asociada a g se obtiene efectuando con DERIVE: 
 

en cuyo caso la matriz asociada a g será 
 

Según esto, como hemos obtenido las matrices asociadas respecto a las bases canónicas, resulta que

Hecho que se puede comprobar fácilmente en DERIVE

Por otro lado resulta que 
 

como se observar al efectuar en DERIVE

Por consiguiente 
 

es decir, que efectuando en DERIVE

se obtiene el mismo resultado que realizando 
 

por tanto la operación B.A construirá la matriz asociada a la composición que es 
 

¿Cómo será esa operación B.A?
Obsérvese que sabemos multiplicar una matriz por un vector. Multipliquemos la matriz B por las columnas de A tendremos

que son las columnas de la matriz resultado. Así pues B.A es 
 

Obsérvese que esta matriz se corresponde con la matriz asociada de la composición. Así pues a la composición de aplicaciones lineales le corresponde como matriz asociada la obtenida al multiplicar las matrices asociadas de cada aplicación lineal que interviene en la composición.



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