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Ecuaciones

ecuación trascendente es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que aparecen una o más incógnitas relacionadas mediante operaciones matemáticas, que no son únicamente algebraicas, y cuya solución no puede obtenerse empleando solo las herramientas propias del álgebra.

Definición

Una ecuación que no se reduce a una ecuación algebraica mediante transformaciones algebraicas se denomina ecuación trascendente.¹

Transformación algebraica

Por transformaciones algebraicas de la ecuación

$F(x) = 0\,$

se entiende las siguientes transformaciones:

La adición a ambos miembros de la ecuación una misma expresión algebraica
La multiplicación de ambos miembros de la ecuación por una misma expresión algebraica.
La elevación de ambos miembros de la ecuación mediante un exponente racional²

Las ecuaciones tracendentes más simples son las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales³ El término trascendente se refiere a que la ecuación o su resolución va más allá del álgebra; trasciende el álgebra

Las soluciones de muchas ecuaciones trascendentes se han obtenido tradicionalmente (antes de la aparición de los ordenadores) por métodos numéricos, aproximando la solución mediante iteraciones sucesivas.

Algunas ecuaciones trascendentes

En astronomía la ecuación trascendente más famosa es la Ecuación de Kepler: $M = E - e \sin(E)\,$ , que permite calcular la posición de un planeta en su órbita obteniendo su anomalía excéntrica E, a partir de su anomalía media M y de la excentricidad de la órbita e.
En hidráulica de conducciones existe una ecuación trascendente que permite obtener el máximo caudal transportable por un tubo circular para una pendiente fija, obteniendo el calado óptimo para el radio hidráulico máximo. Para ello se utiliza la solución numérica de la ecuación trascendente

$\ \alpha = \tan(\alpha)$

Esta ecuación admite infinitas soluciones, la menor solución estrictamente positiva se da para el valor

\scriptstyle \alpha = 4,493409\,

(que usualmente se interpreta como el valor en radianes de un ángulo). Otras soluciones son:

$\alpha = 7,7252;\quad 10,9042;\quad 14,0661;\quad 17,2208; \dots$

Para grandes valores de n existen soluciones cercanas a

\scriptstyle (2n+1)\pi/2

. Además si

\scriptstyle \alpha = \beta

es solución entonces

\scriptstyle \alpha = -\beta

también es solución. Todas las soluciones son de multiplicidad simple excepto

\scriptstyle \alpha = 0

que es de multiplicidad 2.

La ecuación trascendente

$e^{cx}= ax+b$

tiene una única solución que puede expresarse en términos de la función W de Lambert:

$x_0 = \frac{1}{c} \left[ W\left( -\frac{c}{b}e^{-\frac{c^2}{b}}\right) - \frac{c^2}{b} \right]$

Método de las tangentes

Encontrar la raíz positiva de la ecuación xarctgx - 1 = 0, utilizando el método de las tangentes. Previamente se hará un esbozo de dicho método conocido también como el método de Newton-Raphson.

Esbozo

Supongamos que en el intervalo de aislación de la raíz ξ de la ecuación f(x) = 0 se cumplen las condiciones⁴

Las funciones f(x), f '(x) y f ' ' (x) son continuas en el intervalo $[a, b]$ ;
$f(a)f(b) < 0$ ;
La funciones $f'(x)$ y $f''(x)$ no cambian de signo en $[a,b]$ .

Entonces los números x_n (n= 1,2,3,---) se determinan por la fórmula recursiva

x_n = x_n-1 - f(x_n-1)/f ' (x_n-1)

siendo

$x_{0} = \left\{\begin{matrix} a, & \mbox{si } f(a)\cdot f(c) < 0, \\ b, & \mbox{si } f(a)\cdot f(c) > 0, \\ c, & \mbox{si } f(c) = 0 \end{matrix}\right.$

donde

c = a - \frac{(b - a) f(a)}{f(b) - f(a)}

Resolución de un caso

Precisamente, el caso de la ecuación trascendente

x \arctan x - 1 =0

. Mediante gráficas de de la función f(x) = 1/x y de la de g(x) = arctg x se ve que el intervalo [1;

\sqrt{3}.

] permite detectar la raíz positiva. Por cuanto que para la función

f(x) = x \arctan x - 1 =0

se obtiene

$c = 1- (\sqrt{3} - 1)f(1)/[f(\sqrt{3}) - f(1) = 1,1527608$

entonces para encontrar los números x_n, se va a emplear la fórmula recursiva,conocida como método de Newton

x_n = x_n-1 - f(x_n-1)/ f '(x_n-1); x₀ =

\sqrt{3}.

, luego de dos pasos resulta

ξ = 1,16239±0,00004⁵

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de la mecánica clásica en relación con el principio de mínima acción aunque también aparecen en teoría clásica de campos (electromagnetismo, Teoría general de la relatividad).

Ecuaciones de Euler-Lagrange en física

Caso discreto

En mecánica clásica, estas ecuaciones establecen que la integral de acción para un sistema físico es un mínimo. Los sistemas de partículas o sistemas discretos tienen un número finito de grados de libertad, y en esos casos la integral de acción es del tipo:

$S = \int_{t_1}^{t_2}\; L(x,\dot{x}(t))dt$

Y su correspondiente variación viene dada por:

$\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\; \left( {\partial L\over \partial x^a} - {d\over dt }{\partial L\over\partial \dot x^a} \right)dt$

Si se impone ahora que

\delta S =0\,

para variaciones "cercanas", esto implica que:

${\partial L\over\partial x^a} - {d\over dt }{\partial L\over\partial \dot{x}^a} = 0$

donde L es el lagrangiano para el sistema, y

x^a

son las coordenadas generalizadas del sistema.

Caso continuo

La formalización de ciertos problemas físicos requiere construir una integral de acción sobre un continuum o sistema que no puede ser tratado mediante un número finito de variables o grados de libertad. Así en teoría de campos y mecánica de medios continuos la acción física puede expresarse como una integral sobre un volumen:

$S = \int_{\Omega \subset \R^n} \; \mathcal{L}(\psi^A,\partial_\mu \psi^A) \ d^nx$

Donde

\scriptstyle d^nx

es el elemento de volumen que usualmente viene dado por una n-forma y

\scriptstyle \psi^A, \part_\mu \psi^A

representan las variables del campo y sus derivadas respecto a las coordenadas espaciales (o espacio-temporales). Cuando la acción toma esa forma las ecuaciones de Euler-Lagrange para el campo que minimiza la anterior integral, usando el convenio de sumación de Einstein, vienen dadas por:

${\partial \mathcal{L}\over\partial \psi^A} - {d\over dx^\mu }{\partial \mathcal{L}\over\partial (\partial_\mu\psi^A)} = 0$

Mecánica lagrangiana de la partícula

Un ejemplo de problema mecánica simple es el de una partícula sometida a un campo de fuerzas conservativo, en ese caso su trayectoria puede ser encontrada mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas al lagrangiano:

$L(x,y,z,v_x,v_y,v_z) = \frac{m}{2}(v_x^2+v_y^2+v_z^2) - V(x,y,z)$

La función lagrangiana anterior usa coordenadas cartesianas, aunque según el tipo de problema también puede escribirse un lagrangiano en en términos de cualquier tipo de coordenadas generalizadas:

$(q_1,...q_n;\dot{q}_1,...,\dot{q}_n;t)\mapsto L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t) \in \R$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange para el caso de las coordenadas cartesianas se reducen a la segunda ley de Newton para la partícula:

${\part L\over\part x_i} - {d\over dt }{\part L\over\part v_i} = 0 \Rightarrow \quad - {\part V\over\part x_i} - {d (mv_i) \over dt }=0 \Rightarrow \quad \mathbf{F} = m{d \mathbf{v} \over dt } = -\boldsymbol{\nabla} V(x,y,z)$

Teoría de campos

La teoría clásica de campos es un buen ejemplo del caso multidimensional anteriormente descrito. Así por ejemplo las ecuaciones de Maxwell no son otra cosa que las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas al "lagrangiano" de Maxwell. La densidad lagrangiana de Maxwell viene dada por:

(*) $\mathcal{L} = \mathcal{L}_{int} + \mathcal{L}_{em} = \left(\frac{1}{c} \mathbf{A}\cdot\mathbf{j}-\rho_e\phi\right)+ \left( -\frac{\mathbf{E}^2-\mathbf{B}^2}{8\pi}\right)$

Donde el primer término es el lagrangiano de interacción y el segundo el lagrangiano del campo electromagnético libre y además:

\mathbf{E}, \mathbf{B}

, son los campos eléctrico y magnético.

\rho_e, \mathbf{j}

, son la densidad de carga eléctrica y la densidad de corriente asociada a las cargas que interactúan con el campo.

\phi, \mathbf{A}

, son el potencial eléctrico y el potencial vectorial del campo.

