Álgebra

1. Inclusión de conjuntos. Conjunto vacío

TEORÍA

DEFINICIÓN. Dados dos conjuntos A y B se dice que A está incluido en B o que A es un subconjunto de B y se escribe A⊂B si todo elemento que pertenece a Atambién pertenece a B. Es decir A⊂B⇔(x∈A⇒x∈B). Si  A no está incluido en B se escribe A⊄B.

Por ejemplo, para los conjuntos N={0,1,2,3,…} (conjunto de los números naturales) y Z={0,±1,±2,±3,…} (conjunto de los números enteros), se cumple N⊂Z y Z⊄N. Es claro que para todo conjunto A se verifica A⊂A. La definición que ya vimos de igualdad de conjuntos se puede expresar ahora en la forma: A=B⇔A⊂B y B⊂A.

DEFINICIÓN. Al conjunto que no tiene ningún elemento se le llama conjunto vacío y se le representa por ∅. Es decir, ∅={}. Admitiremos que ∅⊂A cualquiera que sea el conjunto A.

DEFINICIÓN.  Se llama conjunto unitario a todo conjunto con un único elemento.
Por ejemplo, los conjuntos A={c} y B={7} son unitarios.

ejercicios :

Se considera el conjunto A={a,b,c}. Escribir todos los subconjuntos de A.

El conjunto vacío y A son subconjuntos de A. Los subconjuntos de A con un elemento son {a}, {b} y {c}, y con dos elementos son {a,b}, {a,c} y {b,c}. Por tanto, todos los subconjuntos de A son:

∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A.

Un subconjunto A de B se dice que es propio si existe al menos un elemento de Bque no pertenece a A. Escribir todos los subconjuntos propios de M={1,2}.

Los subconjuntos de M son ∅, {1}, {2} y M={1,2}. De la definición dada, inmediatamente se deduce que los subconjuntos propios de M son ∅, {1} y {2}.

 Demostrar que el conjunto vacío es único.

SOLUCIÓN

Si ∅ y ∅′ son conjuntos vacíos, se verifica ∅⊂∅′ y ∅′⊂∅, luego ∅=∅′.

 Sea X un conjunto. Al conjunto ∅X={x∈X:x≠x} se le llama subconjunto vacío de X (y claramente no contiene elemento alguno). Demostrar que para dos conjuntos cualesquiera X e Y se verifica ∅X=∅Y.

Recordemos que si P y Q son dos proposiciones, P⇒Q significa “no P y Q”, en consecuencia, P:x∈∅X (que es falso) implica Q:x∈∅Y, es decir ∅X⊂∅Y. De manera análoga, ∅Y⊂∅X.