Álgebra lineal

VECTORES. OPERACIONES CON VECTORES. 

CONCEPTO DE VECTOR COMO SEGMENTO ORIENTADO.
 


Estamos familiarizados con la idea intuitiva de vector como SEGMENTO ORIENTADO, es decir un segmento con una orientación indicada por el orden en el que aparecen los puntos A y B, de tal forma que el segmento puede orientarse en la forma o bien como . Teniendo en cuenta esta consideración podemos decir que estos vectores son vectores fijos que tienen un origen y un extremo, y además tienen :

• un MÓDULO: El módulo de un vector fijo es la distancia de sus extremos.

• una DIRECCIÓN: viene dado por la recta sobre la cual está situado el vector, que tiene una pendiente fija.

• un SENTIDO: viene a indicar un sentido de la recta

Según esta primera idea podemos encontrar numerosos vectores fijos con estos tres elementos idénticos. Así por ejemplo en la siguiente figura tenemos seis vectores 
 
todos ellos con el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.


CONCEPTO DE VECTOR COMO VECTOR LIBRE
Todos estos vectores anteriores podrían ser considerados como las diversas formas en que se presenta  un mismo vector: vector al que llamaremos VECTOR LIBRE; ya que tiene únicamente fijos los parámetros del MODULO; la DIRECCIÓN y el SENTIDO pero puede situar su origen en cualquier punto del plano. Esta relación que vincula a estos vectores se le suele llamar RELACION DE EQUIPOLENCIA, de tal forma que podemos decir que
Dos vectores son EQUIPOLENTES si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.
De esta forma al conjunto de los vectores equipolentes con uno dado se le suele llamar VECTOR LIBRE. En nuestro caso tenemos 5 vectores equipolentes con el vector , todos ellos representan un solo vector libre con origen en diversos puntos del plano A,A1, A2, A3, A4, A5 y A6.
 

CONCEPTO DE VECTOR COMO N-TUPLA DE COMPONENTES.
Para representar un VECTOR LIBRE en un espacio dotado con un eje de coordenadas, suele ser habitual tomar como representante del vector libre al que tiene como origen el origen de coordenadas. En nuestro ejemplo el vector que representaría a todos los de su clase sería el vector 

Este vector que tiene como origen (0,0), determina las COMPONENTES DEL VECTOR.

Efectivamente, si proyectamos sobre el eje OX el extremo del vector (en este caso B) obtenemos la PRIMERA COMPONENTE DEL VECTOR"x"
 


Por otro lado si proyectamos sobre el eje OY el extremo obtendremos la SEGUNDA COMPONENTE del vector "y"
Así pues es claro que el vector se podría representar por sus componentes (x,y).
Esta relación entre VECTOR y sus COMPONENTES es unívoca, de tal forma que así como antes hemos obtenido las componentes de un vector dado, también podemos obtener el vector una vez que tenemos sus componentes. Efectivamente, si queremos representar un vector que tiene por componentes (x,y), bastará construir un

rectángulo que tiene de base "x" y altura "y" desde el origen. El vector que buscamos viene determinado por la diagonal del rectángulo que parte de (0,0)


En este caso el vector sería 
Así pues las COMPONENTES de un vector determinan todos los elementos de un vector libre, ya que

• Su MODULO se puede obtener sin más que aplicar el Teorema de Pitágoras:

• Su DIRECCION viene determinado por la recta que pasa por esos dos puntos.
• Y el SENTIDO por la orientación Oà P del vector.

En consecuencia en adelante para referirnos a un VECTOR LIBRE bastará con identificar sus COMPONENTES.¿COMO DIBUJAR VECTORES FIJOS EN DERIVE?.
En DERIVE podemos representar vectores de la siguiente forma:
Siempre tenemos que introducir en la ventana de ALGEBRA una expresión que contiene el punto origen y el punto extremo separados por comas y entre corchetes. Así si deseamos representar el vector de origen (1,1) y extremo (2,2), tendremos que introducir con AUTHOR la expresión:
                                                    [ [1,1],[2,2]]

Definición de vectores .

Un vector es un segmento de recta orientado en el espacio y se caracteriza por •  su origen o punto de aplicación, O, y su extremo A ; •  su dirección, la de la recta que lo contiene; •  su sentido, el que indica la flecha; •  su módulo, la longitud del segmento OA.

 

Suma y resta de vectores.

La suma o resta de vectores es otro vector a + b = suma que tiene por coordenadas la suma de las coordenadas de los dos vectores. a + b = suma = (a1 + b1,a2 + b2) En el applet inferior se puede observar la suma y la resta de vectores si seleccionamos la opción que aparece debajo del panel de selección de vectores. La resta a - b equivale a sumar dos vectores a + b1 donde b1=-b.

 

Producto de un escalar por un vector.

El producto de un escalar, k,  por un vector r es otro vector, kr, de la misma dirección que r y cuyo sentido viene determinado por el signo de k. Si k = 0, el vector kr es el vector nulo. A la derecha puede observarse como aumentando el valor de k aumenta el vector v2. El vector v2 es k veces el vector v1 en módulo.

 

Producto escalar de dos vectores.

Dados dos vectores a y b se llama producto escalar del vector a por el vector b (se lee a multiplicado escalarmente porb, o a escalar b ), al escalar fruto de la siguiente operacion a · b =  axbx+ayby. Puede comprobarse que la anterior operación puede también expresarse como el producto de los módulos de ambos vectores multiplicado por el coseno del ángulo,θ,  que forman entre sí, es decir, a · b = a b cosθ. También se puede decir que el producto escalar nos proporciona el valor de la proyección de un vector sobre el otro.

 

Producto vectorial de dos vectores.

Dados dos vectores a y b , se llama producto vectorial de a por b o a x b (se lee a multiplicado vectorialmente por b ) a un vector p perpendicular al plano formado por los dos vectores (dirección del vector). El sentido de dicho vector es el de avance de un tornillo de rosca a derechas que girara del primer vector hacia el segundo por el camino más corto. El módulo del vector producto vectorial es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el seno de ángulo, θ, que forman (tomado desde a hasta b). |p| =| a  x b| = a b sinθ p= a  x b= a b sinθ  u donde u es el vector unitario en la dirección perpendicular al plano formado por a y b. Algoritmo para matrices tridiagonales .- .....................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Algoritmo_para_matrices_tridiagonales&printable=yes Algoritmo QMR .- .............................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Algoritmo_QMR&printable=yes