Considerando aquí el campo descrito por los potenciales

(\psi_0, \psi_1, \psi_2, \psi_3) = (\phi, A_x, A_y, A_z)\,

, los campos eléctrico y magnético son expresables en términos de sus derivadas:

$\mathbf{E} = -\boldsymbol\nabla\phi - \frac{1}{c}\frac{\part \mathbf{A}}{\part t}, \qquad \mathbf{B} = \boldsymbol\nabla\times \mathbf{A}$

Todos estos términos substituidos en la ecuación de Euler-Lagrange (*) nos lleva a las ecuaciones de Maxwell. Si a la densidad lagrangiana anterior le agregamos, la densidad lagrangiana de la materia en interacción con el campo electromagnético viene dado por:

$\mathcal{L}_{m}= -\mu c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Cuando esta parte se tiene en cuenta también se recupera la expresión para la fuerza de Lorentz.

Aplicaciones en mecánica cuántica

Un artículo influyente, para la introducción del formalismo lagrangiano en la mecánica cuántica, fue el de Paul Dirac de 1932. El artículo titulado “El lagrangiano en Mecánica Cuántica” comienza de la siguiente manera:

“La mecánica cuántica fue construida sobre la base de la analogía con el hamiltoniano de la mecánica clásica. Esto se debe a que se encontró que la clásica noción de coordenadas canónicas y momentos es similar a la análoga cuántica, como resultado del cual la totalidad de la teoría clásica hamiltoniana, la cual es justamente una estructura construida sobre esta noción, debería ser tomada sobre todos sus detalles en mecánica cuántica.

Ahora tenemos una formulación alternativa para la dinámica clásica, provista por el lagrangiano. Esto requiere trabajar en términos de coordenadas y velocidades en lugar de coordenadas y momentos. Las dos formulaciones son, sin embargo, cercanamente relacionadas, pero hay razones para creer que el lagrangiano es el más fundamental.

En primer lugar, el método lagrangiano nos permite conectar juntas todas las ecuaciones del movimiento y expresarlas como una propiedad estacionaria de una cierta función de acción. (Esta función de acción es justamente la integral en el tiempo del lagrangiano). No existe un principio de acción correspondiente en términos de las coordenadas y momentos en la teoría hamiltoniana. En segundo lugar el método lagrangiano puede fácilmente ser expresado en forma relativista, teniendo en cuenta que la función de acción es invariante relativista; mientras que el método hamiltoniano es esencialmente de forma no relativista, dado que delimita una variable de tiempo particular como la conjugada canónica de la función hamiltoniana.

Por estas razones sería deseable tomar la cuestión de lo que corresponde en la teoría cuántica al método lagrangiano de la teoría clásica. Una pequeña consideración muestra, sin embargo, que uno no puede esperar ser capaz de tomar las ecuaciones clásicas de Lagrange en una forma directa. Estas ecuaciones involucran derivadas parciales del lagrangiano respecto a las coordenadas y velocidades y no significa poder tener tales derivadas en mecánica cuántica.

El sólo proceso de diferenciación que puede realizarse respecto a las variables dinámicas de la mecánica cuántica es el que forma los corchetes de Poisson y este proceso conduce a la teoría hamiltoniana.

Debemos por lo tanto mirar nuestra teoría cuántica lagrangiana de una manera indirecta. Debemos intentar tomar las ideas de la teoría lagrangiana clásica, no las ecuaciones de la teoría clásica lagrangiana”.¹

Síntesis de aplicaciones en física

Como se vio antes, es posible derivar las ecuaciones de la mecánica clásica como las del electromagnetismo a partir del lagrangiano respectivo introducido en las ecuaciones de Euler-Lagrange. Por ese camino, es posible ampliar el lagrangiano de Maxwell para obtener el lagrangiano de Dirac y así obtener, luego, la ecuación relativista de Dirac. También las ecuaciones de Schrödinger, de Klein-Gordon y de Proca pueden obtenerse por ese método.

Incluso es posible derivar las ecuaciones de Einstein, de la relatividad generalizada, a partir del lagrangiano de Hilbert-Einstein²

Ecuaciones de Euler-Lagrange en geometría

Las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden ser usadas para encontrar fácilmente la ecuación de las curvas geodésicas en una variedad de Riemann o "espacio curvo". Para ello consideremos un conjunto de coordenadas (x¹, ...xⁿ) sobre una región abierta U de la variedad de Riemann V_R donde el tensor métrico viene dado por la expresión:

g = \sum_{i,j=1}^n g_{ij} \ dx^i \otimes dx^j \,

Puesto que dados dos puntos cualquiera de V_R las geodésicas son las líneas de mínima longitud entre ellos podemos plantear el siguiente problema variacional, para el cuadrado de la longitud de una curva:

s = \int_{a}^{b} \sqrt {\sum_{i,j=1}^n g_{ij} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt}} \quad dt \,

La minimización de la expresión anterior al ser la raíz una función monótona, es equivalente a la minimización de una integral de acción donde el lagrangiano sea: