domingo, 8 de noviembre de 2015

Álgebra

Ecuaciones


la ecuación de Slutski (o identidad de Slutski), denominada a partir del matemático, estadístico y economista ucraniano Yevgueni Slutski (1880-1948), describe cambios en la demanda Marshalliana en relación a la demanda Hicksiana. Demuestra que los cambios en la demanda como consecuencia de cambios en el precio son el resultado de dos efectos:
  • un efecto sustitución, resultado de un cambio en la tasa de sustitución entre dos bienes; y
  • un efecto renta, el efecto del cambio en el precio resulta en un cambio en el poder adquisitivo del consumidor.
Cada elemento de la matriz de Slutsky viene dado por
{\partial x_i(p, w) \over \partial p_j} = {\partial h_i(p, u) \over \partial p_j} - {\partial x_i(p, w) \over \partial w } x_j(p, w),\,
donde:
El primer elemento representa el efecto sustitución, y el segundo elemento representa el efecto renta.1
La misma ecuación puede reescribirse como:
D_p x(p, w) = D_p h(p, u)- D_w x(p, w) x(p, w)^\top,\,
donde Dp es la derivada con respecto al precio y Dw es la derivada con respecto a la riqueza.
La ecuación D_p h(p, u) se conoce como la ecuación de Slutsky.

Derivación

Si bien existen diferentes maneras para derivar la ecuación de Slutsky, el siguiente método es generalmente considerado ser el más simple. Se comienza notando la relación h_i(p,u) = x_i (p, e(p,u))  donde  e(p,u)  es la función de gasto. Diferenciando la ecuación anterior da lo siguiente:
\frac{\partial h_i(p,u)}{\partial p_j} = \frac{\partial x_i(p,e(p,u))}{\partial p_j} + \frac{\partial x_i (p,e(p,u))}{\partial e(p,u)} \times \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_j}
Haciendo uso del hecho de que  e(p,u) = w  y
\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_j} = h_j(p,u) = h_j(p, v(p,w)) = x_j(p,w)  donde v(p,w) es la función de utilidad indirecta, puede sustituirse y reescribir la derivada anterior como la ecuación de Slutsky.



Efecto Sustitución y Efecto Renta
En economía no solo es relevante saber cual será la conducta de los agentes en determinadas circunstancias, sino también saber como variará dicha conducta ante variaciones del entorno. ¿Cuál será la cantidad demandada de un determinado bien ante variaciones de su precio? ¿Qué efecto tendrá una variación del salario sobre la cantidad de empleo ofrecida? ¿Cuanto cambiara mi ahorro si cambia la tasa de interés?
Para llegar a una respuesta es necesario dividir estos cambios en dos efectos que analizaremos a continuación: el efecto sustitución y el efecto renta.
Cuando varía el precio de un bien se pueden observar estos dos efectos: varía tanto la tasa a la que puede intercambiarse ("sustituir") un bien por otro como el poder adquisitivo total de nuestra renta. La variación de la cantidad demandada por una variación de la relación de intercambio entre los dos bienes se denomina efecto sustitución o precio, mientras que la variación de la demanda provocada por una variación del poder adquisitivo se denomina efecto renta o ingreso.
Efecto Sustitución a la Slutsky y a la Hicks.
Existen dos maneras de ver el efecto sustitución. Si lo consideramos a la Slutsky, estaremos hablando de la variación que experimenta la demanda cuando varían los precios, manteniéndose constante el poder adquisitivo inicial. Si lo consideramos a la Hicks, estaremos hablando de la variación que experimenta la demanda cuando varían los precios, manteniéndose en un mismo nivel de utilidad, es decir, en una misma curva de indiferencia. En esta monografía nos limitaremos únicamente a desarrollar el análisis basándonos en la postura de Hicks.
Deducción de la ecuación de Slutsky en la teoría del consumidor:
Como dije al principio, lo que interesa saber es cual será el nuevo equilibrio cuando varíe el entorno que lo determina. Por lo tanto, debemos hallar las condiciones de equilibrio del sistema y luego diferenciarlo. Haciendo esto estaremos viendo cuál será el cambio en las variables de decisión del consumidor cuando varían los datos que las determinan, de modo de seguir cumpliendo las condiciones de equilibrio, es decir, de seguir optimizando.
En este apartado me limitaré a la maximización de la utilidad sujeta a restricción presupuestaria, también llamado problema primal. De dicho proceso surgen funciones de demanda marshallianas, que expresan que la cantidad demandada de un bien depende de los precios de los bienes en cuestión y del ingreso disponible, 
Veámoslo analíticamente:
Maximizar  sujeto a: 
Como es un caso de maximización sujeto a restricción, formamos un lagrangiano:
Las condiciones de primer orden establecen que las derivadas parciales del lagrangiano deben ser cero (aseguran la existencia de un extremo condicionado), mientras que las condiciones de segundo orden establecen que dicho extremo es un máximo (y no un mínimo). El desarrollo de las condiciones de segundo orden lo omitiremos, ya que asumiremos que se cumplen.
Así, las condiciones de primer orden son:
Diferenciando totalmente el sistema obtenemos:
Este nuevo sistema puede ser expresado como el producto de dos matrices. Para verlo, dejaremos las incógnitas en el primer miembro, dejando en el segundo los datos de las variaciones que han ocurrido.
Ahora sí, lo expresamos en forma matricial:
Habiendo expresado el sistema en forma de producto matricial, podemos resolverlo fácilmente utilizando la regla de Cramer, mediante la cual podemos despejar cualquiera de las tres incógnitas, ya sea ,  o .
Desarrollaré el caso para , siendo los demás casos análogos.
Por comodidad y para simplificar la notación, al denominador del cociente anterior lo llamaremos simplemente , que se llama determinante orlado, siendo  los menores complementarios de dicho determinante. El hecho de plantear un problema de maximización implica necesariamente que el determinante orlado sea positivo. Esto surge de las condiciones de segundo orden. Si el determinante es positivo, estamos en una maximización, si es negativo, en una minimización.
Desarrollando el determinante del numerador obtenemos:
Esta expresión puede ser manipulada algebraicamente de modo que quede como la siguiente:
A su vez, podemos observar que varios de los términos del numerador son iguales a los menores complementarios. Así pues, podemos escribir la expresión como:
(1)
Como lo que nos interesa ver es cuanto varía  cuando varían los precios (y por lo tanto el poder adquisitivo del ingreso), lo que queremos hallar es, por ejemplo, . Este cociente representa el efecto total directo (se podría también calcular el cruzado). Dicho efecto total se desagrega en los dos anteriormente mencionados.
La última expresión (1) a la que arribamos tras diferenciar el sistema de equilibrio nos permite apreciar ambos efectos. Observemos que al derivar  respecto de , es decir, hacer , el segundo término de (1) se vuelve cero, de forma que:
He aquí la expresión del efecto total directo, donde el primer termino expresa el efecto sustitución y el segundo representa el efecto ingreso. Para afirmar esto nos basamos en que el efecto sustitución exige que nos mantengamos en la misma curva de indiferencia, de modo que:
Como en el equilibrio maximizador el cociente entre las utilidades marginales debe ser igual al cociente entre los precios,  entonces podemos decir que:
Si observamos el sistema diferenciado totalmente podemos ver que
Como  podemos decir que 
Por lo tanto el tercer miembro de (1) se vuelve cero. Si queremos ver el efecto sustitución propio precio, entonces el segundo termino de (1) también se hará cero. Finalmente, el efecto sustitución, es decir la variación de la cantidad demandada ante variaciones del propio precio de modo que el nivel de utilidad no varíe, es:
Para observar el porque el efecto renta es el segundo miembro debemos realizar un procedimiento mucho mas sencillo. Si pensamos en el efecto renta como las variaciones de la cantidad demandada al variar el poder adquisitivo  por el total de la cantidad demandada, entonces nos queda que todos los demás miembros de (1) se vuelven cero cuando hacemos , quedando únicamente al que multiplica a  que es . A eso lo debemos multiplicar por la cantidad demandada, que es 
Así llegamos a deducir el Efecto Slutsky en términos de Hicks.
Como ya dije anteriormente, podemos realizar todo un procedimiento similar al expuesto para hallar el efecto total cruzado.
Para resumir esta parte, podemos dejar expresados los efectos, tanto en forma matricial como en su forma diferencial.
Efecto Total Directo:
En forma matricial:
En forma diferencial:
Efecto Total Cruzado
En forma matricial:
En forma diferencial:
Deducción de la ecuación de Slutsky con demandas compensadas:
En el apartado anterior mostré la forma que adopta la ecuación de Slutsky cuando utilizamos el problema primal. Sin embargo no es la única manera de llegar; también puede hacerse planteando un problema dual, es decir, minimizar el gasto sujeto a lograr un determinado nivel de utilidad. Mediante este procedimiento se pueden obtener funciones de demanda compensadas o hicksianas, .
Si se presta atención se puede observar que la demanda compensada no es otra cosa que el efecto sustitución en los términos de Hicks, ya que el nivel de utilidad no varió. Por lo tanto ya estamos en condiciones de escribir como será la ecuación de Slutsky con demandas compensadas. Veámoslo para el caso del efecto total directo del bien 1. Dado que  simplemente representa la variación de la cantidad demandada del bien 1 ante variaciones de su precio de modo que la utilidad no varíe, podríamos expresar  como , ya que la demanda compensada esta sujeta a un nivel de utilidad fijo, de modo que . De esta forma podemos escribir la ecuación de Slutsky como .
También se puede arribar a este resultado planteando el problema desde otra perspectiva. Pero para poder entender el procedimiento que realizaré a continuación es necesario recordar ciertas identidades y propiedades existentes entre el problema primal y el dual.
En el dual existe una función de gasto  que es el nivel mínimo de gasto necesario para alcanzar un determinado nivel de utilidad, en función de cuales sean los precios:
.
Además dicha función cumple con el Lema de Shepard que afirma que la derivada de la función gasto respecto de un precio es igual a la demanda compensada del bien cuyo precio varió. En términos matemáticos:  (ver demostración en el Apéndice1).
Una importante relación existente entre el problema primal y el dual es la identidad ingreso-gasto. Si el nivel máximo de utilidad alcanzado en el problema primal es el nivel del parámetro de la restricción del problema dual de minimización, podemos aseverar que el nivel de gasto minimizado coincide exactamente con el ingreso del consumidor en el problema primal de maximización.
Es decir, el gasto mínimo necesario para alcanzar un nivel dado de utilidad es igual al ingreso del primal que alcanza dicho nivel de utilidad.
Aplicando todo esto, podemos llegar a la ecuación de Slutsky de la siguiente manera:
Sabemos que cuando se maximiza la utilidad también se esta minimizando el gasto (ver Apendice2). Entonces, la demanda compensada es igual a la demanda marshalliana para 
Ahora derivamos la demanda compensada respecto de un precio, utilizando la regla de la cadena, ya que lo que antes era ingreso ahora es gasto y depende de los precios. Yo aquí derivaré respecto del propio precio.
Aplicando el Lema de Shepard y recordando la identidad existente entre el gasto del dual y el ingreso del primal podemos reexpresar la última ecuación como:
Dado que en el punto de optimización,  (recordar que cuando se maximiza la utilidad se esta minimizando el gasto), podemos escribir la última ecuación, previo reordenamiento de términos, como sigue:
Que no es otra cosa que lo que planteamos intuitivamente al comienzo del apartado.
Análogamente al apartado anterior, el efecto cruzado será:
Ecuación de Slutsky para la oferta de trabajo:
"La teoría de la determinación de los salarios en un libre mercado no es sino un caso especial de la teoría general del valor. Los salarios son el precio del trabajo"
J.R. Hicks, The Theory of Wages (1932)
Hasta ahora estuvimos derivando la ecuación de Slutsky con un supuesto implícito: que el ingreso estaba dado exógenamente.
En la realidad las personas obtienen su ingreso vendiendo cosas, ya sean activos de su propiedad o su fuerza laboral. Es decir, por un lado demandan bienes y por otro lado los ofrecen. La diferencia entre lo que demandan y lo que ofrecen se denomina demanda neta. Si ofrecen más de lo que demandan entonces la demanda neta es negativa. En tal caso se dice que son oferentes netos.
Los bienes que pueden ofrecer las personas no son ilimitados, sino que son escasos. Incluso la fuerza laboral es limitada. Por lo tanto podemos afirmar que los agentes parten con dotaciones limitadas de bienes.
Cuando varían los precios, varían los precios tanto de los bienes que consume como de los que ofrece. Es decir, se añade un nuevo efecto al análisis que veníamos efectuando. Por un lado, cambian los precios relativos, por otro lado cambia el poder adquisitivo del ingreso. Pero como el ingreso ahora esta determinado endógenamente, entonces la renta monetaria también varía junto con la variación de los precios, resultando necesario saber si el agente es demandante neto u oferente neto del bien en cuestión.
Por ende es preciso volver a hallar la ecuación de Slutsky, esta vez teniendo en cuenta este nuevo efecto, denominado efecto-renta-dotación. Para hacerlo partiré del problema primal de maximización.
Las personas poseen una cantidad limitada de tiempo para repartir entre dos actividades, trabajo u ocio, de modo que  donde  es la dotación de tiempo (24 horas por día, por ejemplo),  es el tiempo destinado a ocio y  es el tiempo destinado a trabajar. El ocio es un bien, mientras que el trabajo puede ser considerado un "mal". Sin embargo, el trabajo es lo que provee ingreso para disfrutar de otros bienes. Por lo tanto el objetivo del consumidor es maximizar la utilidad resultante de consumir ocio y de consumir otros bienes representados por el ingreso . Queda claro que la parte del ocio que no consumimos la dedicamos al trabajo, por lo tanto al obtener la demanda de ocio estamos a la vez obteniendo la oferta de trabajo.
Analíticamente tenemos que:
Es decir, la restricción implica que el ingreso que el individuo tendrá para consumir otros bienes provendrá de su salario por el tiempo que trabaje mas un ingreso no laboral exógenamente dado proveniente, por ejemplo, de familiares o alquileres.
Para hallar la combinación óptima entre ingreso y ocio debemos plantear el ya conocido lagrangiano y luego hallar las condiciones de primer orden:
Las condiciones de primer orden serán:
 
Las condiciones de segundo orden aseguran la convexidad de las curvas de indiferencia, lo que a su vez asegura que la solución sea un máximo y no un mínimo. El desarrollo de las condiciones de segundo orden lo obviaré y asumiré que se cumplen.
Partiendo de las condiciones de primer orden se puede hallar la demanda de ocio, es decir, la oferta de trabajo (recordar que lo que no es ocio, es trabajo). La demanda de ocio dependerá del salario vigente y del ingreso no laboral dado. Es decir, , por lo tanto la oferta de trabajo será: .
Hagamos un recuento de las ecuaciones que tenemos y veamos que manipulaciones matemáticas podemos hacer para hallar el efecto total desagregado en efecto sustitución, renta y renta-dotación.
Ecuaciones:
(1)  es la ecuación de una curva de nivel
(2)  es la ecuación de la restricción presupuestaria ya vista.
(3)  es la ecuación de la demanda de ocio
Lo que queremos hallar ahora es cuanto variará la demanda de ocio (y por lo tanto la oferta de trabajo), cuando varían los precios , en este caso el único precio es  (nótese que  es tanto la retribución al trabajo como el costo del ocio). El efecto total deberá poder desagregarse en los tres efectos antes dichos.
Comenzare diferenciando totalmente las tres ecuaciones:
(1)  como  (surge de las condiciones de 1° orden), entonces:
 ; como  . Recordar que  es mayor
que cero implica que la restricción es efectiva, es decir, que la solución se da en la frontera del conjunto alcanzable.
(2) 
Reordenando términos la expresión queda así: 
Como  entonces 
Reordenando términos tenemos que: 
(3) 
Dado que , entonces 
Dividiendo ambos miembros por , tenemos que
(4)
Quizás llame la atención el miembro a la izquierda de la igualdad. ¿Por qué planteo la derivada de modo que nos mantengamos en una misma curva de indiferencia? Sencillamente porque al inicio planteé la ecuación (1), que es la ecuación de una curva de indiferencia. Por lo tanto todo el análisis esta planteado de modo que . Eso fue lo que nos permitió afirmar que , entre otras cosas.
Reordenando los términos de (4) nos queda:
 o lo que es lo mismo: 
He aquí los tres efectos antes mencionados. El efecto total  es igual al efecto sustitución  mas el efecto-renta-dotación  menos el efecto-renta ordinario 
Ecuación de Slutksy en la elección intertemporal:
Hasta ahora estuvimos analizando la ecuación de Slutsky para la demanda de bienes (ropa, comida, ocio, etc.) suponiendo que el individuo consume toda su renta en un único periodo, no dejando cabida al ahorro para consumos futuros.
En este apartado nos adentraremos en la elección intertemporal, es decir, el análisis de la conducta del consumidor respecto a las decisiones relacionadas con el ahorro y el consumo a lo largo del tiempo. Éste análisis no difiere en esencia de la elección individual vista anteriormente. En vez de buscar la combinación de bienes óptima que maximiza la utilidad del agente dadas sus preferencias, buscamos la combinación de cestas (), integradas por distintos bienes, que consumirá en cada periodo dada su preferencia temporal.
En la elección intertemporal también existen supuestos simplificadores:
  1. Solo existen dos periodos de tiempo, el hoy, y el mañana.
  2. Los ingresos del individuo están dados (son dotaciones), teniendo un ingreso para cada periodo,  e  para los periodos cero (hoy) y uno (mañana) respectivamente.
  3. La posibilidad de pedir prestado dinero o prestar dinero a una tasa de interés nominal  es la bisagra existente entre los dos periodos de tiempo.
  4. El nivel de precios es constante e igual a 1 en ambos periodos.
Matemáticamente el problema aquí se puede plantear como sigue:
Aquí la restricción implica que el consumo futuro no puede ser mayor que el ingreso futuro  mas el ahorro en el periodo cero junto a los intereses generados por ese ahorro. La restricción podría manipularse matemáticamente para expresarla en términos del consumo presente. Es común que se escriba la restricción expresándola en términos de valor actual que es una buena forma de expresar la restricción presupuestaria intertemporal debido a que mide el futuro en relación con el presente: 
Para hallar la combinación óptima entre consumo presente y consumo futuro debemos seguir los ya familiares pasos de la maximización sujeta a restricción. Primero formamos el lagrangiano:
Las condiciones de primer orden serán:
 
Las condiciones de segundo orden, al igual que en los apartados previos, supondré que se cumplen. El proceso para hallar la ecuación de Slutsky en la elección intertemporal es idéntico al utilizado en el apartado de oferta de trabajo.
De las condiciones de equilibrio se pueden hallar demandas de consumo temporal, que dependen de la tasa de interés y las dotaciones de renta: .
Debido a que poseemos dotaciones, la ecuación de Slutsky tendrá un efecto renta-dotación. Así como en el apartado anterior hablábamos en términos de oferentes netos y demandantes netos, aquí podemos hacer lo mismo, en términos de oferentes neto de ahorro (prestamista) o demandantes netos de ahorro (prestatario).
Si recordamos que el ahorro (o endeudamiento) es  podríamos llegar a "adivinar" por mera intuición como lo hicimos en el apartado con demandas compensadas, y tomando como referencia la ecuación para la oferta laboral, que la ecuación de Slutsky es:
Si "adivinásemos" de este modo estaríamos en lo correcto. La deducción correspondiente figura a continuación.
Como en la sección anterior, plantearé tres ecuaciones, las cuales diferenciaré totalmente, y luego de una pequeña manipulación matemática se llega a la ecuación de Slutsky tal y como la vinimos viendo.
(1)  es la ecuación de una curva de nivel
(2)  es la restricción presupuestaria en términos de valor actual.
(3)  es la demanda de consumo en el periodo cero.
(1) .
De las condiciones de primer orden surge que . Reemplazando en el diferencial total de (1) se obtiene:
.
Sacando factor común  tenemos que:
.
Al igual que en la sección anterior,  ya que la solución se da en la frontera y la restricción es efectiva. Por lo tanto podemos deducir que 
(2) 
La ultima ecuación puede simplificarse mucho, ya que  , y por otra parte sabemos que  ya que estamos ubicados en el periodo cero, es decir el presente, por lo que el ingreso ya fue percibido (y por lo tanto no es una variable). Dicho esto podemos volver a escribir la ecuación como:
, o lo que es lo mismo
Reordenando términos podemos obtener:
Ahora bien, si observamos detenidamente la restricción presupuestaria podemos apreciar que 
Por lo tanto 
(3) 
Como sabemos que y que  rescribiré el diferencial de (3):
Dividiendo ambos miembros por  obtenemos:
(4)
Aquí el miembro a la izquierda de la igualdad tiene el mismo significado que el visto para la oferta laboral. Debido a que (1) es la ecuación de una curva de indiferencia, todo el análisis esta planteado de modo que .
Reordenando términos, la expresión queda como la vista en otros apartados:
Los efectos (sustitución, renta ordinario y renta-dotación) pueden apreciarse como en el de la oferta laboral. El efecto total es , el renta ordinario es  y el renta-dotación es .

Generalización del efecto dotación:
Este tema ya ha sido mencionado en capítulos previos, mas específicamente en la sección de oferta de trabajo. En dicha sección proporcioné el fundamento conceptual-económico del efecto dotación y posteriormente lo deduje para el caso particular de la demanda de ocio y en el apartado siguiente para la elección intertemporal.
En esta parte de la monografía me propongo explicar la expresión matemática del efecto dotación de una forma un poco más general que lo hecho anteriormente. Pero antes de hacerlo creo que resulta conveniente, a riesgo de ser reiterativo, volver a repasar el la naturaleza del efecto que nos convoca.
Un agente económico parte con dotaciones de bienes  que vende en el mercado a los precios , obteniendo así su ingreso , el cual utilizará para comprar bienes que consumirá . Como estamos bajo el supuesto que solamente existen dos bienes lo que realmente compre en el mercado es la demanda neta, que se expresa como la diferencia entre lo que consume (demanda bruta) y lo que posee, es decir . Nótese que mientras que las demandas brutas  son positivas, la demanda neta puede ser negativa en caso que la dotación supere lo que consume. Es decir, ofrece mas de lo que demanda, por lo tanto es oferente neto.
La cantidad de bienes que se pueden consumir están limitadas por su ingreso , que es igual al valor de su dotación. Por lo tanto .
En esta ecuación la dotación esta determinada exógenamente, por lo tanto variaciones de la dotación (que implican variaciones del ingreso nominal) manteniéndose fijos los precios hace las veces de las variaciones exógenas del ingreso para el modelo sencillo en el cual el ingreso estaba determinado por fuera del modelo.
Observemos que ahora el ingreso monetario esta determinado endóngenamente: una variación de precios implica una variación de la tasa de intercambio entre ambos bienes (corresponde al efecto sustitución), una variación de poder adquisitivo (corresponde al efecto renta-ordinario), pero también una variación del valor de la dotación y por ende una variación del ingreso nominal (corresponde al efecto renta-dotación).
Es decir, podemos definir al efecto renta-dotación como la variación que experimenta el ingreso nominal cuando varían los precios por la variación que sufre la demanda cuando varía el ingreso.
El efecto total es la suma de estos tres efectos, dos de los cuales nos deben ser familiares a esta altura.
Efecto total = efecto sustitución + efecto renta ordinario + efecto renta dotación
Si volvemos a la definición del efecto dotación nos damos cuenta que es el producto de dos derivadas: 
Recordando que  podemos afirmar que, por lo que el efecto renta-dotación es , de modo que el efecto total directo es:
O lo que es lo mismo:
Recuérdese que la expresión  es la demanda neta, por lo tanto el efecto renta (ordinario mas dotación) depende de si el bien en cuestión es normal o inferior y si estamos siendo oferentes netos o demandantes netos.
Análisis de los signos de los efectos:
De los signos de los efectos de la ecuación de Slutsky se pueden extraer importantes conclusiones acerca de los bienes en cuestión, como es agruparlos en ciertas categorías a saber: normales, inferiores, típicos, giffen, sustitutos, complementarios.
Efecto de la variación del propio precio:
Veamos primero el significado del signo del efecto sustitución. Se puede afirmar que el efecto sustitución propio precio es siempre no positivo, es decir, puede ser cero o negativo. Esta afirmación sale del hecho de que las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa. Recordemos que las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa porque trabajamos con el supuesto de "no saturación" donde "mas se prefiere a menos".
Es decir, en términos matemáticos, las utilidades marginales de los bienes son positivas, por lo tanto, por regla de la cadena, .
En términos económicos, cuando se alteran los precios relativos existe una tendencia a sustituir otras mercancías por aquella cuyo precio ha bajado. Es decir, los bienes en cuestión son sustitutos netos. El adjetivo neto se refiere a que estamos teniendo en cuenta únicamente el cambio de los precios relativos (efecto sustitución).
El signo del efecto renta ordinario es un poco mas intrincado.
  • Cuando el efecto ingreso varía en el mismo sentido que el efecto sustitución, es decir , se dice que el bien es normal. Los bienes normales son los bienes cuyo consumo aumenta conforme aumenta la renta. Observemos que si  .
  • Económicamente estamos diciendo que si baja el precio de un bien, por un lado aumenta su consumo debido a que se dejan de comprar los bienes que ahora son relativamente más caros, y por otro lado, al aumentar nuestro ingreso real aumentamos el consumo debido a que el bien es normal. El efecto total tendrá signo negativo, lo que implica que la curva de demanda tiene pendiente negativa. En dicho caso el bien se denomina típico.
  • También puede ocurrir que el efecto ingreso varíe en sentido inverso al efecto sustitución, es decir 
, por lo que el bien en cuestión se denomina inferior. Los bienes inferiores son aquellos cuyo consumo disminuye conforme aumenta la renta. Este tipo de bienes se caracteriza por poseer una calidad "de segunda" o "inferior" que otros tipos de bienes.
Para citar un ejemplo, la margarina es un bien inferior, cuya calidad es menor que la de la manteca. Cuando aumenta el ingreso el consumidor deja de comprar margarina y comienza a consumir manteca. Del hecho de que el efecto renta sea positivo y por lo tanto varíe en sentido contrario al efecto sustitución se deduce que el efecto total quedara indeterminado. La magnitud del efecto ingreso reside parcialmente en la importancia dentro del presupuesto de la mercancía en cuestión. Si tiene una gran importancia, el efecto ingreso tendrá mas peso dentro del efecto total.
  • Si el bien es efectivamente inferior y el valor absoluto del efecto ingreso supera al del efecto sustitución, entonces el efecto total tendrá signo positivo. Es decir, ante disminuciones del precio, disminuye la cantidad demandada, por lo que la curva de demanda tendrá pendiente positiva (al menos en un tramo). Este tipo de bienes se denominan Giffen. Este fenómeno que "rompe" con la ortodoxa curva de demanda con pendiente negativa se da en pocas situaciones donde el nivel de vida de los consumidores es muy bajo y satisfacen sus necesidades, por ejemplo, de alimentación, con un único bien de uso general (el pan, o las papas). Cuando cae el precio de dicho bien, su ingreso real aumenta y le permite consumir una dieta mas variada, reduciendo la cantidad demandada del bien.
  • Si el efecto renta no llega a contrarrestar totalmente al efecto sustitución el efecto total tiene signo negativo, por lo que la curva de demanda tiene pendiente negativa, siendo el bien típico.
El análisis del signo del efecto renta-dotación es similar al efectuado para el efecto renta-ordinario, pero con todos los signos cambiados. Vale decir:
  • Cuando el bien es inferior, el efecto renta dotación varía en el mismo sentido que el efecto sustitución. Observemos que si cae el precio del bien, el valor de la dotación disminuye, por lo que disminuye el ingreso nominal del consumidor, lo que genera que aumente la cantidad demanda del bien, ya que es inferior.
  • Cuando el bien es normal, el efecto renta dotación varía en sentido opuesto al efecto sustitución. Cuando aumenta el precio del bien, aumenta el valor de la dotación y por lo tanto aumenta el ingreso. Al aumentar el ingreso aumenta la cantidad demandada del bien, que es normal.
Del análisis de signos de los efectos renta ordinario y dotación se desprende que saber si el consumidor es un oferente neto o un demandante neto tiene una gran importancia a la hora de determinar su comportamiento ante cambios del precio con bienes inferiores o normales. Si es demandante neto, se comportara conforme al primer análisis efectuado (el del efecto renta ordinario). Si es oferente neto, conforme al segundo, correspondiente al efecto renta-dotación.
Efecto de la variación del precio del otro bien:
Veamos el signo del efecto sustitución cruzado. Se puede afirmar que el signo del efecto sustitución cruzado será siempre no negativo. La justificación tanto matemática como económica es análoga al efecto sustitución propio precio. Si cuando se alteran los precios relativos existe una tendencia a sustituir otras mercancías por aquella cuyo precio ha bajado, entonces cuando aumenta el precio del bien 1, aumenta la cantidad demandada del bien 2, siendo entonces la relación positiva, siendo los bienes en cuestión sustitutos netos.
Respecto del signo del efecto renta ordinario y el efecto renta dotación no hay mucho mas para decir, ya que es un caso casi idéntico al directo. La suma de ambos efectos dará como resultado el producto entre la demanda neta del bien cuyo precio varió y la derivada del bien en cuestión respecto del ingreso. Analíticamente, la suma de ambos efectos renta (ordinario y dotación) para el caso en que varió el precio del bien 1 y se quiere averiguar el efecto que ésta variación tuvo en el bien 2, sería: 
De forma que el signo del efecto dependerá de la demanda neta del bien cuyo precio varió y de si el bien 2 es normal o inferior.
A su vez, la suma de los tres efectos nos da información acerca de cómo son los bienes entre si. Si cuando aumenta el precio del bien 1 aumenta la demanda del bien 2, entonces los bienes en cuestión son sustitutos brutos. El adjetivo bruto se refiere a que estamos teniendo en cuenta todos los efectos existentes. Ejemplo de bienes sustitutos brutos pueden ser la carne vacuna y el pollo. Cuando aumenta el precio de la carne vacuna, aumenta la demanda de pollo, es decir, se sustituye la carne por el pollo. Si cuando aumenta el precio del bien 1 disminuye la demanda del bien 2, entonces los bienes en cuestión son complementarios brutos. Ejemplo de bienes complementarios brutos pueden ser las impresoras y su tinta.
Apéndice:
  1. Para una mejor comprensión partiré del planteo del problema dual hasta llegar a las condiciones de primer orden
    Como es un caso de optimización (minimización) sujeto a restricción, se puede resolver fácilmente con el método de los multiplicadores de Lagrange. Primero formamos el Lagrangiano: 
    Las condiciones de primer orden serán:
    De las dos primeras ecuaciones surge que 
    Ya planteados los requisitos de primer orden estamos en condiciones de demostrar el Lema de Shepard.
    Ahora bien, como  entonces:
    Prestemos especial atención al ultimo término:
    Dado que estamos trabajando con  entonces sabemos que  por lo que , de modo que , quedando así demostrado el Lema de Shepard.
  2. Demostración del Lema de Shepard:
    Las condiciones de primer orden del problema dual son:
      
    Las condiciones de primer orden del problema primal son:
      
    Debido a que tanto las condiciones del dual como las condiciones del primal exigen que el optimo se halle en el punto de tangencia entre la TMS y la recta presupuestaria, podemos afirmar que cuando se maximiza utilidad se esta a la vez minimizando gasto, y viceversa. En palabras del famoso economista Paul Samuelson: "...la utilidad (si los gastos están dados) tan solo se lleva al máximo cuando se alcanza un determinado nivel en la forma mas barata; vale decir, cuando los gastos son mínimos para cualquier nivel de utilidad. Si no fuera así, el consumidor podría alcanzar el mismo nivel con algo de dinero sobrante y utilizar tal resto en la adquisición de mas bienes: podría alcanzar, pues, un nivel de utilidad mas elevado..."
    Gráficamente se puede ver de la siguiente forma:
  3. "En el punto de optimización, "
  4. Aclaraciones: a lo largo de la monografía, y por cuestiones de comodidad, deduje siempre el efecto total directo. Sin embargo creo que es importante por lo menos dejar asentado como son las ecuaciones en términos mas generales, tanto el efecto total directo como el cruzado, incluyendo el efecto dotación.
Efecto total directo: 
Efecto total cruzado: 
Además creo necesario aclarar que en distintas partes se ha utilizado de forma indiferente la notación  o  para representar el ingreso.
Por ultimo, y no menos importante, la monografía se ha visto limitada al caso simplificado de elección entre dos bienes. Si se quisieran tener en consideración mas bienes se deberían revisar varios aspectos, como la no positividad del efecto sustitución directo y la no negatividad del efecto sustitución cruzado.


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