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Ecuaciones

ecuación indeterminada es una ecuación para la cual hay un conjunto infinito de soluciones – por ejemplo, 2x = y. Las ecuaciones indeterminadas no siempre pueden ser resueltas directamente con la información dada. Por ejemplo, las ecuaciones

\ ax + by = c

\ x^2 - Py^2 = 1

donde a, b, c, y P son enteros (siempre que P no es un número cuadrado), son ecuaciones indeterminadas. Una ecuación donde las variables sólo pueden tomar valores enteros se conoce como una ecuación diofántica, por lo que las anteriores son ejemplos de ecuaciones diofánticas indeterminadas.

Ecuaciones indeterminadas

Existen ecuaciones que no se pueden resolver mediante los métodos vistos hasta ahora, debido a que poseen mas de una variable y al despejar, simplemente nos queda una variable en función de la otra.

6m = 18n +30 de donde m = 3n +5 ó n = (m - 5)/3

En estos casos cada valor que se le asigne a una variable dará un grupo único de raíces como respuesta para la otra variable.

Si n = 5 m = 20
Si n = 5/3 m = 0
Si n = -2 m = -1

Y así se pueden dar una cantidad infinita de valores de una variable y su respectiva raíz como respuesta para la otra y todos estos pares satisfacen la ecuación

Resolución de ecuaciones indeterminadas

Se trata de encontrar un grupo de posibles respuestas que cumplan ciertas características, por ejemplo si restringimos las posibles soluciones para que sean únicamente positivas y enteras, entonces las únicas respuestas de la ecuación y = 3 - x serán:

x = 1 y = 2
x = 2 y = 1
y cualquier valor de x que sea menor o igual a cero

Esto debido a que cualquier valor mayor de tres dará como resultado un “y” negativo y no se cumpliría la restricción, y con x = 3 el resultado de “y” será 0 y cero no es un numero positivo.

Así se dice que en esta ecuación “y” es igual a un entero positivo siempre que x sea un entero y x <3 p="">

Para encontrar definitivamente todas las raíces de cada valor de las ecuaciones de dos variables que cumplan con la restricción de ser enteros positivos, se sigue el siguiente método:

Despejamos la variable con el menor coeficiente.

En caso de quedar como fracción, descomponemos cada miembro del numerador en cantidades perfectamente divisibles entre el denominador, y las dividimos, nos quedan varias sumas y una fracción mas pequeña.

Despejamos la fracción resultante, procurando nos quede solo una variable en al menos un miembro.

Igualamos cada miembro a una nueva variable, la cual es un numero entero.

Tomando el miembro con una sola de las variables originales, multiplicamos por una cantidad que convierta a el coeficiente de la variable en igual al denominador + 1.

Repetimos el paso dos, y como para que este resultado nos de entero la fracción tiene que ser un entero, trabajaremos solo con la fracción igualada a la variable que es un entero.

Despejamos la incógnita original quedando un polinomio en función de la variable entera.

Sustituimos este polinomio por la variable desconocida en la ecuación original y despejamos la otra variable desconocida.

Ahora nos quedan dos ecuaciones en función de la nueva variable, sustituimos esta variable por valores enteros a partir del cero, primero los positivos y luego los negativos.

Cuando el resultado de alguna de las variables resulte negativo nos detenemos, tanto en los positivos como en los negativos, este es intervalo solución.

ecuación irracional aquella que contiene una incógnita (o bien una expresión algebraica racional algebraica de la incógnita) bajo el signo radical. En matemáticas elementales las soluciones de las ecuaciones irracionales se buscan en el conjunto de los números reales ℝ.

Consideraciones

Cualquier ecuación irracional mediante las operaciones algebraicas ( de multiplicación, división, elevación a una potencia entera entera de los dos miembros de la ecuación) puede ser reducida a una ecuación algebraica racional.Hay que tener presente que la ecuación obtenida mediante las operaciones citadas puede contener raíces, llamadas extrañas y no ser equivalente a la ecuación original.²

Resolución

En forma general es muy difícil señalar algún método universal de resolución de cualquiera ecuación irracional; sin embargo, se va a indicar procedimientos.

Procedimiento 1

Se consigue con la liberación de radicales mediante la elevación sucesiva de ambos miembros de la ecuación a la potencia natural respectiva. Hay que tener presente que la elevación a una potencia impar guarda la equivalencia ecuacional; en el caso de potencias pares se obtiene, generalmente, una ecuación no equivalente a la original.

Ejemplo

(1)::

\sqrt{P(x)}

\sqrt{Q(x)}

= R(x),

donde P(x), Q(x), R(x) son ciertos polinomios. Los valores admisibles de la incógnita x ocurren cuando P(x)≥ 0, R(x)≥ 0.

Elevando a ambos miembros de la ecuación (1) al cuadrado se obtiene

\sqrt{P(x)Q(x)}

= R²(x) - P(x) - Q(x).

Después de una repetida elevación al cuadrado la ecuación resulta convertida en algebraica

4P(x)Q(x) = [R²(x)- P(x) -Q(x)]².

Procedimiento 2

Consiste en la introducción de nuevas incógnitas, respecto a las cuales se obtiene una ecuación irracional más sencilla o una ecuación racional.³

Ejemplo

Resolver la ecuación irracional

(3-x) \sqrt[3]{\frac{3-x}{x-1}}+(x-1) \sqrt[3]{\frac{x-1}{3-x}}=2

El conjunto de valores admisibles de esta ecuación es:

x ∈ (-∞;1) ∪ (1;3) ∪ (3;+∞)

Poniendo

\sqrt[3]{\frac{3-x}{x-1}}=y

, después del reemplazo obtenemos la ecuación

(3-x)y + \frac{x-1}{y}=2

o la ecuación equivalente

(3-x) y^2 - 2y + x - 1 = 0

la cual puede considerarse como ecuación de segundo grado respecto a y. Resolviendo esta ecuación, resulta

y

₁

=1

;

y

₂

= \frac{x-1}{3-x}

Finalmente se obtiene

\frac{3-x}{x-1}=1

;

\frac{3-x}{x-1}=(\frac{x-1}{3-x})^3

Resolviendo estas ecuaciones, hallamos que la ecuación irracional propuesta admite una única raíz

x = 2

⁴

Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.

Resolución de ecuaciones irracionales

1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.

2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.

3º Se resuelve la ecuación obtenida.

4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.

5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.

Ejemplos

1º Aislamos el radical: