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coordenadas generalizadas a un conjunto cualquiera de parámetros numéricos que sirven para determinar de manera unívoca la configuración de un mecanismo o sistema mecánico con un número finito de grados de libertad. Más formalmente, las coordenadas generalizadas se definen como un sistema de coordenadas curvilíneas sobre la variedad de configuración de un sistema físico como por ejemplo el espacio de configuración o el espacio de fases de la mecánica clásica.

El número mínimo de coordenadas generalizadas para definir el estado del sistema se conoce como: coordenadas independientes. En este contexto, las coordenadas pueden ser absolutas (referidas a un sólido inmóvil, respecto del cual el mecanismo "se mueve"); o bien pueden ser relativas a otro miembro del mecanismo.

Mecánica lagrangiana[editar]

Noción intuitiva[editar]

La mecánica newtoniana usa sistemas de referencia con ejes cartesianos en que la posición de una partícula puntual en un instante dado viene dada por un vector del espacio euclídeo. Las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales que relacionan las derivadas de la posición con la posición de las otras partículas. Sin embargo, matemáticamente podemos usar un conjunto de coordenadas curvilíneas cualesquiera tales que el vector posición pueda ser expresado en términos de esas coordenadas y viceversa. Esto implica que en un sistema de P partículas (y 2N grados de libertad) existirán funciones invertibles de la otra tales que:

${\begin{cases}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}(q_{1},...,q_{2N},t)&i\in \{1,...,P\}\\q_{j}=q_{j}(\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{P},t)&j\in \{1,...,2N\}\end{cases}}$

Noción formal[editar]

Formalmente, en mecánica lagrangiana el estado físico de un sistema mecánico, también llamado estado de movimiento, viene representado por un punto del espacio de configuración "ampliado". Este espacio se designa por TQ y matemáticamente es el fibrado tangente del espacio de configuración Q de posibles posiciones. Por construcción el espacio de configuración ampliado tiene una estructura de variedad diferenciable de dimensión 2N, siendo N el número de grados de libertad del sistema. Naturalmente los 2N números anteriores tienen que ver con las coordenadas curvilíneas en términos de los cuales representamos la posición ordinaria de una partícula.

De la discusión anterior se sigue que un conjunto adecuado de coordenadas generalizadas para un sistema lagrangiano no puede venir dado por un conjunto cualquiera de m números reales sino que debe existir un conjunto abierto U del fibrado tangente TQ y una función de clase C^k, con k > 1, tal que:

\phi _{q}:U\subset TQ\to \mathbb {R} ^{2N}\qquad (p,v)\in U\rightarrow (q_{1},...,q_{N},{\dot {q}}_{1},...,{\dot {q}}_{N})=\phi _{q}(p,v)

Un sistema como el anterior se llama sistema natural. Sin embargo, algunos sistemas admiten coordenadas generalizadas más complicadas que dependen además del tiempo, como se discutió al principio y esos sistemas requieren ser descritos mediante una variedad de dimensión 2N+1 siendo los detalles similares.

Mecánica hamiltoniana[editar]

La situación en mecánica hamiltoniana es similar a la que se presenta en mecánica lagrangiana ya que el estado de un sistema físico se representa por un punto del llamado espacio fásico (que es una variedad simplécticaconstruida sobre el espacio de configuración "ampliado" del sistema).

En una variedad simpléctica (M,ω) pueden escogerse diversos sistemas de coordenadas generalizadas, pero tienen especial interés los sistemas de coordenadas canónicas. El teorema de Darboux garantiza que alrededor de cualquier punto existe un entorno y un sistema de coordenadas en el cual la 2-forma simpléctica tiene la forma:

\omega =\sum _{i}dp_{i}\land dq_{i}

Un sistema de coordenadas como el anterior es un sistema de coordenadas canónicas, donde la coordenada p_ise llama momento conjugado de la coordenada q_i. En un sistema de coordenadas canónicas las ecuaciones de Hamilton toman su forma canónica.

Otros contextos[editar]

En ciertos problemas mecánicos sencillos como el problema de las vibraciones u oscilaciones acopladas aparecen sistemas de coordenadas generalizadas no relacionados con ninguna medida directa realizable sobre el sistema físico, pero útiles en la resolución matemática de los problemas.

Un problema de oscilaciones acopladas puede resolverse mediante ciertos cambios de variables que llevan a las coordenadas normales o amplitudes de los modos propios de vibración, que son de hecho una forma particular de coordenadas generalizadas para el problema mecánico original. El problema de oscilaciones acopladas, aparece por ejemplo en las vibraciones térmicas de un cristal, o el movimiento horizontal de un edificio en un terremoto o el movimiento de un sistema de masas unidas por muelles o resortes. Estos problemas conducen a un sistema de ecuaciones del siguiente tipo:

$m_{i}{\ddot {x}}_{i}+\sum _{k=1}^{N}k_{ik}x_{k}=0$

Que puede resolverse fácilmente definiendo unas nuevas coordenadas llamadas coordenadas normales, definidas mediante un cambio lineal:

${\begin{Bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\end{Bmatrix}}=+{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1N}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N1}&\cdots &a_{NN}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{Bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{N}\end{Bmatrix}}$

Donde la matriz cambio de masa se calcula a partir de los modos propios del sistema. Con ese cambio el sistema se conviente en un conjunto de N ecuaciones sencillas del tipo:

{\begin{matrix}{\ddot {q}}_{1}+\omega _{1}^{2}q_{1}=0\\\vdots \\{\ddot {q}}_{N}+\omega _{N}^{2}q_{N}=0\end{matrix}}

Cada una de las cuales es de resolución inmediata. Es interesante notar que estos modos no son cantidades directamente medibles, sino sólo un sistema de coordenadas con dimensiones de longitud matemáticamente adecuado, pero que de no están relacionadas de manera directa o natural con ninguna medición realizable sobre el sistema.

coordenadas independientes al número mínimo de coordenadas necesarias para definir la posición de un mecanismo dado. Si el sistema es holónomo, coincide con los grados de libertad. A diferencia de los grados de libertad, se identifica como un "movimiento a largo plazo" (posición), mientras que los grados de libertad se refieren a "movimiento a corto plazo".

Correa de distribución de un motor SOHC Nissan RB30.

La correa de distribución, banda de distribución, faja de distribución o correa dentada, es uno de los más comunes métodos de transmisión de la energía mecánica entre un piñón de arrastre y otro arrastrado, mediante un sistema de dentado mutuo que posee tanto la correa como los piñones, impidiendo su deslizamiento mutuo. Se emplea muy frecuentemente en motores Otto y diésel de 4 tiempos entre el cigüeñal y el árbol de levas, en motores de motocicletas y maquinaria industrial, de forma general, es una correa de goma que normalmente enlaza un generador de movimiento con un receptor de la misma por medio de poleas o piñones.

Funcionamiento[editar]

En automoción, usada en muchos motores de 4 tiempos tanto diesel como gasolina, la correa de distribución transmite el movimiento desde el cigüeñalal árbol de levas, con una relación de transmisión o de desmultiplicación de 1 : 2, es decir el árbol de levas gira a la mitad de revoluciones que el cigueñal. Va montada sobre unas ruedas dentadas llamadas piñones. La función de esta correa es sincronizar los 4 tiempos del motor, la apertura y cierre de las válvulas de admisión y escape y la función del encendido del motor ya sea la chispa de la bujía o la sincronización de los inyectores diesel. Su forma, material, longitud y ubicación varían dependiendo del tipo de motor. En muchos casos arrastra también la bomba de refrigerante y / o la bomba de aceite del motor. Hay motores que poseen más de una correa, por ejemplo para ejes contrarrotantes antivibratorios.

La correa de distribución, o correa dentada, debe sustituirse periódicamente dependiendo del uso, ya que el desgaste que se produce en ésta puede provocar daños graves en la culata, especialmente las válvulas, e incluso en los pistones. En los motores diesel de bomba rotativa está sometida a mucho más trabajo por las compresiones/descompresiones cíclicas del gasoil; esta circunstancia se ha eliminado con las bombas de alta de los sistemas Common-Rail.

Longitud de Correa[editar]

Dentro de las especificaciones de una correa es necesario conocer su longitud, y en muchos casos se debe calcular. Para realizar el cálculo de la longitud de una correa debemos conocer: la distancia entre los centros de las poleas y los radios de dichas poleas. En el caso de un sistema con dos únicas poleas o tambores, el cálculo se realiza de la siguiente manera: